6.7 角的和差（解析版） 试卷

这是一份6.7 角的和差（解析版），共26页。

6.7角的和差


一、单选题
1．如图，是的平分线，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义及已知条件即可求解．
【详解】
解：设∠DOB=k，
∵，
∴∠BOC=2k，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COA=∠BOC=2k，
∴∠AOD=∠DOB+∠BOC+∠COA=5k，
∵∠BOD=18°，
∴∠AOD=5×18°=90°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及角的计算，本题的解题关键是根据已知条件找出角度的关系，即可得出答案．
2．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先进行度、分、秒的乘法除法计算，再算减法．
【详解】



．
故选：B．
【点睛】
本题考查了度、分、秒的四则混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．
3．己知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故①错误；
②若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故②错误；
③∵，
∴OM在∠AOB的内部，
又∵，
∴OM是的平分线，故③正确；
④∵，
∴OM在∠AOB的内部，
但无法证明，
∴OM不一定是的平分线，故④错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角的角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
4．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，与的比是，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设∠DOB=2x，则∠DOA=11x，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小
【详解】
∵∠DOB与∠DOA的比是2:11
∴设∠DOB=2x，则∠DOA=11x
∴∠AOB=9x
∵∠AOB=90°
∴x=10°
∴∠BOD=20°
∴∠COB=70°
故选：C
【点睛】
本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导
5．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（　　）

A．540°﹣5α B．540°﹣6α C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
首先设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，然后表示∠FOE和∠BOE，再根据平角定义列方程，然后可得答案．
【详解】
设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，
∵∠DOE＝α，
∴∠FOE＝α﹣2x，
∵射线OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF＝α﹣2x，
则：3x+α+α﹣2x＝180°，
解得：x＝180°﹣2α，
∴∠AOD＝3×（180°﹣2α）＝540°﹣6α，
∴∠BOC＝540°﹣6α，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．
6．如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．随位置的变化而变化
【答案】A
【分析】
先求∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，后利用=∠DOC＋∠EOC计算即可．
【详解】
∵，分别是，的平分线，
∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，
∴=∠DOC＋∠EOC=∠AOC＋∠BOC
=（∠AOC＋∠BOC），
∵∠AOC＋∠BOC =，
∴=×120°=60°，
故选A．

【点睛】
本题考查了角的平分线，两个的和，熟练掌握用部分等于整体一半的方式表示角的平分线是解题的关键．
7．若，是锐角，平分，平分，则度数是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】
分两种情况进行讨论：（1）OC在外；（2）OC在内，分别根据角平分线的性质求解即可．
【详解】
（1）如图，OC在外
∵平分，平分
∴，
∵
∴

（2）如图，OC在内
∵平分，平分
∴，
∴

故答案为：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的相关计算，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）

A．∠BOA＞∠DOC B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180° D．∠BOC≠∠DOA
【答案】C
【分析】
根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论．
【详解】
解：A.∠BOA与∠DOC的大小不确定，故此结论不成立；
B.∠BOA−∠DOC的值不固定，故此结论不成立；
C.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOC＋∠DOC＋∠DOC＋∠DOA＝180°，
即∠DOC＋∠BOA＝180°，故此结论成立；
D.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOD −∠COD＝∠AOC −∠DOC，
即∠BOC＝∠DOA，故此结论不成立；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角的比较与运算，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．


二、填空题
9．如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．则∠MON的度数为_________．

【答案】45°
【分析】
先根据角的和差求出∠AOC，然后根据角平分线的定义求出∠COM与∠CON，再利用角的和差求解即可．
【详解】
解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=∠AOC=60°，∠CON=∠BOC=15°，
∴∠MON=∠COM－∠CON=60°－15°=45°；
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和角的和差计算，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
10．如图，射线，，均在内部，且．平分，平分．

