2022-2023学年四川省自贡市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省自贡市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省自贡市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，最简二次根式是(    )
A. 8 B. m5n2 C. 6 D. 13
2. 下列各式计算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 3+ 2=3 2 C. 1 3=3 3 D. 2× 3= 6
3. 一次函数y=kx+b(k≠0，k,b为常数)的图象如图所示，则k,b的取值范围是(    )  

A. k>0,b>0 B. k<0,b>0 C. k>0,b<0 D. k<0,b<0
4. 矩形具有而菱形不具有的性质是(    )
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+m与直线y=−4x+7相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组y=2x+my=−4x+7的解是(    )
A. x=2y=−1
B. x=1y=3
C. x=−1y=2
D. x=3y=1


6. 丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是(    )
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
7. 如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将△ABC折叠，使点B点重A合，折痕为DE，则BD的长为(    )
A. 7
B. 254
C. 6
D. 112
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BA=5，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为(    )
A. 132
B. 3013
C. 6013
D. 125
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 要使式子 x−7有意义，则字母x的取值范围是______ ．
10. 点A(4,3)在一次函数y=2x+n的图象上，则n等于______ ．
11. 有一棵9米高的大树距离地面4米处折断(未完全断开)，则大树顶端触地点距大树的距离为______ 米.
12. 一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，11，2x的平均数与中位数都是8，则x−y= ______ ．
13. 如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=______．

14. 如图，矩形OABC两边与坐标轴正半轴重合，Q是AB边上的一个动点，P是经过A，C两点的直线y=− 3x+2 3上的一个动点，则4PQ+2CP的最小值是______ ．


三、解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算： 12− 27− 3．
16. (本小题5.0分)
已知x= 5− 3，y= 5+ 3，求x2−y2的值．
17. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．


18. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l交AB于点E，交AC于点D.已知AD=10，CD=6，BC=8.求△ABC的面积．

19. (本小题5.0分)
已知一次函数的图象经过点(2,1)和(0,−2)．
(1)求出该函数的解析式；
(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标．
20. (本小题6.0分)
某校为了解学生的身高情况，对本校学生进行了抽样调查.已知抽取的样本中男生和女生的人数相同，利用所得数据绘制成如下所示的统计图表：
身高情况分组表(单位：cm)
组别
身高
A
x<155
B
155≤x<160
C
160≤x<165
D
165≤x<170
E
x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)在样本中，男生身高的众数在______ 组，中位数在______ 组；
(2)在样本中，女生身高在E组的人数为______ ；
(3)已知该校共有男生400人、女生500人，请估计该校身高在160cm≤x<170cm之间的学生共有多少人．

21. (本小题6.0分)
如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为a，b，斜边AB的长为c，斜边上的高CD的长为h.求证：1a2+1b2=1h2．

22. (本小题6.0分)
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF//AB交P于点BF．

(1)求证：四边形BFED为菱形．
(2)当折痕PQ的点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长．
23. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系中，已知点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，根据勾股定理，我们可以求得这两个这点间的距离P1P2= (x1−x2)2+(y1−y2)2.当点P1P2在坐标轴上或平行(垂直)于坐标轴的直线上时，两点间的距离可简化为P1P2=|x1−x2|，或P1P2=|y1−y2|.
请利用以上结论，回答下列问题：
(1)已知A(4,3)，B(−2,−5)，则A，B两点间的距离为______ ；
(2)已知M，N在平行于x轴的直线上，点M的横坐标为5，点N的横坐标为−2，则M，N点两之间的距离为______ ．
(3)已知一个三角形各顶点的坐标为D(−3,1)，E(−2,−1)，F(4,2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．
24. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC=4．
(1)求直线BC的解析式；
(2)如图1，过点A的直线交线段BC于点M，△AMB的面积是△AOB面积的两倍，求点M的坐标；
(3)如图2，点F是线段AB的中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A． 8=2 2，因此选项A不符合题意；
B. m5n2=m2n m，因此选项B不符合题意；
C. 6是最简二次根式，因此选项C符合题意；
D. 13= 33，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质进行化简，结合最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．

2.【答案】D 
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、3与 2不能合并，故B不符合题意；
C、1 3= 33，故C不符合题意；
D、 2× 3= 6，故D符合题意；
故选：D．
根据二次根式的加法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系有关知识，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k>0，b<0，此题得解．
【解答】
解：观察图形可知：一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0．
故选C．  
4.【答案】C 
【解析】解：A、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故A选项错误；
B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故B选项错误；
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C选项正确；
D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故D选项错误；
故选：C．
根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．
本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：由图象可得直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A(1,3)，
则关于x，y的二元一次方程组y=2x+my=−4x+7的解是x=1y=3．
故选：B．
由图象可知A(1,3)，代入y=2x+b中得出b的值，再解方程组．
本题考查一次函数与二元一次方程的关系，找到A点是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：D．
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．

