2023年高考全国甲卷理科数学试卷真题（含答案）

这是一份2023年高考全国甲卷理科数学试卷真题（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 理科数学
一、选择题
1. 设集合 A ={x∣x = 3k +1, k Î Z}, B ={x∣x = 3k + 2, k Î Z}，U 为整数集， ðU ( A U B) = （ ）

A. {x | x = 3k, k Î Z} B. {x∣x = 3k -1, k Î Z}

C. {x∣x = 3k - 2, k Î Z} D. Æ

2. 若复数(a + i)(1- ai) = 2, a ÎR ，则 a = （ ）
A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2
3. 执行下面的程序框遇，输出的 B = （ ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
r r r r r r
2
4. 向 量 a = b = 1, c = ，且 a + b + c = 0 ，则cosáa - c, b - cñ = （ ）


A. - 1 5
B. - 2 C. 2 D. 4
5 5 5

5. 已知正项等比数列{an}中， a1 = 1, Sn 为{an}前 n 项和， S5 = 5S3 - 4 ，则 S4 =（ ）
A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

6. 有 50 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

7. “ sin2a+ sin2 b= 1”是“ sina+ cos b= 0 ”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件

5
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

- = > >
x2 y2
8. 已知双曲线 1(a 0,b 0) 的离心率为


，其中一条渐近线与圆(x -
2 + -
2 = 交 于 A，

a2 b2
2) ( y
3) 1


B 两点，则| AB |= （ ）


A 1 B. 5
5 5
C. 2 5 5
D. 4 5 5


9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

10. 已知 f ( x ) 为函数 y = cosæ 2x + π ö 向左平移 π 个单位所得函数，则 y = f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的交点个
ç 6 ÷ 6 2 2
è ø

数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2
2
2
11. 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AB = 4, PC = PD = 3, ÐPCA = 45° ，则VPBC 的面积为（ ）

2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5


12. 己知椭圆 x2 + y2 = ， F , F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点， cos ÐF PF = 3
，则| PO |=



1 1 2
9 6
1 2 5



（ ）

A. 2 B. 30 C. 3
5 2 5


D. 35 2


二、填空题

13. 若 y = (x -1)2 + ax + sin æ x + π ö 为偶函数，则 a = ．
ç 2 ÷

è ø
ï
ì-2x + 3y £ 3
14. 设 x，y 满足约束条件í3x - 2 y £ 3
î
ïx + y ³ 1

，设 z = 3x + 2 y ，则 z 的最大值为 ．


15. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F 分别为 CD， A1B1 的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条

棱的交点总数为 ．

6
16. 在 VABC 中， AB = 2 ， ÐBAC = 60°, BC = ， D 为 BC 上一点， AD 为ÐBAC 的平分线， 则
AD = ．
三、解答题
17. 已知数列{an}中， a2 = 1，设 Sn 为{an}前 n 项和， 2Sn = nan ．
（1） 求{an}的通项公式；
（2） 求数列ì an +1ü 的前 n 项和T ．
í 2n ý n
î þ

18. 在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = 2 ， A1C ^ 底面 ABC，ÐACB = 90° ， A1到平面 BCC1B1 的距离为 1．

（1） 求证： AC = A1C ；

（2） 若直线 AA1 与 BB1 距离为 2，求 AB1与平面 BCC1B1 所成角的正弦值．
19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组
（加药物）．

（1） 设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2） 测得 40 只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.3
18.4
20.1
20.4
21.5
23.2
24.6
24.8
25.0
25.4
26.1
26.3
26.4
26.5
26.8
27.0
27.4
27.5
27.6
28.3
实验组：5.4
6.6
6.8
6.9
7.8
8.2
9.4
10.0
10.4
11.2
14.4
17.3
19.2
20.2
23.6
23.8
24.5
25.1
25.2
26.0

（i） 求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 2×2 列联表：


< m
³ m
对照组



实验组


k0

0.10

0.05

0.010
P (k 2 ³ k )
0

2.706

3.841

6.635

（ii） 根据 2×2 列联表，能否有 95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用． 参考数据：








15
20. 已知直线 x - 2 y +1 = 0 与抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 交于 A, B 两点，且| AB |= 4 ．
（1） 求 p ；
（2） 设 C 的焦点为 F，M，N 为 C 上两点， MF × NF = 0 ，求VMNF 面积的最小值．


21. 已知 f (x) = ax -
sin x , x Î æ0, π ö



cos3 x
ç 2 ÷


（1） 若a =
è ø
8 ，讨论 f (x) 的单调性；


（2） 若 f (x) < sin 2x 恒成立，求 a 的取值范围．


四、选做题

ìx = 2 + t cosa

î
22. 已知 P(2,1) ，直线l : í y = 1+ t sina （t 为参数），a为l 的倾斜角，l 与 x 轴，y 轴正半轴交于 A，B 两

点， | PA | × | PB |= 4 ．
（1） 求a的值；
（2） 以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程．

23. 已知 f (x) = 2 x - a - a, a > 0 ．
（1） 求不等式 f ( x ) < x 的解集；
（2） 若曲线 y = f ( x) 与坐标轴所围成的图形的面积为 2，求a ．


