专题10 直线与椭圆位置关系（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题10 直线与椭圆的位置关系
一、考情分析

二、考点梳理
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式；

可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式；
，
第四步：利用 ，计算

第五步：利用，计算

第六步：利用，，计算弦中点

第七步：利用,计算弦长和的面积

进而计算原点到直线的距离

第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
三、题型突破
重难点题型突破1 求椭圆的离心率
例1．（1）、（2021·全国高三专题练习（文））已知是椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题知反射光线经过点，设反射光线方程为：，代入椭圆方程，消后得，，则，化简得，讨论此方程有唯一解，即可得值，从而算出离心率.
【详解】
由题知反射光线经过点，设反射光线方程为：，
代入椭圆方程，消后得，，
则，化简得，
当即时，此方程有唯一解，所以，则离心率为；
当时，则，所以此方程有两个不同的解，不满足题意，故舍去.
故选：B
【点睛】
关键点睛：关键是能够分类讨论方程有唯一解的情况.
（2）、（2020·浙江丽水·）已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进而计算离心率的范围即可.
【详解】
椭圆C以A，B为焦点，即，，故可设椭圆方程为(a>1)，
联立方程
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，即
得或（舍去），解得a≥，
所以，
所以e的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，属于中档题.
【变式训练1-1】、（2021·上海复旦附中青浦分校高二月考）已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.

【答案】
【分析】
由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解
【详解】
由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率
故答案为：
【变式训练1-2】、（2021·全国）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】
如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，

由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
重难点题型突破2 与椭圆弦长的有关问题
例2.（1）、（2021·江西高安中学高二期中（理））直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
联立直线方程和椭圆方程，解方程可得两根，运用弦长公式，结合配方法，以及二次函数的最值求法，可得答案
【详解】
解：联立直线和椭圆，可得，
解得或，
则弦长，
令，则，
当，即，取得最大值，
故选：B
（2）．（2021·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.
【详解】
显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有

，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
【变式训练2-1】、（2021·四川省新津中学高二月考（文））斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设直线方程与椭圆方程联解，求得弦长，化简得到最大值.
【详解】
设两点的坐标分别为，，直线的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:B.
【点睛】
本题考查直线与椭圆关系求弦长最值问题，属于基础题.
【变式训练2-2】、（2020·江苏姜堰中学高二月考）如图，过，斜率为的直线交椭圆于两点，为点关于轴的对称点，直线交轴于点，则__．

【答案】8．
【分析】
写出直线方程，与椭圆方程联立解得坐标，得坐标．设，由三点共线求得得结论．
【详解】
由题意直线方程为，
由，解得或，
即，，所以，
设，则，，
所以．
故答案为：8．
重难点题型突破3 中点弦问题
例3．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；
【详解】
设A（，），B（，），又的中点为，则
又因为A、B在椭圆上
所以
两式相减，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故选A.

【点睛】
本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
【变式训练3-1】、已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【答案】2
【分析】
由已知条件可知，AB的中点为P，所以使用点差法求得直线AB的斜率与中点的关系，利用OP的斜率为即可求得a的值．
【详解】
椭圆，所以焦点在x轴上
因为过左焦点作的直线斜率为－2， P是AB的中点，设，
将A、B坐标代入椭圆方程，可得 ，两式相减，化简得
，即
进一步化简得，代入
解得a=2
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，点差法在解决弦中点问题的应用，属于中档题．
例4．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（Ⅰ）根据离心率为和弦长|AB|=列一个方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出的表达式，再求函数的最小值即得的最小值．
详解：（Ⅰ）由题意设，即椭圆，
设
由作差得，
又∵,即， ∴AB斜率．
由．消得，．
则．
解得，于是椭圆的方程为：．
（Ⅱ）设直线, 由消得，
．
于是．


∵
．
同理可得．
∴，
, 当时取等号．综上，的最小值为．
点睛：本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.
【变式训练4-1】、已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设，代入椭圆方程相减得到答案.
（2）设直线，联立方程得到，，得到，计算得到答案.
【详解】
（1）设，则，
两式相减，可得，
即，
解得，即直线的斜率为.
（2）显然直线的斜率不为0，设直线，
联立消去整理得，
显然，故，
故的面积，
令，其中，，
当且仅当，即时等号成立，即面积的最大值为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
重难点题型突破4 直线与椭圆的位置关系
例5．（2021·上海市松江二中高二月考）已知曲线，直线与曲线交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C.记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.
（1）当点B坐标为时，求k的值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意得出点的横坐标为，代入曲线求出点的纵坐标；把点的坐标代入直线方程即可求出.
（2）由题意可求出的取值范围；把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式可求，从而求出；利用直角梯形的面积公式可求；由的范围，即可求出的最小值.
【详解】
（1）当点B坐标为时，点的横坐标为 ，
把代入曲线得，即，
又因为点在直线上，所以，即.
所以k的值为.
（2）由，得，
当直线过椭圆的左右顶点时，，
因为直线与曲线有两个交点，所以，即，
设，
则，，
所以，
又原点到直线的距离为，
所以，又因为，
所以，
因为，所以，所以的最小值为.

例6．（2021·安徽华星学校高二期中（理））已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据题意运用椭圆的定义进行求解即可；
（Ⅱ）根据直线是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
解：(Ⅰ)椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，
由题可得，椭圆过点，


椭圆的方程是
(Ⅱ)由题易得，左焦点右焦点坐标为
若直线垂直于轴，则点

若直线不垂直于轴，可设的方程为设点
将直线的方程代入椭圆的方程得到
则

.
，
的取值范围是
【点睛】
关键点睛：根据直线是否存在斜率分类讨论，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·长春市第二中学（理））如图，已知圆：，点是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；
（2）已知经过A的直线与曲线相交于M，N两点，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.
【答案】（1）；（2）3，.
【分析】
（1）结合椭圆的定义求得曲线的方程.
（2）设的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，结合弦长公式求得三角形的面积，并利用函数的单调性求得面积的最大值以及此时对应的直线的方程.
【详解】
（1）依题意可知，，则，
所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长的椭圆.
因为，，则，所以曲线的方程为.
（2）依题意设的方程为，代入得.
设，，则，
则的面积，
设，，则.
在单调递减，
所以时，即时，取最大值3，此时直线.
2．（2021·黑龙江大庆实验中学高三月考（理））已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；．
【分析】
（1）根据离心率和椭圆定义求出，则椭圆方程可得；
（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为：，设，联立直线和椭圆方程 ，求出，代入计算即可.
【详解】
解：（1）由已知得
得
所以椭圆的方程为；
（2）假设存在点满足条件，
设直线的方程为：，
当时，必有，可取任意值，
当时，设
联立：得
显然，，
因为，所以，即

即，解得
综上所述：存在点满足题意．
3．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过的直线交椭圆于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，由求解；
（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，联立方程组，结合韦达定理，由求解.
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，则
解得
所以椭圆的方程为.
（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，
联立方程组代入消元并整理得：，
，
则，.
，
将，代入，整理得：
，
，
将韦达定理代入化简得：.
因为直线过点，所以，
代入，得.