6.8 余角和补角（解析版） 试卷

这是一份6.8 余角和补角（解析版），共22页。

6.8余角和补角


一、单选题
1．如图所示，在中，，，则互为余角的角有（ ）．

A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】B
【分析】
根据若两个角之和等于，则这两个角互为余角；结合题意，即可找到互为余角的对数．
【详解】
∵
∴，，
∵
∴，；
∴有4对互为余角
故选：B．
【点睛】
本题考查了余角、直角、直角三角形两锐角互余的知识；解题的关键是熟练掌握余角、直角定义和直角三角形两锐角互余性质，从而完成求解．
2．如图，O在直线AB上，OC平分∠DOA（大于90°），OE平分∠DOB，OF⊥AB，则图中互余的角有（　　）对．

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义、垂直的定义、角互余的定义、角的和差即可得．
【详解】
∵OC平分
∴
∵OE平分
∴
∴
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
综上，互余的角共有9对
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、角互余的定义、角的和差，熟记角的运算是解题关键．
3．如图，∠1＞∠2，那么∠2的余角是( )

A．∠1 B．(∠1+∠2) C．(∠1﹣∠2) D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意把∠1+∠2=180°进行变形，根据余角的概念计算即可．
【详解】
∵∠1+∠2＝180°，
∴(∠1+∠2)＝90°，∠2＝180°﹣∠1，
∠2的余角是90°﹣(180°﹣∠1)
＝∠1﹣90°
＝∠1﹣(∠1+∠2)
＝(∠1﹣∠2)，
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
4．已知与互补，与互余，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据互补角的定义可得，再根据互余角的定义即可得．
【详解】
与互补，且，
，
又与互余，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了互补角、互余角，熟练掌握互补角与互余角的定义是解题关键．
5．如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论：
①；
②若射线经过刻度，则与互补；
③若，则射线经过刻度45．
其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】
由==36°，得，即可判断①，由=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，即可判断②，由，得，进而得，即可判断③．
【详解】
∵射线、分别经过刻度和，绕点逆时针方向旋转到，
∴==36°，
∵，，
∴，
故①正确；
∵射线经过刻度，
∴=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，
∴+=54°+126°=180°，即：与互补，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴射线经过刻度45．
故③正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查角的和差倍分关系以及补角的定义，掌握角的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键．
6．若，互为补角，且，则下列表示的余角的式子中正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．① B．② C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】
由，互为补角，可得+=180°，可求=90°，+，可判定①不正确；由∠2=180°-，可求90°-∠2=90°-（180°-）=∠1-90°可判定②正确，由+=，可判定③正确由，+=可判定④不正确．
【详解】
解：∵，互为补角，
∴+=180°，
∴=90°，+，故①不正确；
∴∠2=180°-，
∴90°-∠2=90°-（180°-）=∠1-90°，故②正确；
∵+=，故③正确；
∵，+==
故④不正确．
故选择：C．
【点睛】
本题考查互为补角和余角，掌握余角两角和为90°是解题关键．
7．已知∠1的补角是它的4倍，那么∠1的度数是（　　）
A．18° B．30° C．36° D．60°
【答案】C
【分析】
根据互补的两角之和为180°，列方程求解即可．
【详解】
由题意得，180°﹣∠1＝4∠1，
解得∠1＝36°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
8．下列各组角中，互为余角的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义即可求解．
【详解】
解：∵A. +=，不是互为余角，本选项错误；
B. +=，不是互为余角，本选项错误；
C. +=，是互为余角，本选项正确；
D. +=，不是互为余角，本选项错误.
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角的定义，掌握定义是解题的关键．


二、填空题
9．如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④．能表示补角的是________（填序号）．
【答案】①④
【分析】
根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，进行判断即可．
【详解】
解：∵和互余，
∴+=90°，
①能表示补角，正确；
②，不能表示补角，错误；
③，不能表示补角，错误；
④，能表示补角，正确；
∴能表示补角的是①④；
故答案为：①④.
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
10．如图，下列推理正确的是__________________.

