专题14直线与抛物线位置关系（课时训练）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题14 直线与抛物线的位置关系
A组 基础巩固
1．（2021·全国·高二课时练习）如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）

A．与点位置有关 B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的标准方程求出准线方程，设出点坐标，可得直线的方程，与抛物线方程联立可得交点点坐标，然后求出坐标，再求出直线的方程，令即可求出答案.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
2．（2021·四川·成都七中高二期中（理））已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】
先表示出准线方程，再由圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．
【详解】
解：抛物线的准线方程为，由圆得，
因为抛物线的准线与圆相切，
所以，解得（舍去）．
故选：C.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点．若，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点作，利用和抛物线焦半径公式的形式可构造方程组求得，进而得到抛物线方程.
【详解】
过点作，垂足为．


在抛物线上，则，则…①，
由抛物线的性质可知：．
，，即，
解得：…②；
由①②得：（舍去）或，抛物线的方程是．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
直线与抛物线：联立，可得，，再利用两点之间的距离公式求得，再利用抛物线的性质即可得解.
【详解】
联立，整理得：，解得：
即直线与抛物线交于，两点，且
由，得，解得：或（舍）
所以抛物线方程为，准线方程为
故，两点到抛物线的准线的距离之和为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质.
5．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试）设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件写出抛物线方程，借助抛物线定义及已知求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程，求出A，B的纵坐标即可作答.
【详解】
依题意，，即，抛物线方程为：，准线：，
如图，过点B作直线BM//l交AC于M，

由抛物线定义知：，显然四边形BMCD是矩形，则，
而，则，于是得直线AB的斜率，直线AB方程，
由消去x得：，解得，，于是得点A，B纵坐标分别为4，-1，则，
从而得，而点F到直线l的距离为h=2，
所以的面积为.
故选：C
6．（2020·江苏·高二课前预习）已知双曲线与抛物线的一个交点为.为抛物线的焦点.若.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由抛物线的焦半径公式求得点坐标后，代入双曲线方程得参数值，然后可得渐近线方程．
【详解】
设，则，，，
又在双曲线上，所以，，
双曲线方程为．，
所以渐近线方程为．
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
先由抛物线过圆的圆心，求出p,把A代入，求出m，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】
将化为圆的标准方程，得，
则圆心为(2，-4)，代入抛物线，得.所以，所以抛物线的方程为.因为点在抛物线上，则，焦点，由两点间距离公式可得点到焦点的距离为.
故选：B.
8．（2021·全国·高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（ ）
A．
B．(为坐标原点)的面积为
C．
D．若是抛物线上一动点，则的最小值为
【答案】C
【分析】
设直线的方程、，并与抛物线方程联立利用韦达定理和得，再利用求导判断A；利用可判断B；
由可判断C；过作与，利用可判断D.
【详解】
由已知的焦点为，所以直线的方程为，
设，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，
所以，，
由，得，代入得
，，
所以，开方可得或，
可得在，因为，所以，
在，因为，所以，
所以，，故A正确；
由，
得，故B正确；
因为，
所以
，故C错误；
由得，所以在抛物线内部，抛物线的准线方程为，
如图

过作与，交抛物线与点，所以，所以，
当在一条直线上时最小，此时，
故D正确.
故选：C.
9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于，两点，过，分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据可得出，由三角函数可转化为，，建立方程求解即可.
【详解】
由题设和抛物线定义知：，
设直线的倾斜角为，则，，
所以，解得，
故选：B
10．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求得的外接圆方程，由此求得的坐标，将坐标代入抛物线方程求得，由此求得抛物线的方程.
【详解】
根据双曲线和抛物线的对称性可知，是的外接圆的直径，所以圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为，
即.
由解得或.
故可设，将或的坐标代入抛物线的方程得，
所以抛物线的方程为.
故选：A
【点睛】
圆、双曲线、抛物线都是对称图形，解题过程中用来确定圆心的位置.
11．（2021·天津和平·高三月考）已知双曲线，为等边三角形.若点在轴上，点，在双曲线上，且双曲线的实轴为的中位线，双曲线的左焦点为，经过和抛物线焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得的边长为，不妨设点在第一象限，代入双曲线方程可得，则，所以左焦点的坐标为，而抛物线焦点为，由题意得，从而可求出的值，进而可得双曲线的方程
【详解】
解：因为双曲线的实轴为等边的中位线，
所以的边长为，不妨设点在第一象限，代入得，
解得，
所以，得，
所以双曲线的左焦点的坐标为，
因为抛物线焦点为，
所以，
因为渐近线的斜率为，
所以或（舍去），
所以，
所以，
所以双曲线方程为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查抛物线的有关知识，解题的关键是由题意得的边长为，可得点代入双曲线方程化简可得，从而可表示出焦点坐标，考查计算能力，属于中档题
12．（2021·安徽·模拟预测（文））过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于两点，且，则点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
设，先求得，因此可得抛物线C的方程为，设，由焦点弦长公式得到，进而得到点的横坐标.
【详解】
易知圆过原点，设，
由，可得，又，联立可解得.
将代入中，解得，抛物线C的方程为，
设，则

由可得.
由可知，点是的中点，因此，点的横坐标为.
故选：B.