2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 理科数学
一、选择题
1. 设集合 A ={x∣x = 3k +1, k Î Z}, B ={x∣x = 3k + 2, k Î Z}，U 为整数集， ðU ( A U B) = （ ）

A. {x | x = 3k, k Î Z} B. {x∣x = 3k -1, k Î Z}

C. {x∣x = 3k - 2, k Î Z} D. Æ

【答案】A
【解析】

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 Z = {x | x = 3k, k Î Z} U{x | x = 3k + 1, k Î Z }U {x | x = 3k + 2, k Î Z } ，U = Z ，所以， ðU ( A U B ) = {x | x = 3k , k Î Z} ．
故选：A．
2. 若复数(a + i)(1- ai) = 2, a ÎR ，则 a = （ ）
A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2

【答案】C
【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为(a + i)(1- ai) = a - a 2i + i + a = 2a + (1- a 2 )i = 2 ，
ì2a = 2

í
2
所以
î1- a
= 0 ，解得： a = 1 ．


故选：C.
3. 执行下面的程序框遇，输出的 B = （ ）



A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

【答案】B
【解析】

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【详解】当 n = 1 时，判断框条件满足，第一次执行循环体， A = 1+ 2 = 3 ， B = 3 + 2 = 5 ， n = 1+1 = 2 ； 当 n = 2 时，判断框条件满足，第二次执行循环体， A = 3 + 5 = 8， B = 8 + 5 = 13， n = 2 +1 = 3 ；
当 n = 3 时，判断框条件满足，第三次执行循环体， A = 8 +13 = 21， B = 21+13 = 34， n = 3 +1 = 4 ； 当 n = 4 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出 B = 34 ．
故选：B.
r r r r r r
2
4. 向 量 a = b = 1, c = ，且 a + b + c = 0 ，则cosáa - c, b - cñ = （ ）


A. - 1 5
B. - 2 C. 2 D. 4
5 5 5

【答案】D
【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 r r ,所以 r r,

即 r2 2
a + b + c = 0
r r2 ,即
a + b = - c
r ,所以 r .

a + b
+ 2a × b = c
1 + 1 + 2a × b = 2
a × b = 0

a ,OB
c
如图,设OA = r = b ,OC = r ,





由题知, OA = OB = 1, OC =
2,VOAB 是等腰直角三角形,



AB 边上的高OD =
2 , AD = 2 ,

2 2


2
所以CD = CO + OD = +
2 = 3 2 ,
2 2



tan ÐACD =
AD = 1 , cos ÐACD = ,

3
10
CD 3

a c, b c
cosá r - r - rñ = cosÐACB = cos 2ÐACD = 2 cos2 ÐACD -1


3
10
ç ÷
2
= 2 ´æ ö
è ø
故选:D.
-1 = 4 .
5


5. 已知正项等比数
列{an}中， a1 = 1, Sn 为{an}前 n 项和， S5 = 5S3
- 4 ，则 S4 =（ ）
A 7
B. 9
C. 15
D. 30
【答案】C
【解析】




【分析】根据题意列出关于q的方程,计算出q,即可求出 S4 .
【详解】由题知1+ q + q2 + q3 + q4 = 5 (1+ q + q2 )- 4 ,
即 q3 + q4 = 4q + 4q2 ,即 q3 + q2 - 4q - 4 = 0 ,即(q - 2)(q +1)(q + 2) = 0 .

由题知 q > 0 ,所以 q = 2 .

所以 S4 = 1+ 2 + 4 + 8 = 15 .
故选:C.

6. 有 50 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）

A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

【答案】A
【解析】

【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件 概率的知识求解.
【详解】报名两个俱乐部的人数为50 + 60 - 70 = 40 ，
记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件 B ，
则 P( A) = 50 = 5 , P( AB) = 40 = 4 ，
70 7 70 7
4

所以 P(B∣A) = P( AB) =
P( A)

故选: A .


7 = 0.8 .
5


7


7. “ sin2a+ sin2 b= 1”是“ sina+ cos b= 0 ”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件

C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B
【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当sin2a+ sin2 b= 1时，例如a= π ,b= 0 但sina+ cosb¹ 0 ，
2
即sin2a+ sin2 b= 1推不出sina+ cos b= 0 ；

当sina+ cos b= 0 时， sin2 a+ sin2 b= (-cosb)2 + sin2 b= 1， 即sina+ cos b= 0 能推出sin2a+ sin2 b= 1.
综上可知， sin2a+ sin2 b= 1是sina+ cos b= 0 成立的必要不充分条件.


故选：B
- = > >
x2 y2
8. 已知双曲线 1(a 0,b 0) 的离心率为



，其中一条渐近线与圆(x -


2 + -


2 = 交 于 A，

a2 b2
2) ( y
3) 1


5
B 两点，则| AB |= （ ）



A. 1 B. 5
5 5
C. 2 5 5
D. 4 5 5


【答案】D
【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.