请从A，B两题中任选一题作答．我选择______．
A．若，，则的度数为______．
B．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
【答案】A或B 50°
【分析】
A：根据角平分线的定义得到∠COE，∠COD的度数，再利用角的和差计算结果；
B：根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOC，∠COD=∠AOC，再利用角的和差计算结果．
【详解】
解：A题：
∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC，∠AOD=∠COD=∠AOC，
又∵∠AOC=30°，∠BOC=130°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD
=∠BOC-∠AOC
=（∠BOC-∠AOC）
=×（130°-30°）
=50°；
B题：
∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC，∠AOD=∠COD=∠AOC，
又∵∠AOB=∠BOC-∠AOC，
∴∠DOE=∠COE-∠COD
=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）
=∠AOB
=．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
11．如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．

【答案】30
【分析】
本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD与∠BOC的关系，继而将已知代入求解∠BOD．
【详解】
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，即∠AOD+BOD＝90°；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
即∠BOD+∠BOC+BOD＝90°，
即2∠BOD+∠BOC＝90°
∵∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝30°．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查垂直以及角分线的性质，解题关键在于角的互换，其次注意计算仔细即可．
12．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒20°、40°的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过____秒．


【答案】或
【分析】
分三种情况讨论，如图，当时，根据角度和差关系可得，解方程即可，当＜时，根据角度和差关系可得，解方程即可，当＜＜时， 解方程并检验可得答案．
【详解】
解：由题意可得：第一次与重合时，

如图，当时，

转的角度为 转过的角度为



第二次与重合时，

当＜时，如图，

转的角度为 转过的角度为



同理：当＜＜时，


不合题意舍去，
故答案为：或
【点睛】
本题考查的是角的动态定义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
13．七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t0），在OA与OB第三次重合时，当t=____________秒时，直线MN平分∠AOB．

【答案】18
【分析】
分情况讨论重合的条件，得出∠BON＝5t，∠AON＝15t﹣180，再根据角相等求解即可得出答案．
【详解】
解：在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；
在OA与OB第一次重合后第二次重合前，
∠BON＝5t，∠AON＝15t﹣180，
依题意有5t＝15t﹣180，
解得t＝18；
在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；
故当t＝18秒时，直线MN平分∠AOB．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出∠BON和∠AON是解题的关键．
14．如图，点依次在直线上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，直线保持不动，设旋转时间为t秒，现以射线中两条为边组成一个角，使射线为该角的角平分线，此时t的值为_______．


【答案】15s或12s或24s
【分析】
由题意易得∠BON=6t°，∠MOA=3t°，则有OA与OB重合时，时间为t=20s，进而分①当OA与OB相遇前，又分当∠MON=2∠BON时和当∠AON=2∠BON时；②当OA与OB相遇后，∠AOM=2∠BOM，最后分类列方程进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：∠BON=6t°，∠MOA=3t°，
∴当OA与OB重合时，则有，解得：，
∴①当OA与OB相遇前，即时，
当OB是∠MON的角平分线时，如图所示：

∵∠MON=180°，
∴，
∴，
当OB是∠AON的角平分线时，如图所示：

∴，
∵OB是∠AON的角平分线，
∴，
解得：；
②当OA与OB相遇后，即，
当OB是∠AOM的角平分线时，如图所示：

∴，
∵OB是∠AOM的角平分线，
∴，
解得：；
综上所述：以射线中两条为边组成一个角，使射线为该角的角平分线，此时的值为15s或12s或24s；
故答案为15s或12s或24s．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义、一元一次方程的应用及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、一元一次方程的应用及角的和差关系是解题的关键．
15．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．

【答案】45°．
【分析】
根据角平分线的定义得到∠DOC＝，∠COE＝，根据角的和差即可得到结论．
【详解】
解：∵OD平分，
∴∠DOC＝，
∵OE平分，
∴∠COE＝，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝＝∠AOB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及有关角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
16．已知，其平分线为，其平分线为，则_______．
【答案】或
【分析】
分两种情况讨论，当在角内部时，；在角外部时，；计算得出答案即可．
【详解】
解：∵，平分，，平分，
∴，，
如图1，当在角内部时，

