专题15 圆锥曲线中的范围、最值问题（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题15 圆锥曲线中的范围、最值问题
一、考情分析

二、考点梳理
1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为
三、题型突破
重难点题型突破(一) 借助利用圆锥曲线定义与几何关系
例1（1）．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．

（2）．（2021·上海·格致中学高三期中）设椭圆方程的两个焦点为，，点P为椭圆上任意一点，则的最大值为______.

【变式训练1-1】、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.

【变式训练1-2】、已知抛物线,点Q是圆上任意一点,记抛物线上任意一点到直线的距离为,则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2

【变式训练1-3】、（2021·全国·高三开学考试）已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

重难点题型突破(二) 借助一个参数范围
例2、（2021·安徽省泗县第一中学高二期末（理））已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【变式训练2-1】、（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为____________

例3．（2021·四川省新津中学高二月考（文））已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）①当时，求弦长(用表示)；
②已知点，若为定值，求面积的最大值．

【变式训练3-1】、已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线： 与圆相切：
（ⅰ）求圆的标准方程；
（ⅱ）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．

重难点题型突破(三) 借助题上的不等关系或隐含的不等关系
例4．（1）、（2021·全国·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点，面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．1 C． D．

（2）、（2021·全国·高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．


【变式训练4-1】、（2021·山西·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知为椭圆上任一点，为椭圆的左焦点，为椭圆内一点，则的最大值为___________.


【变式训练4-2】、（2019·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A．[0,3） B．（0,） C．[，3） D．（0,4]

重难点题型突破(四) 借助函数的值域
例5、（2020·全国·高三（理））设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为__________．


【变式训练5-1】、（2020·全国·高三专题练习）设，是椭圆：的两个焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为__________．


例6．（2021·江苏·常州市第二中学高二月考）在平面直角坐标系中，，，，点A的轨迹图形设为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求的最小值．

【变式训练6-1】、（2021·四川绵阳·高二月考（理））已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.

四、定时训练（30分钟）
1．（2021·江苏·高二专题练习）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·江苏·海门中学高二期中）已知椭圆C：的焦点，在x轴上，若椭圆上存在一点P，使得，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
A． B． C． D．
4．（2021·陕西·榆林市第十中学高三月考（文））已知，，分别是椭圆E的左，右焦点，，当P在E上且垂直x轴时，．
（1）求E的标准方程；
（2）A为E的左顶点，B为E的上顶点，M是E上第四象限内一点，求的面积的最大值．

5．（2021·山东·济宁市育才中学高二开学考试）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值．

6．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，动点到直线的距离等于.动点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，过点的动直线与曲线交于，两点，记和的面积分别为和，求的最大值.