5
c2
【详解】由e = ，则 a2 =
解得 b = 2 ，
a
a2 + b2
a2
b2
= 1+ = 5 ，
a2

所以双曲线的一条渐近线不妨取 y = 2x ，

5
| 2 ´ 2 - 3 |
22 +1
则圆心(2, 3) 到渐近线的距离 d = = ，
5


所以弦长| AB |= 2
= 2 = 4 5 .
r 2 - d 2
1 - 1
5
5


故选：D

9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

【答案】B
【解析】

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为 a, b, c, d , e ，

4
假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 A2 = 12


种方法，

同理： b, c, d , e 连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法，
所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有5´12 = 60 种. 故选：B.
10. 已知 f ( x ) 为函数 y = cosæ 2x + π ö 向左平移 π 个单位所得函数，则 y =






f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的交点个



ç 6 ÷ 6 2 2
è ø

数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f ( x) = -sin 2x ，再作出 f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的部分大致图像，
2 2
考虑特殊点处 f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
2 2
【详解】因为 y = cosæ 2x + π ö 向左平移 π 个单位所得函数为
ç 6 ÷ 6
è ø


y = é æ
π ö πù
æ πö

cos ê2 ç x + 6 ÷ + 6 ú = cos ç 2x + 2 ÷ = -sin 2x ，所以 f ( x) = -sin 2x ，
ë è ø û è ø

而 y = 1 x - 1 显然过æ 0, - 1 ö 与(1, 0) 两点，
2 2 ç 2 ÷
è ø
作出 f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的部分大致图像如下，
2 2

考虑 2x = - 3π , 2x = 3π , 2x = 7π ，即 x = - 3π , x = 3π , x = 7π 处 f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的大小关系，
2 2 2 4 4 4 2 2
当 x = - 3π 时， f æ - 3π ö = - sinæ - 3π ö = -1 ， y = 1 ´æ - 3π ö - 1 = - 3π + 4 < -1 ；

4 ç 4 ÷ ç 2 ÷
2 ç 4 ÷ 2 8

è ø è ø è ø
当 x = 3π 时， f æ 3π ö = -sin 3π = 1 ， y = 1 ´ 3π - 1 = 3π - 4 < 1 ；

4 ç 4 ÷ 2
2 4 2 8

è ø

当 x = 7π 时， f æ 7π ö = -sin 7π = 1 ， y = 1 ´ 7π - 1 = 7π - 4 > 1；

4 ç 4 ÷ 2
2 4 2 8

è ø
所以由图可知， f ( x ) 与 y = 1 x - 1 的交点个数为3 .
2 2
故选：C.

2
2
2
11. 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AB = 4, PC = PD = 3, ÐPCA = 45° ，则VPBC 的面积为（ ）

2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

【答案】C
【解析】
17
17
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得VPDO @VPCO ，VPDB @VPCA ，从而得到 PA = PB ， 再在△PAC 中利用余弦定理求得 PA = ，从而求得 PB = ，由此在VPBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；
17
法二：先在△PAC 中利用余弦定理求得 PA = ， cosÐPCB = 1 ，从而求得 PA× PC = -3 ，再利用空
3
17
间向量的数量积运算与余弦定理得到关于 PB, ÐBPD 的方程组，从而求得 PB = ，由此在VPBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：

连结 AC, BD 交于O ，连结 PO ，则O 为 AC, BD 的中点，如图，



2
因为底面 ABCD 为正方形， AB = 4 ，所以 AC = BD = 4 2 ，则 DO = CO = 2
又 PC = PD = 3 ， PO = OP ，所以VPDO @VPCO ，则ÐPDO = ÐPCO ， 又 PC = PD = 3 ， AC = BD = 4 2 ，所以VPDB @VPCA ，则 PA = PB ， 在△PAC 中， PC = 3, AC = 4 2, ÐPCA = 45° ，
则由余弦定理可得 PA2 = AC 2 + PC 2 - 2AC × PC cosÐPCA = 32 + 9 - 2´ 4 2 ´ 3´
，








2 = 17 ，
2


17
17
故 PA = ，则 PB = ，

故在VPBC 中， PC = 3, PB = 17, BC = 4 ，

PC 2 + BC 2 - PB2 9 +16 -17 1
所以cos ÐPCB = = = ，

2PC × BC 2 ´ 3´ 4 3

1- cos 2 ÐPCB
2 2
3
又0 < ÐPCB < π ，所以sin ÐPCB = = ，


2
所以VPBC 的面积为 S = 1 PC × BC sinÐPCB = 1 ´ 3´ 4´ 2 2 = 4 .
2 2 3

法二：

连结 AC, BD 交于O ，连结 PO ，则O 为 AC, BD 的中点，如图，



因为底面 ABCD 为正方形， AB = 4 ，所以 AC = BD = 4 2 ， 在△PAC 中， PC = 3, ÐPCA = 45° ，
则由余弦定理可得 PA2 = AC 2 + PC 2 - 2AC × PC cosÐPCA = 32 + 9 - 2´ 4 2 ´ 3´


