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人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》（含解析）.1 试卷
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这是一份人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》（含解析）.1，共16页。
人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》2022年单元测试卷（1）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )
A. 25 B. 23 C. 12 D. 07
2.（5分）已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801
2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983
据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为( )
A. 310 B. 1320 C. 910 D. 1920
3.（5分）四书五经记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查．用分层抽样的方法从高一年级学生中抽去了一个容量为n的样本，已知抽到男生70人，则样本容量n为
A. 60 B. 90 C. 130 D. 150
4.（5分）从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300kw⋅ℎ之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间[100,250)内的户数分别为()
A. 0.0046，72 B. 0.0046，70
C. 0.0042，72 D. 0.0042，70
5.（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球；至少有一个红球
B. 至少有一个白球；红、黑球各一个
C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
D. 至少有一个白球；都是白球
6.（5分）“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 112
7.（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m+n=( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8.（5分）2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优．据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图(一)与人均月收入绘制成如图(二)所示的不完整的条形统计图．现给出如下信息：
①10月份人均月收入增长率为2%；
②11月份人均月收入约为1442元；
③12月份人均月收入有所下降；
④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高．
其中正确的信息个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.（5分）对于一组数据1，2，3，4，5，如果将它们改变为11，12，13，14，15，则下列结论正确的是( )
A. 平均数不变，方差变
B. 平均数与方差均发生变化
C. 平均数与方差均不变
D. 平均数变，方差保持不变
10.（5分）现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中;若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中.按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是()
A. 1770 B. 1735 C. 12 D. 116
11.（5分）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表．
组距
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在区间(−∞,50)上的频率为( )
A. 0.5 B. 0.25 C. 0.6 D. 0.7
12.（5分）某人射击两次，第一次射中的概率为0.6，第二次射中的概率为0.7，则至少射中一次的概率为( )
A. 0.42 B. 0.46 C. 0.58 D. 0.88
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）在样本频率分布直方图中，样本容量为160，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，则中间一组的频数为 ______ ．
14.（5分）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检______家．
15.（5分）在平面直角坐标系xOy中，点集Q={(x,y)|x，y∈{−1,0,1}}，在Q中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为______．
16.（5分）一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，该公司随机调查了20000辆汽车从某年的5月1日到下一年的4月30日挡风玻璃的破碎情况，发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为__________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70⩽k<100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
质量指标值k
90⩽k<100
85⩽k<90
80⩽k<85
75⩽k<80
70⩽k<75
产品等级
A
B
C
D
E
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图(设“频率组距=Y”时，发现Y满足：Y={3n−39300,n⩽16a·220−n,n>16，n∈N∗，5n⩽k<5(n+1).
(1)试确定n的所有取值，并求a；
(2)从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件A级品的概率；
(3)求样本质量指标值k的平均数− k(各分组区间的数据以该组区间的中点值代表).
18.（12分）某工厂36名工人的年龄数据如表：
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
35 49
36 39
(Ⅰ)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(Ⅱ)计算(Ⅰ)中样本的平均值x和方差s2；
(Ⅲ)求这36名工人中年龄在(x−s,x+s)内的人数所占的百分比．
19.（12分）某企业生产的某种产品，每售出1件利润为2000元，未售出的产品每件亏损500元．根据统计数据，该产品的市场月需求量(单位：件)的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值，并估计该产品的市场月需求量的中位数；
(2)若该产品的月产量为260件，以x(单位：件，200⩽x⩽300)表示该产品的市场月需求量，估计该企业的月利润y不小于47万的概率．
20.（12分）某校从2011年到2018年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生(每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试)人数可以通过以下表格反映出来。(为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推)
年份x
1
2
3
4
5
6
7
8
人数y
2
3
4
4
7
7
6
6
(1)求这八年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的中位数和方差；
(2)根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x之间的线性回归方程，并依此预测该校2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数。(结果要求四舍五入至个位)
参考公式：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nøverlinexyi=1nxi2−nx2a=y−bøverlinex 。
21.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
22.（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(I)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(Ⅱ)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，该企业可获利润有哪几种可能，其利润及概率各为多少？
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．
根据随机数表依次进行选取即可．
解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，
则抽取的第5个零件编号为，12，
故选：C.
2.【答案】D;
【解析】解：经随机模拟产生了如下20组随机数：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801
2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983
4件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，分别为：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801
2386，1601，1613，1769，6509，5336，2937，9507，4983
据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为P=1920.