①∵直线，相交于点（如图1），∴；
②∵（如图2），∴；
③∵平分（如图3），∴；
④∴，（如图4），∴.
【答案】①②③
【分析】
①根据对顶角性质可得；②根据“同角的余角相等”可得；③根据角平分线定义可得；④根据角的度数换算可得.
【详解】
①根据对顶角性质可得，∵直线，相交于点（如图1），∴；
②根据“同角的余角相等”可得，∵（如图2），∴；
③根据角平分线定义可得，∵平分（如图3），∴；
④∵，（如图4），∴.
故答案为：①②③
【点睛】
考核知识点：余角的定义.理解角平分线，余角定义等是关键.
11．已知∠α＝13°，则∠α的补角的大小是_________．
【答案】166°33′
【分析】
根据补角的定义进行计算即可．
【详解】
解：∠α的补角度数为：180°-13°=166°33′，
故答案为：166°33′．
【点睛】
本题考查了补角的定义和角的度量，解题关键是理解补角的定义，会角的单位转换．
12．如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角的度数是________．
【答案】30°
【分析】
根据余角和补角的定义，即可解答．
【详解】
解：∵一个角的补角是120°，
∴这个角为：180°−120°＝60°，
∴这个角的余角为：90°−60°＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了余角和补角的定义，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义．
13．如果∠1和∠2互补，∠2比∠1小10°，则∠1=________．
【答案】95°
【分析】
根据∠1和∠2互补得∠2=180°-∠1，再根据∠2比∠1小10°得到∠2=∠1-10°，由此列得180°-∠1=∠1-10°，求出答案即可.
【详解】
∵∠1和∠2互补，
∴∠1+∠2=180°,
∴∠2=180°-∠1，
∵∠2比∠1小10°，
∴∠2=∠1-10°，
∴180°-∠1=∠1-10°，
解得∠1=95°，
故答案为：95°.
【点睛】
此题考查角度互补的关系，角度的和差关系计算，正确掌握互补关系的两角的数量关系是解题的关键.
14．一个角的补角加上40°后，恰好是这个角的余角的3倍，则这个角为________．
【答案】25°
【分析】
设这个角为α，根据互余的两个角的和等于90°表示出余角，互补的两个角的和等于180°表示出补角，然后列出方程求出α角即可．
【详解】
解：设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，
根据题意得，180°-α+40°=3（90°-α），
解得α=25°，
所以，这个角为：25°．
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了余角与补角，熟记余角与补角的概念，然后列出方程是解题的关键．
15．若的余角是，则的补角是_________ ．
【答案】
【分析】
根据余角的性质用90°减去求出较A的度数，然后进一步利用补角的性质加以计算即可.
【详解】
由题意得：∠A=90°−=，
∴∠A的补角=180°−=，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了角度的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.
16．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的新的角是________________度．
【答案】60或180．
【分析】
根据题意，列出等式，先求出∠α，然后求出∠β，然后分成两种情况进行分析，即可得到答案.
【详解】
解：∵∠α是它的余角的2倍，
∴，
∴，
∴，
∴把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的新的角为：
或；
故答案为：60或180.
【点睛】
本题考查了余角的性质，以及角的倍数关系，解题的关键是掌握余角的性质，正确列出等式求出.

三、解答题
17．如图所示，已知，的补角比大．

（1）求的度数；
（2）过点O作射线OD，使得，请你求出．
【答案】（1）40°；（2）或．
【分析】
（1）根据题意先求得的补角，结合，的补角比大列出方程，求解即可；
（2）分射线OD在内部和外部两种情况讨论，根据（1）的结论可知，结合题意，列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）的补角为，
因为，的补角比大
所以，
则，
即，，
所以；
（2）由（1）得，，
①当射线OD在内部时，

，
则；
②当射线OD在外部时，

，
则．
综上所述，的度数为或．
【点睛】
本题考查了补角的定义，角度的计算，运用方程的思想计算，分类讨论是解题的关键．
18．如图，射线、把分成三个角，且度比是，射线平分，射线平分，且．

