中考数学真题：2021湖北武汉初中学业水平考试

这是一份中考数学真题：2021湖北武汉初中学业水平考试，共17页。试卷主要包含了 答第Ⅱ卷时，答案用0， 认真阅读答题卡上的注意事项．等内容，欢迎下载使用。

2021年武汉市初中毕业生学业考试
数学试卷
亲爱的同学：
在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．
1. 本试卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分组成，全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟．
2. 答题前，请将你的姓名，准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．
3. 答第Ⅰ卷(选择题)时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效．
4. 答第Ⅱ卷(非选择题)时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效．
5. 认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
第Ⅰ卷(选择题　共30分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 实数3的相反数是(　　)
A. 3 B. －3 C. D. －
2. 下列事件中是必然事件的是(　　)
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C. 打开电视机，正在播放广告
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
3. 下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

4. 计算(－a2)3的结果是(　　)
A. －a6 B. a6 C. －a5 D. a5
5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(　　)

6. 学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是(　　)
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是(　　)
A. 8(x－3)＝7(x＋4) B. 8x＋3＝7x－4
C. ＝ D. ＝
8. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变．两车离甲地的距离y(单位：km)与慢车行驶时间t(单位：h)的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是(　　)
A. h B. h C. h D. h

第8题图 第9题图
9. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E.若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是(　　)
A. 21.9°＜α＜22.3° B. 22.3°＜α＜22.7°
C. 22.7°＜α＜23.1° D. 23.1°＜α＜23.5°
10. 已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是(　　)
A. －25 B. －24 C. 35 D. 36
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11. 计算的结果是________．
12. 我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是________.
城市
北京
上海
广州
重庆
成都
常住人
口数/万
2 189
2 487
1 868
3 205
2 094
13. 已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝(m是常数)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是________．
14. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是________n mile(≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1)．

第14题图
15. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0.下列四个结论：
①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1>y2.
其中正确的是________(填写序号)．
16. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等．设x＝AD，y＝AE＋CD，y关于x的函数图象如图②，图象过点(0，2)，则图象最低点的横坐标是________．

第16题图
三、解答题(共8小题，共72分)
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. (本小题满分8分)
解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

第17题图


(4)原不等式组的解集是________．
18. (本小题满分8分)
如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E, F.
求证：∠DEF＝∠F.

第18题图









19. (本小题满分8分)
为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t(单位：h)，按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t<7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

第19题图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是________，C组所在扇形的圆心角的大小是________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1 500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7 h的学生人数．







20. (本小题满分8分)
如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．矩形ABCD的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图①中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；
(2)在图②中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH.

第20题图


21. (本小题满分8分)
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若＝，求cos∠ABD的值．

第21题图






22. (本小题满分10分)
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg，每盒还需其他成本9元，市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本(成本＝原料费＋其他成本)；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润．















23. (本小题满分10分)
问题提出　如图①，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC.点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究　(1)先将问题特殊化：如图②，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
(2)再探究一般情形：如图①，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立．
问题拓展　如图③，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

第23题图



24. (本小题满分12分)
抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点(A在B的左边)．
(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上．
①如图①，若点C的坐标是(0，3)，点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标；
②如图②，若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．
(2)如图③，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF(不含端点)于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG＋FH的值是定值．

第24题图
2021年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
1．B【解析】根据相反数的概念及意义可知，3的相反数是．
2．D【解析】A.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，为随机事件，故此选项不合题意；B.随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，为随机事件，故此选项不合题意；C.打开电视机，正在播放广告，为随机事件，故此选项不合题意；D.从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，为必然事件，故此选项符合题意.
3．A【解析】A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
4．A【解析】．
5．C【解析】从正面看易得有两层，底层三个正方形，上层正中间一个正方形.
6．C【解析】画树状图如解图.