∴；
如图2，在角外部时，
．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，发挥空间想象能力，考虑两种情况，运用分类讨论的方法是解题关键．

三、解答题
17．如图，已知，，是的角平分线，求的度数．

【答案】75°
【分析】
根据角的和差性质计算，得∠AOC；根据角平分线的性质计算，得；再根据角的和差性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵∠AOB＝120°，∠BOC＝30°
∴∠AOC＝∠AOB -∠BOC＝90°
又∵OD是∠AOC的角平分线，
∴
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC =45°＋30°＝75°．
【点睛】
本题考查了角的和差和角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角的和差和角平分线的性质，从而完成求解．
18．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．

（1）求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？
【答案】（1）45°；（2）y＝45°与x无关；（3）45°
【分析】
（1）根据角平分线的定义得：∠EOC＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，而∠EOF＝∠EOC－∠COF，据此解答；
（2）利用（1）中的方法进行计算即可；
（3）通过第（1）、（2）的计算，发现∠EOF＝∠AOB．
【详解】
解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝×150°＝75°，∠COF＝∠BOC＝＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC－∠COF＝75°－30°＝45°；
（2）∵∠AOB是直角，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝x°－90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝ x°，∠COF＝∠BOC＝（x°－90°），
∴∠EOF＝∠EOC－∠COF＝x°－（x°－90°）＝45°；
（3）根据（2）的规律发现，∠EOF的度数只与∠AOB有关，
∠EOF＝ ∠AOB＝×90°＝45°．
【点睛】
此题考查了角的计算与角平分线的定义．此题注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
19．如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，∠BOC＝26°时，求∠BOE的度数．

【答案】
【分析】
根据角平分线定义求出∠AOB度数，再根据角互补关系求出∠DOB度数，最后利用角平分线定义可求∠BOE度数．
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，∠BOC＝26°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝52°．
∴∠BOD＝180°﹣52°＝128°．
∵OE平分∠DOB，
∴∠BOE＝∠DOB＝×128°＝64°．
【点睛】
本题主要考查余角与补角以及角平分线的定义，正确找到角的和差倍分关系是解题的关键．
20．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOE＝40°，∠AOB＝∠COD＝18°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．

【答案】（1）62°；（2）∠AOC＝∠BOD，理由见解析
【分析】
（1）根据角平分线定义求出∠AOC，根据∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB代入求出即可；
（2）∠AOC＝∠BOD，理由是根据∠BOD＝∠BOC+∠COD求出∠BOD＝80°，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝40°，
∴∠AOC＝2∠AOE＝80°，
∵∠AOB＝18°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝62°；
（2）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵∠BOC＝62°，∠COD＝18°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝80°，
∵∠AOC＝80°，
∴∠AOC＝∠BOD．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和角的有关计算，主要考查学生能根据图形求出有关角的度，题目比较典型，是一道比较好的题目．
21．如图1，线段AB＝20cm．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/s的速度运动，几秒后，P，Q两点相遇？
（2）如图2，AO＝PO＝2cm，∠POQ＝60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若点P，Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．

【答案】（1）4秒；（2）8cm/s或cm/s
【分析】
（1）根据点P，Q的运动路程之和为20建立方程求解即可得出结论；
（2）要点P，Q相遇，只能点P运动到线段AB上，判断出点P旋转的角度，进而求出点P的运动时间，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设t秒后，P，Q两点相遇，
根据题意知，（2+3）t＝20，
解得，t＝4秒，
答：4秒后，P，Q两点相遇．
（2）∵∠POQ＝60°，
∴点P绕着点O旋转60°或240°刚好在线段AB，
当点P绕着点O旋转60°时，点P和点Q相遇，
∴点P的旋转了60°÷30°＝2秒，
则（20﹣4）÷2＝8cm/s，
当点P绕着点O旋转240°时，点P和点Q相遇，
∴点P的旋转了240°÷30°＝8秒，
则20÷8＝cm/s，
即：点Q的速度为8cm/s或cm/s．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．
22．如图，射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线．

