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期末测试卷（A卷 基础巩固）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）
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这是一份期末测试卷（A卷 基础巩固）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版），文件包含高二上期末测试卷A卷基础巩固原卷版-高二数学上学期精品讲义人教A版docx、高二上期末测试卷A卷基础巩固解析版-高二数学上学期精品讲义人教A版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
高二（上）期末测试卷（A卷 基础巩固）
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·四川成都·高二期末（理））在空间直角坐标系中，点在平面上的射影到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出给定点在平面上的射影点，再用空间两点间距离公式即可得解.
【详解】
依题意，点在平面上的射影点M坐标为，而原点，
由空间两点间距离公式得.
故选：C
2．（2021·四川成都·高二期末（理））命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定进行求解即可．
【详解】
解：根据存在性命题的否定是全称命题，
故命题“，”的否定是“，”．
故选：．
3．（2021·四川成都·高二期末（理））如图是2021年至2025年我国宏基站建设投资额预算(单位：亿元)的折线图，则以下结论不正确的是（ ）
A．年比较，2023年投资额预算达到最大值
B．逐年比较，2022年投资额预算增幅最大
C．2021年至2023年，投资额预算逐年增加
D．2021年至2023年，投资额预算增幅逐年增加
【答案】D
【分析】
利用频率分布折线图，逐项分析选项中的命题是否正确即可.
【详解】
对于A，由频率分布折线图知，5年比较, 2023年投资额预算达到最大值为1400亿元，所以A正确;
对于B，由频率分布折线图知，逐年比较，2022年投资额预算增幅最大,为1100-670=430 (亿元)，所以B正确;
对于C，由频率分布折线图知，2021年至2023年投资额预算逐年增加，所以C正确;
对于D，由频率分布折线图知，202 1年至2022年投资额增幅为430亿元，2022年至2023年投资额增幅为300亿元，不是逐年增加，所以D错误.
故选： D
4．（2021·四川成都·高二期末（理））一个不透明盒子里装有标号为的五张标签，现从中随机无放回地抽取两次，每次抽一张，则两次抽取的标签号数均为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出无放回抽标签两次的试验的基本事件总数，再求出两次都抽到奇数号标签的事件所含的基本事件数即可得解.
【详解】
从不透明盒子中无放回随机抽标签两次的试验的基本事件有：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，
共有20个，它们等可能，其中两次都抽到奇数号标签的事件A有6个基本事件，，
所以两次抽取的标签号数均为奇数的概率为.
故选：B
5．（2021·四川成都·高二期末（理））为了解某地区的人口年龄分布情况，某机构从该地区年龄在内的居民中随机抽取了位进行调查，并将年龄按，，，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为
B．这位居民中有位居民的年龄不低于岁
C．估计这位居民的平均年龄为岁
D．该地区人口年龄分布在的人数与分布在的人数分别记为，则一定成立
【答案】C
【分析】
利用频率分布直方图的性质直接求解．
【详解】
解：对于，由频率分布直方图得：
，
解得，故错误；
对于，这100位居民中年龄不低于60岁的有：位，故错误；
对于，估计这100位居民的平均年龄为：
岁，故正确；
对于，频率分布图中，人口年龄分布在，的人数与分布在，的人数分别记为，，
则，，
但是利用样本估计总体时会有误差，故不一定成立，故错误．
故选：．
6．（2021·四川成都·高二期末（理））执行如图所示的程序语句，若输入的值为，输出结果为．则输入的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用辗转相除法求输入的两个数的最大公约数，逐项验证即可得解.
【详解】
模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用辗转相除法求输入的两个数的最大公约数,
对于A，m=306， n=98,最大公约数为2，错误;
对于B，m=306，n=102， 最大公约数为102，错误;
对于C，m=306, n=105,最大公约数为3,错误;
对于D，m=306, n=119，最大公约数为17，正确.
故选： D
7．（2021·四川南充·高二期末（理））小明家订了一份报纸，送报人可能在早上至之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上至之间，则小明父亲在离开家前能看得到报纸的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设送报人到达时间为，小明父亲离开家的时间为，可以看成是平面中的点，列出关于的不等式组，利用线性规划求出构成的面积，以及小明父亲在离开家前能得到报纸的构成的面积，利用几何概型概率公式求解即可.