7.【答案】B 
【解析】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=AD=x，则CD=8−x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，
∴62+(8−x)2=x2，
解得x=254．
∴BD=254，
故选：B．
由折叠的性质得出AD=BD，设AD=x，则CD=8−x，可得出62+(8−x)2=x2，可求x的值，则可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：如图，连接AD、EF，

∵∠BAC=90°，且BA=5，AC=12，
∴BC= BA2+AC2= 52+122=13，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF=AD，GF=GE，
当AD⊥BC时，AD的值最小，则EF的值最小，
此时，△ABC的面积=12BA⋅AC=12BC×AD，
∴AD=BA⋅ACBC=5×1213=6013，
∴EF的最小值为6013，
∴GF的最小值=12×6013=3013，
故选：B．
连接AD、EF，由勾股定理求出BC的长，再证四边形DEAF是矩形，得EF=AD，然后由垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．

9.【答案】x≥7 
【解析】解：由题意得，x−7≥0；
∴x≥7．
故答案为：x≥7．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

10.【答案】−5 
【解析】解：∵一次函数y=2x+n的图象经过点A(4,3)
∴3=2×4+n，
解得：n=−5，
故答案为：−5．
根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．

11.【答案】3 
【解析】解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
已知AC=4米，AC+AB=9米，
则AB2=BC2+AC2，
即(9−4)2=42+BC2，
解得：BC=3．
故大树顶端触地点距大树的距离为3米．
故答案为：3．
根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
此题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．

12.【答案】−2 
【解析】解：∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，11，2x的平均数与中位数都是8，
∴16(2+5+x+y+2x+11)=12(x+y)=8，
解得y=9，x=7，
∴x−y=7−9=−2，
故答案为：−2．
根据平均数与中位数的定义可以先求出x，y的值，进而就可以得出x−y的值．
本题主要考查平均数与中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

13.【答案】10 
【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB//CD，AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵AB//CD，EF//BD，
∴DE//BG，BD//EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12，
∴OB=OD= 132−122=5，
∴BD=2OD=10，
∴EG=BD=10；
故答案为：10．
连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．

14.【答案】8 
【解析】解：过P作PM⊥OC，垂足为M，过Q作QN⊥OC，垂足为N，
当x=0时，y=− 3x+2 3=2 3，
∴OC=2 3，
令y=− 3x+2 3=0得x=2，
∴OA=2，
∴tan∠OCA=OAOC=22 3= 33，
∴∠OCA=30°，
∴PM=PC⋅sin∠OCA=PC⋅sin30°=12PC，
∴4PQ+2CP=4(PQ+12CP)=4(PQ+PM)≥4QN=4×2=8，
故答案为：8．
4PQ+2CP=4(PQ+12CP)，再考虑胡不归．
本题考查了胡不归模型，关键是将4PQ+2CP提取系数4．

15.【答案】解： 12− 27− 3
=2 3−3 3− 3
=−2 3． 
【解析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减，能熟记二次根式的加减法法则是解此题的关键．

16.【答案】解：∵x= 5− 3，y= 5+ 3，
∴x+y=( 5− 3)+( 5+ 3)=2 5，x−y=( 5− 3)−( 5+ 3)=−2 3，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=2 5×(−2 3)=−4 15． 
【解析】根据二次根式的加减法法则分别求出x+y、x−y，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、平方差公式是解题的关键．

17.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE． 
【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB//DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．

18.【答案】解：连接DB，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB=10，
∵CD=6，
∴AC=AD+CD=16，
∵BC=8，
∴CD2+BC2=62+82=100，BD2=102=100，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠C=90°，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×16×8=64，
∴△ABC的面积为64． 
【解析】连接DB，根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，从而可得∠C=90°，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

19.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点(2,1)和(0,−2)，
∴1=2k+bb=−2，
解得k=32b=−2．
∴一次函数的解析式为y=32x−2．
(2)当y=0时，0=32x−2，
解得x=43，
∴该函数图象与x轴的交点坐标是(43,0)． 
【解析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，把点(2,1)和(0,−2)代入解析式求得k与b的值即可；
(2)令一次函数解析式中的y=0，求得x的值可得结果．
此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．