故选：D.
经随机模拟产生了20组随机数，利用列举法求出4件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，据此能估计4件产品中至少有3件合格品的概率．
此题主要考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．根据分层抽样方法列出方程，求出n的值．
解：根据题意，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，
则高一年级有1040名学生，女生480人，则男生560人，
即70 560=n1040,解得n=130.
故选C.
4.【答案】C;
【解析】解：由题意可得50×(0.0024+0.0038+0.0060+x+0.0032)=1，
解得x=0.0046，
所以直方图中x的值为0.0046.
100×(1−0.0024×50−0.0032×50)=72，
所以在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)的户数为72户．
故选：C.
根据直方图中数字特征的计算公式计算即可．
此题主要考查了频率分布直方图中的数字特征计算，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立;在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立;在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立;在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立.故选B.
点睛：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也可以描述为：不可能同时发生的事件，则事件A与事件B互斥，从集合的角度即A∩B=∅;若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生，其定义为：其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.
6.【答案】C;
【解析】解：依题意，所有的情况为(甲−西施，丙−昭君，丁−貂蝉)，(甲−西施，丙−貂蝉，丁−昭君)，(甲−昭君，丙−西施，丁−貂蝉)，(甲−昭君，丙−貂蝉，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−昭君，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−西施，丁−昭君)，其中满足条件的就1种，所求事件的概率为16．
故选：C．
根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共6种，而甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君值包含1个基本事件，代入古典概型的概率公式即可．
此题主要考查了古典概型的概率，属于基础题．
7.【答案】C;
【解析】解：甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，
∴20+n=20+222，解得n=1，
∵平均数也相同，
∴14(10+m+20+22+28)=13(19+21+26)，
解得m=8，
∴m+n=8+1=9．
故选：C．
由中位数相同，得到20+n=20+222，由平均数也相同，得到14(10+m+20+22+28)=13(19+21+26)，由此能求出m+n．
该题考查两数和的求法，考查平均数、中位数、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C;
【解析】解：由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知：
在①中，10月份人均月收入增长率为2%，故①正确；
在②中，11月份人均月收入约为1442元，故②正确；
在③中，12月份人均月收入高于8月和9月，故③错误；
在④中，从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高，故④正确．
故选：C．
由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解．
该题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
9.【答案】D;
【解析】
分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.
详解：由平均数公式得，变化前的平均数为1+2+3+4+5÷5=3，
变化后的平均数为11+12+13+14+15÷5=13；
变化前方差=1−32+2−32+3−32+4−32+5−32÷5=2，
变化后方差=11−132+12−132+13−132+14−132+15−132÷5=2
可得平均数变，方差保持不变，故选D.
点睛：此题主要考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数，x=1n(x1+x2+...+xn)，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2].
10.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了古典概型及其计算，属于中档题.解：若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为36×36=14，则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为47×25+37×35=1735，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子A有8个球的概率为14×1735=17140，同理，第一次取球 甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子A中有8个球的概率为17140，所以两次取球后，盒子A中恰有8个球的概率是17140+17140=1770.
11.【答案】D;
【解析】
该题考查频率分布表，属基础题．由表格求出样本在区间[10,50)上的数据个数，结合样本容量求得频率，即为样本在区间(−∞,50)上的频率．
解：由表格可以看出，
样本在区间[10,50)上共有2+3+4+5=14个数据，
∵样本容量为20，∴样本在区间[10,50)上的频率为1420=0.7，
即则样本在区间(−∞,50)上的频率为0.7．
故选D．
12.【答案】D;
【解析】
此题主要考查相互独立事件同时发生的概率，是基础题.
至少射中一次包括“第一次射中，第二次没射中”，“第一次没射中，第二次射中”和“两次都射中”三种情况，分别求概率然后相加即可.
解：因为两次射击结果相互独立，
所以至少射中一次的概率为0.6×0.3+0.4×0.7+0.6×0.7=0.88.
故选D.
13.【答案】32;
【解析】解：设中间一组的频率为x，根据频率和为1，
得：x+4x=1，
解得x=15；
∴中间一组的频数为160×15=32．
故答案为：32．
根据频率和为1，结合题意，求出中间一组的频率以及频数．
该题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，是基础题目．
14.【答案】20;
【解析】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×10020+100+15=20(家).
故答案为：20.