【详解】
设送报人到达时间为，小明父亲离开家的时间为，可以看成是平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为
这是一个矩形区域，面积
设小明父亲在离开家前能看得到报纸为事件.
则事件所构成的区域为
由几何概型概率公式可得，
∴小明父亲在离开家前能得到报纸的概率是.
故选： B.
8．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
把双曲线化成标准形式，表示出渐近线方程，对应系数相等即可求出结果.
【详解】
由题意可得，，则.
故选：A.
9．（2021·江苏·泰州市第二中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用椭圆的定义可求得.
【详解】
在椭圆中，，由椭圆的定义可得，所以，.
故选：C.
10．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））已知直线与椭圆：交于，两点，点是线段的中点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用点差法，求直线的斜率.
【详解】
设，，则，.
因为，在椭圆上，所以，
所以，所以，
则，即直线的斜率是.
故选：A
11．（2020·贵州·兴义市第二高级中学高二期末（理））已知函数，，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式，求出解集，根据与长度有关的几何概型，即可求出结果.
【详解】
由得，解得，
所以从定义域内任取一点，使的概率是.
故选：C.
12．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，利用已知得出，由双曲线的定义结合勾股定理求出和，利用直线l的斜率列出方程，求出双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线的离心率和双曲线的定义，考查平面向量数量积的应用，解决本题的关键点是取线段的中点H，连接，利用已知等式得出，进而可由双曲线的定义和勾股定理求出和，利用直线l的斜率为列方程解出离心率，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·四川成都·高二期末（理））已知命题：若，则；命题，直线与椭圆恒有两个共同点．在命题①；②；③中，所有真命题的序号是_______________________．
【答案】
【分析】
直接利用不等式的性质，直线和椭圆的关系，真值表的应用判断命题①②③的真假.
【详解】
对于命题p:若0
①为假命题；②为假命题；③为真命题;
故答案为：③
14．（2021·四川成都·高二期末（理））某公司从四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位.假定每个女孩是否被选中是等可能的，则事件“女孩或女孩被选中”的概率为_______________________．
【答案】
【分析】
这是一个古典概型，先列举出从四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位的所以选法，再找出女孩或女孩被选中的选法，代入公式求解.
【详解】
从四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位共有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种选法，
女孩或女孩被选中有AB，AC，AD，BC，BD5种选法，
所以事件“女孩或女孩被选中”的概率为，
故答案为：
15．（2021·安徽省郎溪中学高二月考（文））已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.点D为的中点，B，D在y轴上的投影分别为P，Q，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
设直线l的方程为，，，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和及两根之积，进而可得的中点及，的坐标，由均值不等式求得的最小值.
【详解】
如图，设直线l的方程为，，，
联立，整理得，
则，，
因为D为的中点，所以，
则，，
从而，
当且仅当，
即，或，时，等号成立.
故答案为：.
16．（2020·贵州·兴义市第二高级中学高二期末（理））执行如图所示的程序框图，如果输入的是，则输出的是_____________.
【答案】720
【分析】
通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．
【详解】
模拟程序的运行可得
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，；
第五次循环，；
第六次循环，；
故答案为：720
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·四川成都·高二期末（理））已知双曲线的两个焦点分别为，且过点．
（1）求双曲线的虚轴长；
（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由双曲线的定义可知，，又，求得即可．
（2）设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，将点的坐标代入上述方程得即可．
【详解】
（1）由题意，易知，，且.
在中，.
由双曲线的定义可知，
，即.
半焦距.
又
.
故双曲线的虚轴长为.
（2）由（1）知双曲线的方程为.
设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为.
将点的坐标代入上述方程，得.
故所求双曲线的标准方程为.
18．（2021·四川成都·高二期末（理））为统计某城市居民用水情况．利用随机抽取的位居民某年的月均用水量(单位：)为样本绘制成了如图所示的频率分布直方图．将图中从左至右每个小长方形对应组的中间值为第组左右两个边界值的算术平均数，如与高表示的有序数对作为样本数据，其中记表示取最大值时所对应的的值．
（1）根据频率分布直方图求的值；
（2）求程序框图的输出结果的值，令，记．若，则称样本数据符合“左偏分布”；否则不符合“左偏分布”．请问本题的样本数据是否符合“左偏分布”？
【答案】（1）；（2）5；本题样本数据符合“左偏分布”.