（1）求的度数；
（2）求的补角的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设，则，．根据题意可知，，．即可列出，求出x，即可求出．
（2）根据（1）和即可求出的大小．
【详解】
（1）设，则，．
根据图可知，，
∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，
∴， ．
∴，即．
解得．
∴．
（2）∵，
∴．
∴的补角大小为．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、补角的定义以及解一元一次方程．根据题意列出角的等量关系式是解答本题的关键．
19．如图（甲），和都是直角．


（1）如果，说出的度数．
（2）找出图（甲）中相等的角．如果，它们还会相等吗？
（3）若变小，如何变化？
（4）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．
【答案】（1）的度数为；（2），，还会相等；（3）变大；（4）见解析．
【分析】
（1）根据∠AOC＝90°，∠DOC＝28°，求出∠AOD的度数，然后即可求出∠AOB的度数；
（2）根据直角和等式的性质可得，∠AOD＝∠BOC；
（3）根据∠AOD+∠DOC+∠DOC+∠BOC＝180°，可得∠AOB+∠DOC＝180°，进而得到∠DOC变小∠AOB变大，若∠DOC越来越大，则∠AOB越来越小．
（4）首先以OE为边，在∠EOF外画∠GOE＝90°，再以OF为边在∠EOF外画∠HOF＝90°，即可得到∠HOG＝∠EOF．
【详解】
解：（1）因为，∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝28°
所以，∠COB＝90°﹣28°＝62°，
所以，∠AOB＝90°+62°＝152°，
（2）相等的角有：∠AOC＝∠DOB＝90°，∠AOD＝∠BOC；
因为∠AOD＝∠AOC-∠DOC＝∠DOB-∠DOC=∠COB
所以∠AOD＝∠BOC；
如果∠DOC≠28°，他们还会相等；
（3）因为∠AOB＝∠AOC+∠DOB-∠DOC＝180°-∠DOC
所以当∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
当∠DOC越来越大，则∠AOB越来越小
（4）如图，


画∠BOD＝∠COE＝90°，则∠BOC＝∠DOH
即，∠DOH为所画的角．
【点睛】
本题考查了余角和补角，以及角的计算，是基础题，准确识图是解题的关键．
20．下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并回答问题．
2020年12月27日 星期日 晴

今天，我们数学兴趣小组讨论了一个画图问题：如图1，已知∠AOB，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互余．
对这个问题，我刚开始没有什么思路，但是我们通过小组讨论，发现射线OC在∠AOB的外部，尝试画出示意图，如图2所示；然后用三角尺画出直角∠BOD，如图3所示，找到∠BOC的余角∠COD；进而分析要使∠AOC与∠BOC互余，则需∠AOC＝∠COD．因此，我们找到了解决问题的方法：用三角尺作射线OD，使∠BOD＝90°，利用量角器画出∠AOD的平分线OC，这样就得到了∠AOC与∠BOC互余．
小组活动后我对这种画法进行了证明，并且我有如下思考：用同样的办法能否画出已知角的补角呢？……
（1）请帮小宇补全下面的证明过程．
已知：如图3，射线OC，OD在∠AOB的外部，∠BOD＝90°，OC平分∠AOD．
求证：∠AOC与∠BOC互余．
证明：∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＋ ＝90°．
∵OC平分∠AOD，
∴ ＝ ．
∴∠BOC＋∠AOC＝90°，
即∠AOC与∠BOC互余．
（2）参考小宇日记中的画法，请在图4中画出一个∠AOE，使∠AOE与∠BOE互补．（不写画法，保留画图痕迹）
【答案】（1）∠COD， ∠AOC， ∠COD；（2）见解析
【分析】
（1）根据画法和及余角定义及角平分线的性质，即可补充证明过程；
（2）根据小宇日记中的画法，分两种情况考虑画出∠AOE．
【详解】
解：(1)根据余角定义可得：∠BOC＋∠COD ＝90°
∴第1空为：∠COD，
根据角平分线的性质可知：∠AOC＝∠COD
∴第2、3空为：∠AOC， ∠COD；
(2) 分两种情况：画出∠AOE如图所示：
作图一：
作图二：．
【点睛】
本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、余角和补角、解题的关键是根据题意准确画出图形．
21．如图1，点是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；请你补全下列解题过程：
∵点为直线上一点，
∴___________；
∵，
∴___________；
∵平分，
∴（ ）
∴___________．
（2）在（1）条件下如图2，若是内部一条射线，满足，求的度数．