（1）如果∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，那么∠MON是多少度？
（2）请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠MON＝40°；（2）∠MON＝∠BOC．理由见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的定义求得∠AOM及∠AON的度数，再由角之间的和差关系计算即可；
（2）根据角平分线的定义表示出∠AOM及∠AON，再由角之间的和差关系即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×140°＝70°，∠AON＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠MON＝∠AOM－∠AON＝70°－30°＝40°；
（2）∠MON＝∠BOC，理由如下：
∵射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，
∴∠AOM＝∠AOB，∠AON＝∠AOC，
∴∠MON＝∠AOM－∠AON＝(∠AOB－∠AOC)＝∠BOC．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，熟练掌握并运用角平分线定义是解题的关键．
23．如图1，直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）若∠AOC＝130°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC＝α，将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，其它条件不变，求∠DOE度数（用含α的式子表示）．

【答案】（1）65°；（2）180°﹣α．
【分析】
（1）根据平角的定义得：∠BOC=180°-130°，由角平分线定义得：∠EOC= ∠BOC=90°- ×130°=25°，根据角的差可得结果；
（2）根据平角的定义和角平分线的定义可得：∠DOE=∠COD+∠COE=180°- α．
【详解】
解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°=50°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝25°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣25°＝65°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+（90°﹣α）＝180°﹣α．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
24．如图所示，平分，平分．

（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）据角平分线的定义求得∠AOC和∠COE的度数，再相加可得∠AOE的度数；
（2）据角平分线的定义和得到，再由求得的度数，最后由平分求得的度数．
【详解】
解（1）如图


∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴；
（2）如图


∵
∴
∵平分
∴
∴
又
∴
∵平分
∴．
【点睛】
此题考查角平分线的定义和角的有关运算，理解角平分线的定义和结合图形能进行角的加减是关键．
25．已知О为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．


（1）如图1，若OC平分，且，，求的度数．
（2）如图2，若，过点О引射线OF平分，是的平分线，且，求的度数．
【答案】（1）60°；（2）36°
【分析】
（1）设∠DOE=x，则∠BOE=3x，进而可求得∠AOD=180°﹣4x，根据角平分线的定义可求得∠COD=90°﹣2x，由∠COE=∠COD+∠DOE=70°求得x值即可解答；
（2）可设∠BOD=3k，∠COD=2k，则∠BOC=5k，根据角平分线的定义可得∠COF=∠FOD=k，∠COE=∠BOE=k，由∠DOE=12°可求得k值，进而可求得∠EOF的度数．
【详解】
解：（1）设∠DOE=x，则∠BOE=3x，
∴∠AOD=180°﹣4x，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD=90°﹣2x，
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°﹣2x+x=90°﹣x=70°，
∴x=20°，
∴∠BOE=3x=60°；
（2）设∠BOD=3k，∠COD=2k，则∠BOC=5k，
∵OF平分，平分，
∴∠COF=∠FOD=k，∠COE=∠BOE=k，
∵∠DOE=∠COE﹣∠COD=k﹣2k=k=12°，
∴k=24°，
∴∠EOF=∠FOD+∠DOE=24°+12°=36°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、角的计算等知识，熟练掌握角平分线的定义，根据角之间的比例关系巧妙设未知数是解答的关键．
26．如图，已知、、在同一条直线上，，，平分，求的度数．

【答案】50°
【分析】
根据等量代换得到∠AOE=∠COD，再根据角平分线的定义得到∠AOE=∠COD=∠BOC，利用平角的定义得到3∠AOE+30°=180°，即可求出∠AOE．
【详解】
解：∵∠AOD=∠COE，即∠AOE+∠EOD=∠COD+∠EOD，
∴∠AOE=∠COD，
∵OC平分∠DOB，
∴∠COD=∠BOC，
∴∠AOE=∠COD=∠BOC，
∴∠AOE+∠COD+∠BOC+∠DOE=180°，
即3∠AOE+30°=180°，
∴∠AOE=50°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．