【分析】
(1)根据频率分布表找到高yi最大时的小矩形，求出这个小矩下底边中点值即可得解；
(2)执行框图中给定的程序，程序终止时的输出结果即为i值，由此计算Me判断并回答.
【详解】
（1）由频率分布直方图，得的最大值为，这个值所对应小长方形左右两个边界值分别为和，
则对应组的中间值，即的值为；
（2）执行程序框图，输入，得；
输入，得；
输入，得；
输入，得；
输入，得，
故输出结果的值为，，
而，即有，所以本题样本数据符合“左偏分布”.
19．（2021·四川成都·高二期末（理））为做好传染病的防治工作，某部门收集了所辖个地区一个月中的就诊人数（单位：人）和参与治疗的医务人员人数（单位：人），相关数据如下表：
地
地
地
地
地
就诊人数（单位：人）
参与治疗的医务人员人数（单位：人）
（1）研究发现与之间具有线性相关关系，试根据表中统计数据，求出关于的线性回归方程；
（2）若该部门将所辖个地区按参与治疗的医务人员人数不超过人和超过人的标准分别划分为“甲类区域”和“乙类区域”．现采用分层抽样的方法在甲乙两类区域参与治疗的所有医务人员中共抽取人进行培训，求所抽取的“甲类区城”的医务人员来自不同地区的概率
参考数据：
参考公式：，．.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出样本中心坐标，求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程．
（2）记地三名医务人员分别为，，，地两名医务人员分别为，．列出所抽两名医务人员所有可能结果，这两名医务人员分别来自不同地区的结果，然后求解概率即可．
【详解】
（1）由题意，得，．
由参考数据
得.
又.
故所求线性回归方程为.
（2）依题意地和地属于“甲类区域”，两地共计名医务人员参与治疗，
总共有位医务人员参与治疗，所以应从“甲类区域”的名医务人员抽取名.
记地三名医务人员分别为地两名医务人员分别为.
则所抽两名医务人员所有可能结果为，，，，，，，，，，共计种.
这两名医务人员分别来自不同地区的结果有
，，，，，，共计种.
故所抽取的“甲类区域”的医务人员来自不同地区的概率为.
20．（2021·四川南充·高二期末（理））已知:方程有两个不相等的负实根，:方程无实根.
（1）若为真，求的取值范围;
（2）若为假，求的取值范围.
【答案】（1）; （2）.
【分析】
（1）对于由一元二次方程根与系数的关系，可得且，，对于再解即可；
（2）求出命题，为真命题的等价条件，结合或”为假命题时，则，同时为假命题，进行求解
【详解】
（1）若为真,则为真时有；为真时，
所以.
（2）由（1）可得为假时，为假时或，
所以为假时，，
所以.
21．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）若，求弦长；
（2）若直线的斜率为2，为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）5；（2）.
【分析】
(1)结合抛物线的性质，化简整理即可求得弦长.
(2)由题意可得直线的方程，联立抛物线方程，消元得到一元二次方程，结合韦达定理和抛物线的弦长公式、点到线的距离公式、三角形面积公式，计算即可得出结果.
【详解】
(1)由抛物线的性质可得，，
则．
因为，所以.
(2)由题意可得.
因为直线过点，且斜率为2，所以直线的方程为.
联立整理得，
则，，
从而.
故.
点到直线的距离，
则的面积为．
22．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））已知椭圆C：（）的离心率是，椭圆C的右焦点为F，点P在椭圆C上，且的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l不经过点，记直线与直线的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意，由离心率，以及的最大值为，结合椭圆中 ，可得三个方程解三个未知数；
（2）联立直线与椭圆的方程可得，，
表示出，，以及转化为关于 的式子，即可得出定值.
【详解】
（1）解；由题意可得解得，.
则椭圆C的标准方程是.
（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为（且），，.
联立整理得，
，
则，，从而.
因为，所以，，
所以
.
故为定值，且定值为1.