【点睛】
结论点睛：抛物线焦点弦长公式：若是过抛物线焦点的弦，设，则.
13．（2021·湖南永州·高三月考）已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
【答案】
【分析】
设，则，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】
由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：
14．（2021·天津三中高二期中）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△为等边三角形，则__________．
【答案】6
【分析】
由抛物线方程得，将代入双曲线可求，利用等边三角形的性质及勾股定理列方程求.
【详解】
由题设，，令代入得，
∴，又△为等边三角形，则，
∴由勾股定理知：，解得，又，
∴.
故答案为：6
15．（2020·陕西富平·二模（文））如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，，，且，则___________.

【答案】
【分析】
分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，，由题意可得，所以，即可求出的值，再利用，平行线分线段成比例即可求解.
【详解】

如图：分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，
设，则，
由双曲线的定义可得：，所以，
在中，，
因为，，
所以，可得，
设准线与轴相交于点，因为，所以即，
可得：，
故答案为：.
16．（2021·福建省南安市侨光中学高二月考）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
【答案】0或
【分析】
设，，，，的中点为，，由点差法可得；通过两点关于直线对称，可得，求出的坐标，代入抛物线方程求解即可．
【详解】
解：设，，，，的中点为，，则，
由点差法可得，即①，
显然，又因为②，
代②入①可得；
由两点关于直线对称，可得，
所以，又因为，所以，
代入抛物线方程得，
解得或．
故答案为：0或．
17．（2021·四川省新津中学高二月考（文））已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），相切，理由见解析.
【分析】
（1）解方程即得解；
（2）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．求出，再求出点到直线的距离，即得解.
【详解】
解：（1）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线上，
所以，
由抛物线的对称性，不妨设，
由，可得直线的方程为，
由得，
解得或，从而．
又，
故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，
所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
18．（2020·四川·石室中学高二期中（文））已知抛物线为上一点且纵坐标为轴于点，且，其中点为拋物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为坐标原点，是抛物线上不同的两点，且满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.
【分析】
（1）结合抛物线的定义求得点坐标，由此列方程求得，进而求得抛物线的方程.
（2）设出直线的方程为，并与抛物线方程联立，写出根与系数，结合列方程，化简求得，从而求得过定点.
【详解】
（1）设，
根据抛物线的定义可得，，
又轴于点，则，
∵，∴，则，
∴，∵在抛物线上，将点代入抛物线方程，
∴，解得，故抛物线的方程为.
（2）依题意可知直线与轴不平行.
设直线为，，，
联立直线与抛物线，化简整理可得，
由韦达定理可得，，，
∵，
∴
，
∴或（舍去），
故直线恒过定点.




B组 能力提升
19．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为___________．
【答案】
【分析】
由抛物线方程求出，令，代入，可得，再根据由抛物线的光学性质可知，反射光线经过，从而有，最后利用两点坐标求斜率即可得出结果.
【详解】
解：由可得，，所以焦点，
已知一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射，
则令，代入，得，可得，
由于光线经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，
由抛物线的光学性质可知，反射光线经过焦点，
即直线经过，所以，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
20．（2022·江苏·高三专题练习）已知点为椭圆上任一点，点是抛物线的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点，试判断=_____________
【答案】1
【分析】
求得抛物线的准线方程，设出两点的坐标，根据求得，由此化简得到定值为.
【详解】
抛物线的标准方程为，其准线方程为：，
设，，
因为以为直径的圆过原点，所以，所以，
所以，即，
所以，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为1．
故答案为：1
21．（2021·全国·高三专题练习（文））已知双曲线，当双曲线的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线（p>0）的焦点，若，是抛物线上的两点，且，则中点的横坐标为______．
【答案】2
【分析】
结合题意得到双曲线的焦点在x轴上，所以得到，再结合，分析得到双曲线的焦距取得最小值时双曲线的右焦点为（2，0），进而获得抛物线的焦点坐标，最后根据焦半径公式求解即可.
【详解】
解析由题意可得，即，
因为，
所以当时，焦距取得最小值，
所以双曲线的方程为，
所以双曲线的右焦点为（2，0），
即抛物线的焦点为（2，0），
所以，，
则抛物线，
其准线方程为，
设，
则，
解得，
∴线段中点的横坐标为2．
故答案为：2.
22．（2021·全国·高三专题练习（理））已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.若椭圆与抛物线相交于点、，且直线经过点，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
作出图形，分析可得，，利用椭圆的定义可得出关于、的齐次等式，由此可解得椭圆的离心率的值.
【详解】
如下图所示：