【答案】(1) 180°、60°、角平分线的定义、30°；（2）120°．
【分析】
（1）根据平角和角平分线的定义求解，根据解题步骤填上适当的数．
（2）根据补角的定义解答即可．
【详解】
解：（1）∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°．
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°．
∵OD平分∠AOC
∴（角平分线的定义）
∴30°．
故答案为180°、60°、角平分线的定义、30°．
（2）∵ ，且
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了角平分线和邻补角，能熟练地运用邻补角互补进行计算是解答此题的关键．
22．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，点F在线段AD上，且点F不与点D重合，点E在线段AB上，此时∠AFE和∠AEF互为余角，若恰好平分∠FEB，回答下列问题．
（1）求∠AEF的度数；
（2）∠＝　 　度．

【答案】（1）60°；（2）120
【分析】
（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义可知∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，再根据平角的定义求解即可；
（2）根据折叠的性质、互余的定义以及（1）的结论可得∠AFA'的度数，进而得出∠A'FD的度数．
【详解】
解：（1）根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF，
∵EA'恰好平分∠FEB，
∴∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，
∵∠AEF+A'EF+∠A'EB＝180°，
所以∠AEF＝60°；
（2）∵∠AFE和∠AEF互为余角，
∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝30°，
根据折叠的性质可得∠AFA'＝2∠AFE＝60°，
∴∠A'FD＝180°﹣∠AFA'＝120°．
故答案为：120．
【点睛】
本题主要考查了角的计算问题，掌握折叠的性质并理清相关角的关系是解答本题的关键．
23．如图，是直线上的一点，射线，分别平分和．
（1）说出图中互余的角；
（2）已知，求的度数．

【答案】（1）与互余，与互余，与互余，与互余；（2）32°
【分析】
（1）由题意可以计算图中和为90°的角，然后根据余角的定义可以得到解答；
（2）根据图中各角之间的关系求解．
【详解】
（1），、分别平分和，
，，
，
与互余，与互余，与互余，与互余；
（2），
，
，
．
【点睛】
本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的意义、余角和补角的意义是解题关键．
24．如图，是直线上的一点，．
（1）图中与互余的角有______；
（2）写出图中相等的角______；（直角除外）
（3）的补角是______．

【答案】（1），；（2），；（3）
【分析】
（1）由推出∠1+∠2=∠1+∠4=，即可得到答案；
（2）由∠1+∠2=∠2+∠3=∠1+∠4=，推出∠1=∠3，∠2=∠4；
（3）由∠1+∠AOE=，∠1=∠3，推出∠3+∠AOE=得到答案．
【详解】
（1）∵，
∴∠1+∠2=∠1+∠4=，
故答案为：，；
（2）∵∠1+∠2=∠2+∠3=∠1+∠4=，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
故答案为：，；
（3）∵∠1+∠AOE=，∠1=∠3，
∴∠3+∠AOE=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查余角的定义，补角的定义，同角的余角相等，同角的补角相等，熟记定义是解题的关键．
25．如图，已知是直线上一点，平分，，，求的度数．

【答案】.
【分析】
根据平角的定义，求∠BOC，后利用角的平分线，垂直的定义计算即可.
【详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了平角的定义，角的平分线，垂直的定义，熟练掌握互补的定义，角的平分线的性质是解题的关键.
26．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分
如图①，若，求的度数；

将图①中的三角板绕顶点转动到图②的位置，若，试求出的度数．

【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）、结合平角的定义和角平分线的定义解答；
（2）、根据角平分线的定义、平角的定义以及角的和差关系解答即可．
【详解】
解:如题图①，因为，
所以
又因为平分
所以，
所以；
如题图②，因为，
所以
因为平分
所以，
所以，
，
所以．
【点睛】
考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．