2 = 17 ，故
2


17
PA = ，

17
PA2 + PC 2 - AC 2 17 + 9 - 32
2 ´ 17 ´ 3
所以cos ÐAPC = = = - ，则
2PA × PC 17

uur uuur uur uuur
æ 17 ö

PA × PC = PA PC cos ÐAPC = 17 ´ 3´ ç - 17 ÷ = -3 ，
è ø
不妨记 PB = m, ÐBPD = q，

uuur
1 uur uuur 1 uuur uuur
uur uuur 2
uuur uuur 2

( )
因为 PO =
PA + PC =
2 2
(PB + PD)，所以(PA + PC )
= (PB + PD ) ，

uur2
即 PA
uuur2
+ PC
uur uuur uuur2
+ 2PA × PC = PB
uuur2
+ PD
uuur uuur
+ 2PB × PD ，

则17 + 9 + 2 ´ (-3) = m2 + 9 + 2 ´ 3´ mcos q，整理得 m2 + 6m cosq-11 = 0 ①，
又在△PBD 中， BD2 = PB2 + PD2 - 2PB × PD cosÐBPD ，即32 = m2 + 9 - 6m cosq，则
m2 - 6m cosq- 23 = 0 ②，
17
两式相加得 2m2 - 34 = 0 ，故 PB = m = ，
故在VPBC 中， PC = 3, PB = 17, BC = 4 ，


PC 2 + BC 2 - PB2 9 +16 -17 1
所以cos ÐPCB = = = ，

2PC × BC 2 ´ 3´ 4 3

1- cos 2 ÐPCB
2 2
3
又0 < ÐPCB < π ，所以sin ÐPCB = = ，

2
所以VPBC 的面积为 S = 1 PC × BC sinÐPCB = 1 ´ 3´ 4´ 2 2 = 4 .
2 2 3


故选：C.

12. 己知椭圆 x2 + y2 = ， F , F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点， cos ÐF PF



= 3 ，则| PO |=



1 1 2
9 6
1 2 5



（ ）

A. 2 B. 30 C. 3
5 2 5


D. 35 2


【答案】B
【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2 的面积，即可得到点 P 的坐标，从而得出 OP 的


值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF PF , PF 2 + PF


2 ，再结合中线的向量公式以及数量积

1 2 1 2


即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF 2 + PF


2 ，即可根据中线定理求出．

1 2

【详解】方法一：设ÐF PF = 2q, 0 < q< π ，所以 S = b2 tan ÐF1PF2 = b2 tanq，

1 2 2 VPF1F2 2
cos2 q-sin2 q 1 - tan2 q 3 1


由cos ÐF1PF2 = cos 2q=

= = ，解得： tanq= ，
cos2 q+sin2 q 1 + tan2 q 5 2

由椭圆方程可知， a2 = 9, b2 = 6, c2 = a2 - b2 = 3 ，

所以， S
= 1 ´ F F ´ y = 1 ´ 2 3 ´ y = 6 ´ 1 ，解得： y2 = 3 ，


V PF1F2 2 1 2 p 2 p 2 p


即 x2 = 9´ æ1- 3 ö = 9 ，因此 OP =


= = 30 ．

x2 + y 2
p p
3+ 9
2
p ç 6 ÷ 2 2
è ø

故选：B．
方法二：因为 PF + PF = 2a = 6 ①， PF 2 + PF
2 - 2 PF PF ÐF PF = F F 2 ，

1 2 1 2
1 2 1 2 1 2

即 PF 2 + PF 2 - 6 PF PF
= 12 ②，联立①②，

1 2 5 1 2

解得： PF PF = 15 , PF 2 + PF

2 = 21 ，

1 2 2 1 2


uuur 1
而 PO =
2
uuur uuur
( )
PF1 + PF2 ，所以 OP
uuur
= PO
1 uuur uuur
= 2 PF1 + PF2 ，