20.【答案】B  C  2 
【解析】解：(1)由直方图可知众数在B组，
男生总人数为4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为：B，C；
(2)女生身高在E组的频率为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人，
故答案为：2；
(3)400×10+840+500×(25%+15%)=180+200=380(人)．
答：估计该校身高在160≤x<170之间的学生约有380人．
(1)根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
(2)先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
(3)分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21.【答案】证明：根据题意知，c≠0．
由勾股定理得到：a2+b2=c2．
又∵12ab=12ch，
∴ab=ch．
∴1a2+1b2
=a2+b2a2b2
=c2c2h2
=1h2．
即1a2+1b2=1h2． 
【解析】利用勾股定理得到a2+b2=c2，由等面积法得到ab=ch，然后利用等式的性质进行变形处理，证得结论．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得到两个等式：a2+b2=c2、ab=ch．

22.【答案】(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF//AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE= CE2−CD2=4cm，
∴AE=AD−DE=5−4=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3−PB=3−PE，
∴EP2=12+(3−EP)2，
解得：EP=53cm，
∴菱形BFEP的边长为53cm． 
【解析】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和折叠变换的性质是解题的关键．
(1)由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由翻折的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD−DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP即可．

23.【答案】10  7 
【解析】解：(1)∵A(4,3)，B(−2,−5)，
∴A，B两点间的距离= (4+2)2+(3+5)2= 36+64=10．
故答案为：10；
(2)∵M，N在平行于x轴的直线上，点M的横坐标为5，点N的横坐标为−2，
∴M，N点两之间的距离=|−2−5|=7．
故答案为：7；
(3)∵D(−3,1)，E(−2,−1)，F(4,2)，
∴DE= (−3+2)2+(1+1)2= 5，DF= (4+3)2+(2−1)2= 50，EF= (−2−4)2+(−1−2)2= 45，
∵( 5)2+( 45)2=( 50)2，
∴△DEF是直角三角形．
(1)直接利用两点间的距离公式解答即可；
(2)根据平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等即可得出结论；
(3)利用两点间的距离公式求出三角形各边的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

24.【答案】解：(1)当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，
当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
∵OC=4，
∴C(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0b=4，
解得k=−1b=4，
∴直线BC的解析式为y=−x+4；
(2)∵OA=2，OB=4，
∴△AOB的面积=12×2×4=4，
∵△AMB的面积是△AOB面积的两倍，
∴△ABM的面积=8，
设M(t,−t+4)，
当t>0时，设直线AM的解析式为y=k′x+b′，
∴−2k′+b′=0tk′+b′=−t+4，
解得k′=−t+4t+2b′=−2t+8t+2，
∴直线AM的解析式为y=−t+4t+2x+−2t+8t+2，
∴直线AM与y轴的交点为(0,−2t+8t+2)，
∴12×(4−−2t+8t+2)×(t+2)=8，
解得t=83，
∴M(83,43)；
当t<0时，S△AMB=S△ACM−S△ABC，
∴12×6×(−t+4−4)=8，
解得t=−83，
∴M(−83,203)；
综上所述：M点坐标为(83,43)或(−83,203)；
(3)∵点F是线段AB的中点，
∴F(−1,2)，
设G(0,t)，
当t<2时，如图2，过点G作ST//x轴，过点F作FS⊥ST交于S点，过点Q作QT⊥ST交于T点，
∵∠FGQ=90°，
∴∠FGS+∠QGT=90°，
∵∠FGS+∠GFS=90°，
∴∠QGT=∠GFS，
∵FG=GQ，
∴△FGS≌△GQT(AAS)，
∴FS=GT=2−t，SG=QT=1，
∴Q(2−t,t+1)，
∴t+1=−(2−t)+4，
此时t无解；
当n>2时，如图1，过点G作KH//x轴，过点F作FK⊥KH交于K点，过点Q作QH⊥KH交于点H，
同理可证△KGF≌△HQG，
∴Q(t−2,t−1)，
∴t−1=−(t−2)+4，
解得t=72，
∴G(0,72)； 
【解析】(1)求出点B、点C的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)由题可得△ABM的面积=8，设M(t,−t+4)，当t>0时，直线AM的解析式为y=−t+4t+2x+−2t+8t+2，则直线AM与y轴的交点为(0,−2t+8t+2)，根据三角形面积可得方程12×(4−−2t+8t+2)×(t+2)=8，求出M点坐标；当t<0时，根据S△AMB=S△ACM−S△ABC，可得12×6×(−t+4−4)=8，求出M点坐标；
(3)设G(0,t)，当t<2时，过点G作ST//x轴，过点F作FS⊥ST交于S点，过点Q作QT⊥ST交于T点，通过证明△FGS≌△GQT(AAS)，可得Q(2−t,t+1)，
此时Q点不存在；当n>2时，同理可得Q(t−2,t−1)，此时G(0,72).
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．