【点睛】
第一问通常是列方程解未知数，需要从题中找出方程，定值需要先表示出，然后观察式子的特点来转化为关于 的式子，即可得到答案.
高二（上）期末测试卷（A卷 基础巩固）
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·四川成都·高二期末（理））在空间直角坐标系中，点在平面上的射影到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出给定点在平面上的射影点，再用空间两点间距离公式即可得解.
【详解】
依题意，点在平面上的射影点M坐标为，而原点，
由空间两点间距离公式得.
故选：C
2．（2021·四川成都·高二期末（理））命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定进行求解即可．
【详解】
解：根据存在性命题的否定是全称命题，
故命题“，”的否定是“，”．
故选：．
3．（2021·四川成都·高二期末（理））如图是2021年至2025年我国宏基站建设投资额预算(单位：亿元)的折线图，则以下结论不正确的是（ ）
A．年比较，2023年投资额预算达到最大值
B．逐年比较，2022年投资额预算增幅最大
C．2021年至2023年，投资额预算逐年增加
D．2021年至2023年，投资额预算增幅逐年增加
【答案】D
【分析】
利用频率分布折线图，逐项分析选项中的命题是否正确即可.
【详解】
对于A，由频率分布折线图知，5年比较, 2023年投资额预算达到最大值为1400亿元，所以A正确;
对于B，由频率分布折线图知，逐年比较，2022年投资额预算增幅最大,为1100-670=430 (亿元)，所以B正确;
对于C，由频率分布折线图知，2021年至2023年投资额预算逐年增加，所以C正确;
对于D，由频率分布折线图知，202 1年至2022年投资额增幅为430亿元，2022年至2023年投资额增幅为300亿元，不是逐年增加，所以D错误.
故选： D
4．（2021·四川成都·高二期末（理））一个不透明盒子里装有标号为的五张标签，现从中随机无放回地抽取两次，每次抽一张，则两次抽取的标签号数均为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出无放回抽标签两次的试验的基本事件总数，再求出两次都抽到奇数号标签的事件所含的基本事件数即可得解.
【详解】
从不透明盒子中无放回随机抽标签两次的试验的基本事件有：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，
共有20个，它们等可能，其中两次都抽到奇数号标签的事件A有6个基本事件，，
所以两次抽取的标签号数均为奇数的概率为.
故选：B
5．（2021·四川成都·高二期末（理））为了解某地区的人口年龄分布情况，某机构从该地区年龄在内的居民中随机抽取了位进行调查，并将年龄按，，，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为
B．这位居民中有位居民的年龄不低于岁
C．估计这位居民的平均年龄为岁
D．该地区人口年龄分布在的人数与分布在的人数分别记为，则一定成立
【答案】C
【分析】
利用频率分布直方图的性质直接求解．
【详解】
解：对于，由频率分布直方图得：
，
解得，故错误；
对于，这100位居民中年龄不低于60岁的有：位，故错误；
对于，估计这100位居民的平均年龄为：
岁，故正确；
对于，频率分布图中，人口年龄分布在，的人数与分布在，的人数分别记为，，
则，，
但是利用样本估计总体时会有误差，故不一定成立，故错误．
故选：．
6．（2021·四川成都·高二期末（理））执行如图所示的程序语句，若输入的值为，输出结果为．则输入的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用辗转相除法求输入的两个数的最大公约数，逐项验证即可得解.
【详解】
模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用辗转相除法求输入的两个数的最大公约数,
对于A，m=306， n=98,最大公约数为2，错误;
对于B，m=306，n=102， 最大公约数为102，错误;
对于C，m=306, n=105,最大公约数为3,错误;
对于D，m=306, n=119，最大公约数为17，正确.
故选： D
7．（2021·四川南充·高二期末（理））小明家订了一份报纸，送报人可能在早上至之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上至之间，则小明父亲在离开家前能看得到报纸的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设送报人到达时间为，小明父亲离开家的时间为，可以看成是平面中的点，列出关于的不等式组，利用线性规划求出构成的面积，以及小明父亲在离开家前能得到报纸的构成的面积，利用几何概型概率公式求解即可.
【详解】
设送报人到达时间为，小明父亲离开家的时间为，可以看成是平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为
这是一个矩形区域，面积
设小明父亲在离开家前能看得到报纸为事件.