第6题解图
共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位候选人的结果有8种，
恰好选出是一男一女两位候选人的概率为．
7．D【解析】设有个人，物品的价格为钱，则列方程为或.
8．B【解析】根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，
因此单程所花时间为2 h，故其速度为．
所以对于慢车，y与t的函数表达式为①．
对于快车，y与t的函数表达式为y＝，
联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，
联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，
9．【解析】如解图，连接，，，．

第9题解图
在同圆或等圆中，所对的弧有，，，，

，
，
，
,
,
是直径，
，
，即，解得：，
．
10．D【解析】，是方程的两个根，
，，即，，，，

．
11.5【解析】．
12．2189【解析】数据从小到大排列为：1868，2094，2189，2487，3205，则最中间为：2189，
故这组数据的中位数是：2189．故答案为：2189．
13．【解析】把点，代入得，，所以，，
当时，；当时，；当时，，
所以当或时，；当时，．
14．10.4【解析】如解图，过点作于点，

第14题解图
由题意知：，，
，，，，
在中，海里，
在中，海里．
15．①②④【解析】，
∴抛物线，，为常数）经过点，
①抛物线经过点，对称轴为直线，
，，故①正确；
②，，，
∴，，，解得：，，故②正确；
③，，
抛物线为，
令时，则：，
，
抛物线交轴有交点，但不一定有两个交点，故③错误；
④，，，
抛物线为，
令时，则：，
，
抛物线交轴有两个不同的交点，其中一个交点为，设另外要给交点为，
，
抛物线的对称轴大于1，
当时，抛物线随着x的增大而减小，
，，故④正确；故答案为①②④．
16.【解析】∵图象过点（0，2），
即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，
此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝1，
如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，

第16题解图
∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，
∴△NBE≌△CAD（SAS），
∴NE＝CD，
又∵y＝AE+CD，
∴y＝AE+CD＝AE+NE，
当A、E、N三点共线时，y取得最小值，此时：
AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，
∴AF＝AC•sin45°＝，
\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE
∴△NBE∽△AFE
∴，即，
解得：x＝，
∴图象最低点的横坐标为：﹣1．
17．解：（1）x≥﹣1；
（2）x＞﹣3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如解图；

第17题解图
（4）x≥﹣1．
18．证明：∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCF＝∠D，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠F．
19．解：（1）100，108°【解法提示】这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，
C组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝108°.
（2）补全条形统计图如解图；

第18题解图
（3）1500×＝600（名）．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．
20．解：（1）如解图①，直线EF即为所求；
（2）如解图②，线段CG，点H即为所求.

图① 图②
第20 题解图
21．（1）证明：如解图，连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；

第21题解图
（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，
∵＝，
设DF＝t，DC＝t，
由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC，
∴BC2＝BG•BF，
∴（t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合题意，舍去），
∴CG＝＝＝t，
∴OG＝r﹣t，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，
解得r＝t，
∴cos∠ABD＝＝＝．
22．解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．
23．解：（1）BF﹣AF＝CF；【解法提示】∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵BC＝AC，EC＝DC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，而△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EF＝CF，则BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；即BF﹣AF＝CF；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
如解图①，过点C作CG⊥CF交BF于点G，

第23题解图①
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF＝CF，
则BF＝BG+GF＝AF+CF，
即BF﹣AF＝CF；
（3）BF﹣kAF＝•FC.
【解法提示】由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
如解图②，过点C作CG⊥CF交BF于点G，

第23题解图②
由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•FC，
则BF＝BG+GF＝kAF+•FC，
即BF﹣kAF＝•FC．
24．解：（1）点A的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（，）
【解法提示】对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），顶点坐标为（0，﹣1），当x＝时，y＝x2﹣1＝，由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，∵四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，则+1＝，+3＝，故点D的坐标为（，）；
②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1），
同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1，
解得n＝2m+1，
故点C的坐标为（0，2m+1）；
如解图，连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，

第24题解图
则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM＝（m+1+m）（2m+1）﹣×（m+1）（m2﹣1）﹣m[2m+1﹣（m2﹣1）]＝S▱ACDE＝6，
解得m＝﹣5（舍去）或2，
故点E的坐标为（2，3）；
（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2），
由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得n＝﹣t2﹣1，
故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，
联立①③并解得xH＝，
同理可得，xG＝，
∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α，
则sin∠AFO＝sin∠BFO＝＝＝＝sinα，
则FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝为常数．