专题03 空间向量与立体几何（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题03 空间向量与立体几何
一、考情分析

二、考点梳理
一、空间直角坐标系
定义
以空间中两两__________且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标__________，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy平面、yOz平面、__________平面．
画法
在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°．
图示

说明
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
二、空间直角坐标系中点的坐标
1．空间中的任意点与有序实数组之间的关系
如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M的__________．

2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标
点的位置
点的坐标形式
原点
（0，0，0）
x轴上
（a，0，0）
y轴上
（0，b，0）
z轴上
（0，0，c）
xOy平面上
（a，b，0）
yOz平面上
（0，b，c）
xOz平面上
（a，0，c）
3．空间直角坐标系中的对称点
设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则
对称轴（或中心或平面）
点P的对称点坐标
原点

x轴

y轴
（－a，b，－c）
z轴

xOy平面

yOz平面

xOz平面

三、空间两点间的距离公式
如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为．

在xOy平面上，．在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以．
在中，，
根据勾股定理，得____________________________．
因此，空间中点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离是____________________________．
特别地，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离为|OP|＝．
空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．
空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P．
三、题型突破
1．确定空间任一点的坐标
确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：
①过P作PC⊥z轴于点C；
②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．
当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、
C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．
例1．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．

（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．


【变式训练1-1】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　)
A．(1,0,0) B．(1,0,1)
C．(1,1,1) D．(1,1,0)




【变式训练1-2】（2021·全国高二课时练习）如图，正方体的棱长为，则图中的点关于轴的对称点的坐标为________．




2．求空间对称点的坐标
求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．
如关于横轴（x轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．
例2.（1）在空间直角坐标系中，若P(3，－2,1)，则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为(　　)
A．(－3，－2，－1) B．(3,2,1)
C．(－3,2，－1) D．(3，－2，－1)


（2）．（2021·浙江高二期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．

（3）．（2021·浙江高二期末）在空间坐标系中，点关于x轴的对称点为（ ）
A． B． C． D．



【变式训练2-1】.点P(1,3,5)关于坐标原点对称的点P′的坐标是(　　)
A．(－1，－3，－5) B．(1，－3,5)
C．(－1，－3,5) D．(－1,3,5)



【变式训练2-2】.（2020·全国高一课时练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．



【变式训练2-3】.（2021·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标

3．空间两点间的距离公式
（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．
（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．
（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．
例3.（1）已知空间中两点A(1,2,3)，B(4,2，a)，且|AB|＝，则a的值为(　　)
A．2 B．4 C．0 D．2或4


（2）．（2021·陕西西安市西光中学高一期末）空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为___________.



（3）．（2021·广西百色·高一期末）在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线长为___________.



【变式训练3-1】.在空间直角坐标系中，给定点M(2，－1,3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4 C．2 D．3



【变式训练3-2】.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为(　　)
A．19 B．－ C. D.




【变式训练3-3】（2021·江门市第二中学高二月考）已知空间两点，，、，，，则、两点间的距离为_______．




【变式训练3-4】．（2019·安徽省蚌埠第三中学高二月考（文））已知空间两点，则等于（ ）
A． B．3 C． D．


【变式训练3-5】．（2021·全国高二课时练习）在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为___________.

4．空间直角坐标系的综合问题
例4.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．







【变式训练4-1】．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（文））长方体中，，，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点，，的坐标；
（2）求线段，的长度．

四、课堂定时训练（45分钟）
1．（2021·全国高一课时练习）设点是点，，关于平面的对称点，则（ ）
A．10 B． C． D．38
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，
3），则对角线AC1的长为（ ）
A．9 B．
C．5 D．2
3．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为（ ）
A．（6，0，0） B．（6，0，1）
C．（0，0，6） D．（0，6，0）
5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（文））在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·天津高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7.设点是直角坐标系O-xyz中一点，则点M关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．锛 B．
C． D．
8．（2020·泗洪县洪翔中学高一月考）空间两点，之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高二月考）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是______．
10．（2021·全国高二单元测试）在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________.
11．（2021·长宁·上海市延安中学高二期中）已知点与关于轴对称，则________．
12．（2021·全国高二课时练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．