则事件所构成的区域为
由几何概型概率公式可得，
∴小明父亲在离开家前能得到报纸的概率是.
故选： B.
8．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
把双曲线化成标准形式，表示出渐近线方程，对应系数相等即可求出结果.
【详解】
由题意可得，，则.
故选：A.
9．（2021·江苏·泰州市第二中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用椭圆的定义可求得.
【详解】
在椭圆中，，由椭圆的定义可得，所以，.
故选：C.
10．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））已知直线与椭圆：交于，两点，点是线段的中点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用点差法，求直线的斜率.
【详解】
设，，则，.
因为，在椭圆上，所以，
所以，所以，
则，即直线的斜率是.
故选：A
11．（2020·贵州·兴义市第二高级中学高二期末（理））已知函数，，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式，求出解集，根据与长度有关的几何概型，即可求出结果.
【详解】
由得，解得，
所以从定义域内任取一点，使的概率是.
故选：C.
12．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，利用已知得出，由双曲线的定义结合勾股定理求出和，利用直线l的斜率列出方程，求出双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线的离心率和双曲线的定义，考查平面向量数量积的应用，解决本题的关键点是取线段的中点H，连接，利用已知等式得出，进而可由双曲线的定义和勾股定理求出和，利用直线l的斜率为列方程解出离心率，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·四川成都·高二期末（理））已知命题：若，则；命题，直线与椭圆恒有两个共同点．在命题①；②；③中，所有真命题的序号是_______________________．
【答案】
【分析】
直接利用不等式的性质，直线和椭圆的关系，真值表的应用判断命题①②③的真假.
【详解】
对于命题p:若0
①为假命题；②为假命题；③为真命题;
故答案为：③
14．（2021·四川成都·高二期末（理））某公司从四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位.假定每个女孩是否被选中是等可能的，则事件“女孩或女孩被选中”的概率为_______________________．
【答案】
【分析】
这是一个古典概型，先列举出从四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位的所以选法，再找出女孩或女孩被选中的选法，代入公式求解.
【详解】
从四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位共有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种选法，
女孩或女孩被选中有AB，AC，AD，BC，BD5种选法，
所以事件“女孩或女孩被选中”的概率为，
故答案为：
15．（2021·安徽省郎溪中学高二月考（文））已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.点D为的中点，B，D在y轴上的投影分别为P，Q，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
设直线l的方程为，，，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和及两根之积，进而可得的中点及，的坐标，由均值不等式求得的最小值.
【详解】
如图，设直线l的方程为，，，
联立，整理得，
则，，
因为D为的中点，所以，
则，，
从而，
当且仅当，
即，或，时，等号成立.
故答案为：.
16．（2020·贵州·兴义市第二高级中学高二期末（理））执行如图所示的程序框图，如果输入的是，则输出的是_____________.
【答案】720
【分析】
通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．
【详解】
模拟程序的运行可得
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，；
第五次循环，；
第六次循环，；
故答案为：720
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·四川成都·高二期末（理））已知双曲线的两个焦点分别为，且过点．
（1）求双曲线的虚轴长；
（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由双曲线的定义可知，，又，求得即可．
（2）设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，将点的坐标代入上述方程得即可．
【详解】
（1）由题意，易知，，且.
在中，.
由双曲线的定义可知，
，即.
半焦距.
又
.
故双曲线的虚轴长为.
（2）由（1）知双曲线的方程为.
设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为.
将点的坐标代入上述方程，得.
故所求双曲线的标准方程为.
18．（2021·四川成都·高二期末（理））为统计某城市居民用水情况．利用随机抽取的位居民某年的月均用水量(单位：)为样本绘制成了如图所示的频率分布直方图．将图中从左至右每个小长方形对应组的中间值为第组左右两个边界值的算术平均数，如与高表示的有序数对作为样本数据，其中记表示取最大值时所对应的的值．
（1）根据频率分布直方图求的值；
（2）求程序框图的输出结果的值，令，记．若，则称样本数据符合“左偏分布”；否则不符合“左偏分布”．请问本题的样本数据是否符合“左偏分布”？
【答案】（1）；（2）5；本题样本数据符合“左偏分布”.