1
2
uuur uuur uuur
1 3 15 30

即 PO = PF1 + PF2 =
= 21+ 2´ ´ = ．
2 5 2 2



1
2
uuur 2
PF + 2PF × PF + PF
uuur uuur uuur 2
1 1 2 2
故选：B．

方法三：因为 PF + PF = 2a = 6 ①， PF 2 + PF

2 - 2 PF PF ÐF PF = F F 2 ，

1 2 1 2
1 2 1 2 1 2



6
5
即 PF 2 + PF 2 - PF PF = 12 ②，联立①②，解得： PF 2 + PF
2 = 21 ，

1 2 1 2 1 2


由中线定理可知， (2 OP )2 + F F
2 = 2 ( PF 2 + PF
2 ) = 42 ，易知 F F = 2
，解得： OP = 30 ．

3
1 2 1 2 1 2

2
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
二、填空题

13. 若 y = (x -1)2 + ax + sin æ x + π ö 为偶函数，则 a = ．
ç 2 ÷
è ø
【答案】2
【解析】

【分析】利用偶函数的性质得到 f æ - π ö = f æ π ö ，从而求得a = 2 ，再检验即可得解.
ç 2 ÷ ç 2 ÷



【详解】因为 y =
è ø è ø

f ( x) = ( x -1)2 + ax + sin æ x + π ö = ( x -1)2 + ax + cos x 为偶函数，定义域为R ，



ç 2 ÷


æ π ö æ π ö



æ π ö2
è ø

π æ π ö æ π

ö2 π π

所以 f ç - 2 ÷ = f ç 2 ÷ ，即ç - - ÷ - a +
sç - ÷ = ç

- ÷ + a + ，


è ø è ø è 2 ø 2
è 2 ø è 2
ø 2 2


æ π ö2 æ π ö2

则πa = ç 2 + 1÷ - ç 2 - 1÷
= 2π ，故a = 2 ，

è ø è ø

此时 f ( x ) = ( x -1)2 + 2x + cos x = x 2 + 1+ cos x ，

所以 f (-x ) = (-x )2 + 1+ cos (-x ) = x 2 +1+ cos x = f
又定义域为R ，故 f ( x ) 为偶函数， 所以a = 2 .
(x ) ，

故答案为：2.

ï
ì-2x + 3y £ 3

14. 设 x，y 满足约束条件í3x - 2 y £ 3
î
ïx + y ³ 1
，设 z = 3x + 2 y ，则 z 的最大值为 ．


【答案】15
【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.

【详解】作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数 y = - 3 x + z 过点A 时， z 有最大值，
2 2
í
由ì-2x + 3y = 3 可得ìx = 3 ，即 A(3, 3) ,
î
î3x - 2 y = 3 í y = 3

所以 zmax = 3´ 3 + 2´ 3 = 15 .
故答案为：15

15. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F 分别为 CD， A1B1 的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ．
【答案】12
【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为 2， EF 中点为O ，取 AB ， BB1 中点G, M ，侧面 BB1C1C 的中心为 N ，连接 FG, EG, OM , ON, MN ，如图，





FG 2 + EG 2
由题意可知， O 为球心，在正方体中， EF =
= = 2 ，



22 + 22
2
2
即 R = ，

则球心O 到 BB1 的距离为OM =


ON 2 + MN 2
12 + 12
2
= = ，


所以球O 与棱 BB1 相切，球面与棱 BB1 只有 1 个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有 1 个交点， 所以以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 12.
故答案为：12

6
16. 在 VABC 中， AB = 2 ， ÐBAC = 60°, BC = ， D 为 BC 上一点， AD 为ÐBAC 的平分线， 则
AD = ．
【答案】 2
【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出 AC ，再根据等面积法求出 AD ；
方法二：利用余弦定理求出 AC ，再根据正弦定理求出 B, C ，即可根据三角形的特征求出．



【详解】




如图所示：记 AB = c, AC = b, BC = a ，

3
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 ´ 2 ´ b ´ cos 60o = 6 ， 因为b > 0 ，解得： b = 1+ ，
由 SV ABC = SV ABD + SV ACD 可得，

1 ´ 2´ b ´sin 60o = 1 ´ 2´ AD ´sin 30o + 1 ´ AD ´ b ´sin 30o ，
2 2 2


3b
2 3 (1 + 3 )

解得： AD = b =
1+
2
3 + 3
= 2 ．

故答案为： 2 ．

3
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 ´ 2 ´ b ´ cos 60o = 6 ，因为b > 0 ，解得： b = 1+ ，


由正弦定理可得， 6
sin 60o
= b
sin B
= 2
sin C
，解得： sin B =
6 + 2 ， sin C = 2 ，
4 2


3
6
2
因为1+ > > ，所以C = 45o ， B = 180o - 60o - 45o = 75o ， 又ÐBAD = 30o ，所以ÐADB = 75o ，即 AD = AB = 2 ．
故答案为： 2 ．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题
17. 已知数列{an}中， a2 = 1，设 Sn 为{an}前 n 项和， 2Sn = nan ．
（1） 求{an}的通项公式；
（2） 求数列ì an +1ü 的前 n 项和T ．
í 2n ý n
î þ

【答案】（1） an = n -1

（2） n = - ( + ) 2
æ 1 ön
T 2 2 n ç ÷
è ø


【解析】

【分析】（1）根据 a

= ìS1, n = 1



即可求出；

S
-
n í
î n Sn-1
, n ³ 2


（2）根据错位相减法即可解出．

【小问 1 详解】因为 2Sn = nan ，
当 n = 1 时， 2a1 = a1 ，即 a1 = 0 ；

当 n = 3 时， 2 (1 + a3 ) = 3a3 ，即 a3 = 2 ，
当 n ³ 2 时， 2Sn-1 = (n -1)an-1 ，所以 2 (Sn - Sn-1 ) = nan - (n -1) an-1 = 2an ，

