2024届一轮复习命题方向精讲系列：11 对数与对数函数（原卷附答案）

这是一份2024届一轮复习命题方向精讲系列：11 对数与对数函数（原卷附答案），共18页。试卷主要包含了比较对数值的大小，其中，且，且等内容，欢迎下载使用。
考向11 对数与对数函数
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.|
3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性


1.换底公式的两个重要结论
(1)(2).其中，且，且.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大
3.对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限.

1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象



图象


性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，



1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知，用科学记数法表示为，则的值约为（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：，，，则（       ）
A．，，为“同形”函数
B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
5．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
8．（2022·福建·三明一中模拟预测）写出一个满足对定义域内的任意x，y，都有的函数：___________．



1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·青海·模拟预测（理））设，，，则a、b、c的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（       ）
A． B．，
C． D．，，
5．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．不存在
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
7．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））函数，其中，记，则（       ）
A． B．
C． D．
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数，若，且，则的取值范围是______．
11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若，，，则的最小值为___________.
12．（2022·云南师大附中模拟预测（理））给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是______.
13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
14．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则数列的前项和___________.
15．（2022·山西运城·模拟预测（文））若，则__________.



1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）
A．25 B．5 C． D．
4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题（文））设，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2019·天津·高考真题（理））已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
8．（2019·全国·高考真题（文））已知，则
A． B． C． D．
9．（2019·全国·高考真题（理））若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│
10．（2016·全国·高考真题（理））已知，，，则
A． B．
C． D．
11．（2018·天津·高考真题（文））已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
12．（2016·全国·高考真题（文））已知，则
A． B．
C． D．
13．（2016·全国·高考真题（文））若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
14．（2016·浙江·高考真题（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=___，b=____.
15．（2015·北京·高考真题（文）），，三个数中最大数的是 ．



1．【答案】C
【解析】由，，可得.
故选：C.
2．【答案】D
【解析】因为，，，所以.
故选：D.
3．【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以，所以，
又无限接近于，所以.
故选：B.
4．【答案】A
【解析】解：，
，
故，的图象可分别由的图象向左平移个单位、向右平移1个单位得到，
故，，为“同形”函数．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】设，由题意可得：，则
∴
，，
∴
故选：C．
6．【答案】A
【解析】令，
，是R上的奇函数，，即，
又，所以．
故选：A．
7．【答案】1
【解析】由题意，，即，
所以，化简得，解得．
故答案为：1
8．【答案】（答案不唯一）
【解析】若函数，则满足题意，
故答案为：（答案不唯一）



1．【答案】D
【解析】函数在上单调递增，，则，
函数在R上单调递减，，，而，
所以.
故选：D
2．【答案】A
【解析】函数在上都是增函数，，即，，则，
函数在R上单调递增，而，则，
所以.
故选：A
3．【答案】C
【解析】令函数，当时，求导得：，
则函数在上单调递减，又，，，
显然，则有，所以.
故选：C
4．【答案】C
【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）．
A选项：系统的混乱程度；
B选项：系统的混乱程度；
C选项：系统的混乱程度；
D选项：系统的混乱程度，所以，，，所以最小，从而C选项对应的系统混乱程度最高．
故选：C.
5．【答案】A
【解析】
又，则

当且仅当即时取等号
故选：A
6．【答案】D
【解析】因为，所以，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，所以在上为增函数，
又，所以，故B错误；
对于C：，
因为，，所以，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，，
所以，即，故D正确.
故选：D
7．【答案】D
【解析】解：依题意，等价于，
在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：


如图可得的解集为：.
故选：D.
8．【答案】C
【解析】因为是奇函数，当时，；
所以当时，；
当时，则，所以.
因为是奇函数，所以，所以.即当时，.
综上所述：.
令，则，所以不等式可化为：.
当时，不合题意舍去.
当时，对于.
因为在上递增，在上递增，所以在上递增.
又，
所以由可解得：，即，解得：.
故选：C
9．【答案】A
【解析】，∴
，

，∴
，
故选：A．
10．【答案】
【解析】的图象如图，

因为，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以在上递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
11．【答案】
【解析】∵，∴，，，∴，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为,
故答案为：
12．【答案】①②④
【解析】构造函数，所以，得，当时，；当时，，于是在上单调递增，在上单调递减. 对于①，，即，又，据的单调性知成立，故①正确；
对于②，，因为，所以，即，又，据的单调性知成立，故②正确；
对于③，
，即，又，据的单调性知成立，故③错误；
对于④，
，即，又，据的单调性可知成立，故④正确.
故答案为：①②④．
13．【答案】
【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】由且定义域为R，
所以为偶函数，而，当时等号成立，
所以在R上恒成立，
故要使，又是公差为2的等差数列，
所以，则，故.
故答案为：.
15．【答案】##
【解析】由，两边取以为底的对数，得，即.
由，令，则，所以，即.
设，则，所以在上单调递增.
由以及，则，又，所以.
故答案为：.



1．【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2．【答案】C
【解析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
3．【答案】C
【解析】因为，，即，所以．
故选：C.
4．【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
5．【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
6．【答案】B
【解析】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
7．【答案】A
【解析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
，
，
，故，
所以．
故选A．
8．【答案】B
【解析】则．故选B．
9．【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
10．【答案】A
【解析】
【详解】
因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b