专题07 命题及其关系、充分条件与必要条件（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题07 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、考情分析

二、考点梳理
【基础知识梳理】
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
1． 否命题与命题的否定：否命题既是否定条件又是否定结论；而命题的否定只是否定结论；
2． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
3． 原命题与逆否命题：非p是非q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件；
三、题型突破
(一) 四种命题及其相互关系
例1．（1）、（2021·安顺市第三高级中学高三月考（理））命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若，都是偶数，则是奇数
B．若，都不是奇数，则不是偶数
C．若不是偶数，则，都不是奇数
D．若不是偶数，则，不都是奇数
【答案】D
【分析】
将原命题交换条件和结论并且否定条件和结论可得逆否命题，即可得正确答案.
【详解】
命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题：
若不是偶数，则，不都是奇数，
故选：D.
（2）．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）下列命题中其中真命题为（ ）
A．“等边三角形三内角都为”的逆否命题；
B．“若，则有实根”的逆否命题；
C．“全等三角形的面积相等”的否命题；
D．“若，则”的否命题；
【答案】AB
【分析】
选项A和选项B：判断原命题的真假，即可得出逆否命题的真假；
选项C和选项D：写出原命题的否命题，然后再判断真假.
【详解】
选项A：因为命题“等边三角形三内角都为”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，
所以选项A为真命题；
选项B：当时，，所以方程有实根，即命题“若，则有实根”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以选项B为真命题；
选项C：“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，显然为假命题，所以选项C为假命题；
选项D：命题“若，则”的否命题为“若，则”， 显然为假命题，所以选项D为假命题.
故选：AB.
【变式训练1-1】．（2020·上海高一专题练习）有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用逆命题的定义判断①和④，利用否命题的定义判断②，由原命题和逆否命题的关系判断③．
【详解】
①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；
④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”
故选：C
【变式训练1-2】．（2021·江苏）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果与互为相反数，那么
B．，方程最多有一个实数根
C．为任意一个自然数，则
D．任何两个无理数之间都有一个有理数
【答案】D
【分析】
根据题意，依次判断各命题即可求得答案.
【详解】
解:对于A选项，当时，满足与互为相反数，不满足，故A选项错误；
对于B选项，当时，方程有无数个实数根，故错误；
对于C选项，当，不满足，故错误；
对于D选项，任何两个无理数之间都有一个有理数，正确.
故选：D
(二) 充分条件与必要条件的判定
例2．（1）、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【解析】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件，故选D。
（2）、（2021·全国（文））设，，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分、必要条件的知识进行判断.
【详解】
，则且.
若且，则.
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B
【变式训练2-1】．（2021·贵州省黎平县第一民族中学高一月考）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由推出关系即可确定结果.
【详解】
；；
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式训练2-2】．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.
【变式训练2-3】．（2020·江苏省西亭高级中学）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】
根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，可得，所以充分性成立；
反之：当时，可得或，所以必要性不成立，
所以 “”是“”的充分不必要条件，所以A正确；
对于B中，命题“若，则”的否定是“存在，则”，所以不正确；
对于C中，设，由且，可得成，即充分性成立，
反之：由成立时，可能且，即必要性不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件，所以C不正确；
对于D中，设，当时，可得，即充分性不成立，
反之：由，可得成立，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.
故选：AD.
(三) 、综合应用
例3.（2020·上海市张堰中学高一月考）已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根.
（1）若为真命题，求m的取值范围；
（2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据判别式与韦达定理求解即可；
（2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围.
【详解】
（1）若方程有两个不等的负根，则 ，
解得：，故m的取值范围为
（2）若方程无实根，则，解得：，
当真假时， ，解得：；
当假真时， ，解得：，
综上可知：的取值范围是或.
故m的取值范围为
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型.
【变式训练3-1】、（2021·福建省宁化第一中学高三月考）已知集合，.求：
（1）若，求实数的取值范围.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，讨论和即可；
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】
（1）由，，
当时，，得，适合题意；
当时，则或，得.
综上所述.实数的取值范围.
（2）由题意，“”是“”的充分不必要条件，则，
又，.
所以，解得，
∴实数的取值范围为.
【变式训练3-2】．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）已知集合，集合.
（1）若；求实数m的取值范围；
（2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分和两种情况讨论，建立不等式组，即可求出实数m的取值范围；
（2）利用集合法判断充要条件，有建立不等式组，即可求出实数m的取值范围.
【详解】
（1）集合，集合.
当时，显然有，此时，解得：；
当时，
要使，只需或，解得：或无解.
综上：
所以实数m的取值范围；
（2）命题，命题，若p是q的充分条件，则有.
所以解得：.
所以实数m的取值范围.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·广西桂林市·（理））命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
根据逆命题的定义即可得出答案.
【详解】
由命题“若，则”，
其逆命题为：若，则.
故选：B
2．（2020·北大附属实验学校高一月考），则的一个必要条件是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据必要条件的定义直接即可选出.
【详解】
因为若，则成立，所以是的一个必要条件.
故选：A.
3．（2020·北大附属实验学校高一月考）“”是“”的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据，但反之不成立，即可判断出结论.
【详解】
因为若成立，不一定成立；但若成立，则一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）下列判断中不正确的是（　　）
A．命题“若，则”的逆否命题为真命题
B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题
C．“已知a，b，，若，则”的逆命题是真命题
D．“若，则”是假命题
【答案】C
【分析】
A中,根据题意判断原命题的真假性即可;
B中,写出原命题的否命题,再判断它的真假性;
C中,写出原命题的逆命题,再判断它的真假性;
D中,举例说明该命题是假命题即可
【详解】
对于A：时， ，此时，是真命题，∴它的逆否命题也为真命题，故A正确；
对于B：“矩形的两条对角线相等”的否命题是如果四边形不是矩形,则它的对角线不相等,它是假命题,如等腰梯形的对角线相等,∴B正确；
对于C：,若,则,它的逆命题是:若,则,它是假命题,因为m=0时不成立,∴C错误；
对于D：若,则x=1时, ，所以是假命题,D正确.
故选：C
5．（2021·全国）已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】ABC
【分析】
解不等式得集合，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于的不等式组，解得范围即可得结果.
【详解】
由，解得，∴，
非空集合，
又是的必要条件，所以，
当，即时，满足题意；
当，即时，
∴，解得，
∴的取值范围是，
实数m的取值可以是，
故选：ABC.
6．（2021·全国高三专题练习）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
解出一元二次不等式的解集，其必要不充分条件对应的集合应包含其解集，观察选项即可.
【详解】
,
即的充要条件是，
其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，
观察选项发现是的真子集，
故选：BD.
7．（2021·全国高一单元测试）若是的必要不充分条件，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】
由，可得或.
对于方程，当时，方程无解；
当时，解方程，可得.
由题意知，，则可得，
此时应有或，解得或.
综上可得，或.
故选：BC.
8．（2020·上海市奉贤区曙光中学）设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是_____________；
【答案】
【分析】
将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】
设集合，，
因为是的充分条件，
所以，
即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
9．（2021·浙江宁波·高二期末）设全集为，，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）分别求出集合A、B，再求，；
（2）先判断出是的真子集，解出集合A，根据集合的包含关系求出a.
【详解】
（1）式子有意义，则有，
即，得，∴
当时，可化为，
解得或，∴
所以，.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集
所以在上恒成立
因为，则
所以的解集为
所以，得，
综上可得的取值范围为.