化简得： (n - 2) a
= (n -1) a
，当 n ³ 3 时， an
= an-1
= L = a3 = 1 ，即 a


= n -1，

n n-1

n -1

n - 2 2 n

n
当 n = 1, 2, 3 时都满足上式，所以 a = n -1(n Î N* ) ．
【小问 2 详解】


a +1 n


æ 1 ö1
æ 1 ö2
æ 1 ö3
æ 1 ön

2 2 2 2
因为 n = ，所以T = 1´ + 2 ´ + 3´ +L+ n ´ ，

2n 2n
n ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø



1 æ 1 ö2
æ 1 ö3
æ 1 ö n
æ 1 ö n +1

2 Tn = 1´ç 2 ÷ + 2´ç 2 ÷ + L+ (n -1) ´ç 2 ÷ + n ´ç 2 ÷ ，
è ø è ø è ø è ø


两式相减得，

1 é æ 1 ön ù


1 2 3
n n +1
2 ´ ê1- ç 2 ÷ ú
n+1

1 T = æ 1 ö


+ æ 1 ö


+ æ 1 ö


+ L+ æ 1 ö


- n ´æ 1 ö =


ëê è ø
úû - n ´æ 1 ö ，



2 2 2 2 2
n ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
2 è ø è ø è ø è ø è ø
1- 1 ç ÷
2

ç
= 1 - æ1 +
è
n öæ 1 ön
2 2
÷ç ÷
øè ø

，即Tn
æ 1 ön
= - ( + ) 2
2 2 n ç ÷
è ø

2
è ø
， n Î N* ．


18. 在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = 2 ， A1C ^ 底面 ABC，ÐACB = 90° ， A1到平面 BCC1B1 的距离为 1．

（1） 求证： AC = A1C ；

（2） 若直线 AA1 与 BB1 距离为 2，求 AB1与平面 BCC1B1 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析

（2） 13
13
【解析】


【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得 A1O ^ 平面 BCC1B1 ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；
（2）利用直角三角形求出 AB1 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【小问 1 详解】如图，


Q A1C ^ 底面 ABC ， BC Ì面 ABC ，

\ A1C ^ BC ，又 BC ^ AC ， A1C, AC Ì 平面 ACC1 A1 ， A1C Ç AC = C ,

\ BC ^平面 ACC1A1，又 BC Ì平面 BCC1B1 ，

\平面 ACC1A1 ^平面 BCC1B1 ，
过 A1 作 A1O ^ CC1 交CC1 于O ，又平面 ACC1 A1 I平面 BCC1B1 = CC1 ， A1O Ì 平面 ACC1 A1 ，
\ A1O ^ 平面 BCC1B1
Q A1 到平面 BCC1B1 的距离为 1，\ A1O = 1 ， 在Rt△A1CC1 中， A1C ^ A1C1,CC1 = AA1 = 2 ，
设CO = x ，则C1O = 2 - x ，
Q△A1OC,△A1OC1,△A1CC1 为直角三角形，且CC1 = 2 ，

CO2 + AO2 = AC 2 ， AO2 + OC 2 = C A2 ， AC 2 + AC 2 = C C 2 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

\1+ x2 +1+ (2 - x)2 = 4 ，解得 x = 1 ，

2
\ AC = A1C = A1C1 = ，
\ AC = A1C

【小问 2 详解】

Q AC = A1C1,BC ^ A1C , BC ^ AC ，
\Rt△ACB≌Rt△A1CB

\ BA = BA1 ，
过 B 作 BD ^ AA1 ，交 AA1 于 D，则 D 为 AA1 中点， 由直线 AA1 与 BB1 距离为 2，所以 BD = 2
5
Q A1D = 1 ， BD = 2 ，\ A1B = AB = ，

AB2 - AC 2
3
在Rt△ABC ，\ BC = = ，

延长 AC ，使 AC = CM ，连接C1M ，

由CM∥A1C1 ,CM = A1C1 知四边形 A1CMC1 为平行四边形，

\C1M∥A1C ，\C1M ^ 平面 ABC ，又 AM Ì 平面 ABC ，

\C1M ^ AM

(2 AC)2 + AC 2
1
3
则在Rt△AC1M 中， AM = 2AC,C1M = A1C ，\ AC1 = ，


(2 AC)2 + AC 2
1
在Rt△AB1C1 中， AC1 =
， B1C1
= BC = ，


(2 2)2 + ( 2)2 + ( 3)2
13
\ AB1 = = ,


又A 到平面 BCC1B1 距离也为 1，

所以 AB 与平面 BCC B 所成角的正弦值为

= 13 .

1
13
1 1 1 13

19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组
（加药物）．

（1） 设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2） 测得 40 只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.3
18.4
20.1
20.4
21.5
23.2
24.6
24.8
25.0
25.4
26.1
26.3
26.4
26.5
26.8
27.0
27.4
27.5
27.6
28.3
实验组：5.4
6.6
6.8
6.9
7.8
8.2
9.4
10.0
10.4
11.2
14.4
17.3
19.2
20.2
23.6
23.8
24.5
25.1
25.2
26.0

（i） 求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 2×2 列联表：


< m
³ m
对照组


实验组


k0

0.10

0.05

0.010
P (k 2 ³ k )
0

2.706

3.841

6.635

（ii） 根据 2×2 列联表，能否有 95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用． 参考数据：








【答案】（1）分布列见解析， E( X ) = 1
（2）（i） m = 23.4 ；列联表见解析，（ii）能
【解析】

【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得 m = 23.4 ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问 1 详解】