【分析】
(1)根据频率分布表找到高yi最大时的小矩形，求出这个小矩下底边中点值即可得解；
(2)执行框图中给定的程序，程序终止时的输出结果即为i值，由此计算Me判断并回答.
【详解】
（1）由频率分布直方图，得的最大值为，这个值所对应小长方形左右两个边界值分别为和，
则对应组的中间值，即的值为；
（2）执行程序框图，输入，得；
输入，得；
输入，得；
输入，得；
输入，得，
故输出结果的值为，，
而，即有，所以本题样本数据符合“左偏分布”.
19．（2021·四川成都·高二期末（理））为做好传染病的防治工作，某部门收集了所辖个地区一个月中的就诊人数（单位：人）和参与治疗的医务人员人数（单位：人），相关数据如下表：
地
地
地
地
地
就诊人数（单位：人）
参与治疗的医务人员人数（单位：人）
（1）研究发现与之间具有线性相关关系，试根据表中统计数据，求出关于的线性回归方程；
（2）若该部门将所辖个地区按参与治疗的医务人员人数不超过人和超过人的标准分别划分为“甲类区域”和“乙类区域”．现采用分层抽样的方法在甲乙两类区域参与治疗的所有医务人员中共抽取人进行培训，求所抽取的“甲类区城”的医务人员来自不同地区的概率
参考数据：
参考公式：，．.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出样本中心坐标，求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程．
（2）记地三名医务人员分别为，，，地两名医务人员分别为，．列出所抽两名医务人员所有可能结果，这两名医务人员分别来自不同地区的结果，然后求解概率即可．
【详解】
（1）由题意，得，．
由参考数据
得.
又.
故所求线性回归方程为.
（2）依题意地和地属于“甲类区域”，两地共计名医务人员参与治疗，
总共有位医务人员参与治疗，所以应从“甲类区域”的名医务人员抽取名.
记地三名医务人员分别为地两名医务人员分别为.
则所抽两名医务人员所有可能结果为，，，，，，，，，，共计种.
这两名医务人员分别来自不同地区的结果有
，，，，，，共计种.
故所抽取的“甲类区域”的医务人员来自不同地区的概率为.
20．（2021·四川南充·高二期末（理））已知:方程有两个不相等的负实根，:方程无实根.
（1）若为真，求的取值范围;
（2）若为假，求的取值范围.
【答案】（1）; （2）.
【分析】
（1）对于由一元二次方程根与系数的关系，可得且，，对于再解即可；
（2）求出命题，为真命题的等价条件，结合或”为假命题时，则，同时为假命题，进行求解
【详解】
（1）若为真,则为真时有；为真时，
所以.
（2）由（1）可得为假时，为假时或，
所以为假时，，
所以.
21．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）若，求弦长；
（2）若直线的斜率为2，为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）5；（2）.
【分析】
(1)结合抛物线的性质，化简整理即可求得弦长.
(2)由题意可得直线的方程，联立抛物线方程，消元得到一元二次方程，结合韦达定理和抛物线的弦长公式、点到线的距离公式、三角形面积公式，计算即可得出结果.
【详解】
(1)由抛物线的性质可得，，
则．
因为，所以.
(2)由题意可得.
因为直线过点，且斜率为2，所以直线的方程为.
联立整理得，
则，，
从而.
故.
点到直线的距离，
则的面积为．
22．（2021·贵州·龙里县九八五高级中学有限责任公司高二期末（理））已知椭圆C：（）的离心率是，椭圆C的右焦点为F，点P在椭圆C上，且的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l不经过点，记直线与直线的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意，由离心率，以及的最大值为，结合椭圆中 ，可得三个方程解三个未知数；
（2）联立直线与椭圆的方程可得，，
表示出，，以及转化为关于 的式子，即可得出定值.
【详解】
（1）解；由题意可得解得，.
则椭圆C的标准方程是.
（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为（且），，.
联立整理得，
，
则，，从而.
因为，所以，，
所以
.
故为定值，且定值为1.
【点睛】
第一问通常是列方程解未知数，需要从题中找出方程，定值需要先表示出，然后观察式子的特点来转化为关于 的式子，即可得到答案.
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