过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设点为椭圆的左焦点，
由抛物线的定义可得，
易知点、关于轴对称，则轴，
又因为轴，所以，四边形为正方形，可得，
因为，由椭圆的定义可得，即，
因此，椭圆的离心率为.
故答案为：.
23．（2021·江西·模拟预测（理））已知拋物线与圆相交于点，点关于原点对称的点为若过点的直线(且不过点)与抛物线交于两点，则直线与的斜率之积为___________.
【答案】
【分析】
由点为圆和抛物线交点，可求得和抛物线方程；假设直线方程，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，将直线与的斜率利用两点连线斜率公式表示出来，代入韦达定理的结论整理可得结果.
【详解】
在圆上，，解得：；
在抛物线上，，，，解得：，
抛物线方程为：；
由题意可知：，易知直线斜率存在，设，
由得：，
则，解得：或，
设，，则，，
，，
，，
.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，基本思路是将直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，将所求的斜率之积表示为坐标的形式，代入韦达定理的结论化简整理得到结果.
24．（2021·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合.
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线Γ于A，C两点，过A，C作l的垂线分别与y轴交于B，D，求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先求得椭圆的焦点坐标，再根据抛物线的焦点为椭圆的一个焦点求解；
（2）设直线AC：y=kx+1，与抛物线方程联立，设，根据直线的位置关系，得到直线AB的方程，令x=0得到点B的坐标，同理得到点D的坐标，然后由结合韦达定理求解.
（1）
解：椭圆的焦点坐标为：，
因为抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，
所以，
故抛物线Γ的方程为；
（2）
解：设直线AC：y=kx+1，代入抛物线方程得:，
设，则，
直线，
，同样可得 ，
，
，
，
由抛物线对称性，只需考虑的情形，
则，
所以，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，四边形ABCD面积最小，最小值为：.
25．（2021·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，点为轨迹上第一象限内的一点，作垂直于直线，交直线于，若的斜率为，求.
【答案】
【分析】
根据题意，设动圆的圆心为，半径为，设圆心到轴的距离为，根据两点间距离公式得出，利用直线与圆的弦长公式得出，化简计算得出动圆圆心的轨迹方程；结合题意可知，由抛物线的定义从而得出是正三角形，设准线与轴交于点，并得出，最后根据直角三角形的三角函数得出，即可得出结果.
【详解】
解：设动圆的圆心为，半径为，设圆心到轴的距离为，
动圆过定点，则，
在轴上截得的弦长为，则圆心到轴的距离为，
则，即，
所以，即，
所以动圆圆心的轨迹方程为：.
可知抛物线的焦点为，准线为直线，
由于点为上第一象限内的一点，的斜率为，
即，可知，则，
由抛物线的定义可知，
是正三角形，则，
设准线与轴交于点，故，
而焦点到准线的距离为，即，
所以在中，.

26．（2021·广东·高三月考）若椭圆E：过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线2x2－2y2＝1有相同的焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意可得、，再根据，计算可得；
（2）设，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理， 表示出弦与点到直线的距离，再由利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：（1）抛物线的焦点为，椭圆过点，所以．
又因为双曲线的焦点为，所以．
则．
因此椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，
代入，整理得，
所以，．
由且，得且，
又．
而点到直线的距离．
则面积，
当且仅当时，等号成立，此时满足且，
所以面积的最大值为．
27．（2021·河南许昌·高三月考（文））已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）以为直径的圆与轴交于，两点，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由抛物线可得，根据直线过即可求参数p，进而写出抛物线方程.
（2）由题设易得，联立直线与抛物线应用韦达定理可求以为直径的圆的圆心坐标及半径，利用圆中的弦长公式列不等式求的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知：
直线过抛物线的焦点，
，即，
故所求抛物线的方程为：.
（2），

设，，由得：，
，则
过抛物线的焦点，故以为直径的圆的圆心为，半径为
，
，可得或
的取值范围为：.
28．（2021·江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由抛物线方程化为并求导，根据切线斜率求参数p，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设直线、为、，令、、、，联立抛物线方程并结合韦达定理求，，，，进而求AB、EF中点、N坐标，进而可得直线方程，即可确定是否过定点.
【详解】
（1）由可化为，则.
当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，
∴，即，
∴抛物线C的标准方程为.
（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，
由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，
由，联立消去y并整理得，，
设，，则，，
∴，又M为AB中点，则，
∵，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，
∴，，则
∴，
∴直线MN为，整理得，
∴直线MN恒过定点(0,4).
29．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
【答案】（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.
【详解】
（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．