依题意， X 的可能取值为0,1, 2 ，


C0 C2 19
C1 C1 20
C2 C0 19

则 P( X = 0) = 20 20 = ， P( X = 1) = 20 20 = ， P( X = 2) = 20 20 = ，
C
C
C
78
39
78
2 2 2
40 40 40

所以 X 的分布列为：

X
0
1
2

P
19

78
20

39
19

78

故 E( X ) = 0 ´ 19 +1´ 20 + 2 ´ 19 = 1.
78 39 78

【小问 2 详解】

（i）依题意，可知这 40 只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20 位与第 21 位数据

的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第 11 位数据为14.4 ，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2, 20.1, 20.2, 20.4, 21.5, 23.2, 23.6,L，
故第 20 位为23.2 ，第 21 位数据为 23.6 ，

所以 m = 23.2 + 23.6 = 23.4 ，
2

故列联表为：


< m
³ m
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40

40 ´ (6 ´ 6 -14 ´14)2
（ii）由（i）可得， K = = 6.400 > 3.841， 20 ´ 20 ´ 20 ´ 20
所以能有95% 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

15
20. 已知直线 x - 2 y +1 = 0 与抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 交于 A, B 两点，且| AB |= 4 ．
（1） 求 p ；
（2） 设 C 的焦点为 F，M，N 为 C 上两点， MF × NF = 0 ，求VMNF 面积的最小值．
【答案】（1） p = 2

2
（2）12 - 8

【解析】
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 p ；
（2）设直线 MN ：x = my + n ，M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), 利用 MF × NF = 0 ，找到 m, n 的关系，以及VMNF

的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．


【小问 1 详解】
设 A( xA, yA ), B ( xB , yB ) ，
由ìx - 2 y +1 = 0 可得， y2 - 4 py + 2 p = 0 ，所以 y + y




= 4 p, y y




= 2 p ，

î
í y2 = 2 px

A B A B



( x
A B
- x + y
)
2
(
- y )
2
A B
所以 AB =
= yA - yB = 5 ´
= 4 ，


5
( y
A B
+ y - 4 y y
)
2
A B
15
即 2 p2 - p - 6 = 0 ，因为 p > 0 ，解得： p = 2 ．
【小问 2 详解】
因为 F (1, 0) ，显然直线 MN 的斜率不可能为零， 设直线 MN ： x = my + n ， M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，
ì y2 = 4x

î
由íx = my + n
可得， y2 - 4my - 4n = 0 ，所以， y1 + y2 = 4m, y1 y2 = -4n ，


D = 16m2 +16n > 0 Þ m2 + n > 0 ，
因为 MF × NF = 0 ，所以( x1 -1)( x2 -1) + y1 y2 = 0 ， 即(my1 + n -1)(my2 + n -1) + y1 y2 = 0 ，
亦即(m2 +1) y y + m (n -1)( y + y ) + (n -1)2 = 0 ，

1 2 1 2

将 y1 + y2 = 4m, y1 y2 = -4n 代入得，
2
4m2 = n2 - 6n +1， 4 (m2 + n) = (n -1)2 > 0 ，所以 n ¹ 1，且 n2 - 6n +1 ³ 0 ，解得 n ³ 3 + 2





2
或 n £ 3 - 2 ．


n -1
1+ m2
设点 F 到直线 MN 的距离为d ，所以 d = ，

(
x - x + y - y
)
2
(
)
2
1 2
1 2
1+ m2
1+ m2 16m2 +16n
MN = = y - y =


1+ m2 4 (n2 - 6n +1) +16n
= 2 = 2
1 2

1+ m2
1+ m2
n -1 ，



n -1
1+ m2
所以VMNF 的面积 S = 1 ´ MN ´ d = 1 ´
´ 2 n -1 = (n -1)2 ，

2 2


2
而 n ³ 3 + 2
或 n £ 3 - 2
，所以，


2
当 n = 3 - 2
时， VMNF 的面积 S = (2 - 2 2 )2 = 12 - 8 ．

2
2
min
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 m, n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.

21. 已知 f (x) = ax -
sin x , x Î æ0, π ö



cos3 x
ç 2 ÷

è ø

（1） 若a =
8 ，讨论 f (x) 的单调性；


（2） 若 f (x) < sin 2x 恒成立，求 a 的取值范围．

【答案】（1）答案见解析.

（2） (-¥, 3]

【解析】

【分析】（1）求导,然后令t = cos2 x ,讨论导数的符号即可;

（2）构造 g(x) = f (x) - sin 2x ,计算 g¢(x) 的最大值,然后与 0 比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可.

【小问 1 详解】


f ¢ (x) = a -
cos x cos3 x + 3sin x cos2 x sin x


cos6 x



cos2 x + 3sin2 x
= a - = a -
cos4 x
3 - 2 cos2 x


cos4 x


令cos2 x = t ,则t Î (0,1)


则 f ¢
3 - 2t at 2 + 2t - 3
(x) = g(t) = a - =

t 2 t 2


当 a = 8, f
8t 2 + 2t - 3 (2t -1)(4t + 3)
¢
(x) = g (t) = =

t 2 t 2

当t Îæ 0, 1 ö ,即 x Îæ π , π ö , f ¢(x) < 0 .
ç 2 ÷ ç 4 2 ÷
è ø è ø
当t Îæ 1 ,1ö ,即 x Îæ 0, π ö, f ¢ (x) > 0 .
ç 2 ÷ ç 4 ÷
è ø è ø

所以 f (x) 在æ 0, π ö 上单调递增,在æ π , π ö 上单调递减
ç ÷ ç 4 2 ÷
è 4 ø è ø

【小问 2 详解】

设 g(x) = f (x) - sin 2x


¢ ¢ 2
at 2 + 2t - 3 2 3

2
2
g (x) = f (x) - 2 cos 2x = g(t) - 2 (2 cos
x -1 )=
- 2(2t -1) = a + 2 - 4t + - 设


j(t) = a + 2 - 4t + 2 - 3
t t 2
t t t


(t) = -4 - + = = - > 0
j¢ 2 6 -4t3 - 2t + 6 2(t -1)(2t 2 + 2t+3)
t 2 t3 t3 t3

所以j(t) < j(1) = a - 3 .

1° 若 a Î(-¥,3], g¢(x) = j(t) < a - 3 £ 0
即 g(x) 在æ 0,pö 上单调递减,所以 g(x) < g(0) = 0 .
ç 2 ÷
è ø

所以当 a Î(-¥, 3], f (x) < sin 2x ,符合题意.
2° 若 a Î(3, +¥)


2 3 æ1 1 ö2 1


j ® -¥

è ø
当t ® 0, t - t 2 = -3 ç t - 3 ÷
+ ® -¥ ,所以 (t) .
3


j(1) = a - 3 > 0 .



所以$t
Î(0,1) ,使得j(t ) = 0 ,即$x Îæ 0,pö ,使得 g¢( x ) = 0 .



0 0 0 ç 2 ÷ 0
è ø
0 0
当t Î(t ,1),j(t) > 0 ,即当 x Î(0, x ), g ¢(x) > 0, g (x) 单调递增. 所以当 x Î(0, x0 ), g (x) > g (0) = 0 ,不合题意.
综上, a 的取值范围为(-¥, 3].

【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性t = cos x 在定义域内是减函数,若t0 = cos x0 ,
0 0
当t Î(t ,1),j(t) > 0 ,对应当 x Î(0, x ), g ¢(x) > 0 .


四、选做题
ìx = 2 + t cosa
î
22. 已知 P(2,1) ，直线l : í y = 1+ t sina （


t 为参数），a为l 的倾斜角，l 与 x 轴，y 轴正半轴交于 A，B 两


点， | PA | × | PB |= 4 ．
（1） 求a的值；
（2） 以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程．
3π
【答案】（1）
4
（2） rcosa+ rsina- 3 = 0

【解析】

【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；
（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
【小问 1 详解】
因为l 与 x 轴， y 轴正半轴交于 A, B 两点，所以 π < a< π ，
2
1
2

令 x = 0 ， t1
= - cosa
，令 y = 0 ， t2
= - sina，



所以 PA
PB = t2t1 =
= = 4 ，所以sin 2a= ±1 ，


2
sinacosa
4
sin 2a
即 2a= π + kπ ，解得a= π + 1 kπ, k Î Z ，
2 4 2
因为 π < a< π ，所以a= 3π ．
2 4
【小问 2 详解】
由（1）可知，直线l 的斜率为tana= -1，且过点(2,1) ，
所以直线l 的普通方程为： y -1 = - ( x - 2) ，即 x + y - 3 = 0 ，
由 x = rcosa, y = rsina可得直线l 的极坐标方程为rcosa+ rsina- 3 = 0 ．

23. 已知 f (x) = 2 x - a - a, a > 0 ．
（1） 求不等式 f ( x ) < x 的解集；
（2） 若曲线 y = f ( x) 与坐标轴所围成的图形的面积为 2，求a ．
【答案】（1） æ a , 3a ö
ç 3 ÷
è ø

2 6
3
（2）

【解析】
【分析】（1）分 x £ a 和 x > a 讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.

【小问 1 详解】

若 x £ a ,则 f (x) = 2a - 2x - a < x ,
即3x > a ,解得 x > a ,即 a < x £ a ,
3 3

若 x > a ,则 f (x) = 2x - 2a - a < x ,
解得 x < 3a ,即 a < x < 3a ,
综上,不等式的解集为æ a , 3a ö .
ç 3 ÷
è ø

【小问 2 详解】

í2x - 3a, x > a
f (x) = ì-2x + a, x £ a .
î
画出 f (x) 的草图,则 f (x) 与坐标轴围成△ADO 与VABC
VABC 的高为 a, D(0, a), A æ a , 0 ö, B æ 3a , 0 ö ,所以| AB |= a
ç 2 ÷ ç 2 ÷
1
2
1
2
è ø è ø


所以 S + S
= OA × a + AB × a = 3 a2 = 2 ,解得 a = 2 6


VOAD
V ABC 4 3

































































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