根据分层抽样时抽样比例相等，即可求出粮食加工品店需要被抽检的数量．
此题主要考查了分层抽样原理，是基础题．
15.【答案】514;
【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|x，y=−1，0，1}，
∴K中有9个点，∴在K中随机取出三个点的方式数为C93=84，
当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：
①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
②三点是1，1，2的等腰直角三角形的顶点，有4×4=16种情况，
③三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，
其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(±1,0)，(0,±1)的各有1个，
共有8种情况，
综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为6+16+8=30，
∴这三个点两两之间距离均不超过2的概率为p=3084=514．
故答案为：514．
K中有9个点，从而在K中随机取出三个点的方式数为C93=84，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1，2的等腰直角三角形的顶点，有4×4=16种情况，三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率．
该题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】0.03;
【解析】此题主要考查频率与概率的关系，属于基础题.
由一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的频率来估计概率即可.
解：记“一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A，
则事件A发生的概率近似为60020000=3100=0.03.
故答案为0.03.
17.【答案】解：（1）根据题意，k∈[70，100），按组距为5可分成6个小区间，
分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）．
因为70≤k＜100，由5n≤k＜5（n+1），n∈N*，
所以n=14，15，16，17，18，19，
每个小区间对应的频率值分别是5Y=3n−3960,n=14,15,165a.220−n,n=17,18,19.
所以3×(14+15+16−39)60+5a（8+4+2）=1，
解得a=1100．
（2）由（1）中的数据，得
k∈[85，90）的频率为1100×220-17×5=0.4；
k∈[90，95）的频率为1100×220-18×5=0.2；
k∈[95，100】的频率为1100×220-19×5=0.1，
利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，
k∈[85，90）的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；
k∈[90，100）的有3件，分别记作B1，B2，B3，
从抽取的7件产品中任取2件产品，则样本空间Ω={A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}，
所以n（Ω）=21．
事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“，
则A={A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}，
所以n（A）=15，
由古典概型公式，得P（A）=n(Ω)n(A)=1521=57．
（3）k∈[70，75）的概率为3×14−3960=120，
k∈[75，80）的概率为3×15−3960=110，
k∈[80，85）的概率为3×16−3960=320，
k∈[85，90）的概率为0.4，
k∈[90，95）的概率为0.2，
k∈[95，100）的概率为0.1，
− k=72.5×120+77.5×110+82.5×320+87.5×0.4+92.5×0.2+97.5×0.1=87．;
【解析】
(1)根据题意，k∈[70,100),按组距为5可分成6个小区间，根据题意可得n=14，15，16，17，18，19，分别算出每一组的频率，按照频率之和为1，再计算a的值．
(2)分别计算出k∈[85,90),k∈[90,95)的频率，k∈[95,100】的频率，利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，k∈[85,90)的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；k∈[90,100)的有3件，分别记作B1，B2，B3，再利用列举法得从抽取的7件产品中任取2件产品，样本空间的个数，事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“个数，再由古典概型公式，计算出P(A).
(3)分别算出每一组的概率乘以各自组中值之和，即可得出答案．
此题主要考查统计与概率，解题中注意分层抽样，古典概型的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．
由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，
对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40，
s2=19[(44−40)2+(40−40)2+(36−40)2+(43−40)2+(36−40)2+(37−40)2+(44−40)2+(43−40)2+(37−40)2]=1009．
(Ⅲ)由(Ⅱ)，得x=40，s=103，
∴x−s=3623，x+s=4313，
由表可知，这36名工人中年龄在(x−s,x+s)内共有23人，所占的百分比为2336×100%≈63.89%．;
【解析】
(Ⅰ)根据系统抽样的方法，求出样本的年龄数据即可；
(Ⅱ)根据平均数和方差的公式求出其平均数和方差即可；
(Ⅲ)求出x−s和x+s，从而求出其所占的百分比．
此题主要考查了系统抽样、平均数、方差等问题，是一道中档题．
19.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得：
20(a+2a+3a+6a+0.02)=1，
解得a=0.0025．
设该产品的市场月需求量的中位数为x，
月需求量分别在[200,220)，[220,240)的频率分别为0.1，0.3，
则由0.1+0.3+0.02(x−240)=0.5，
解得x=245(件)，
∴估计该产品的市场月需求量的中位数为245件．
(2)当200⩽x⩽260时，月利润y=2000x−500(260−x)=2500x−130000，
当260⩽x⩽300时，月利润y=2000×260=520000，
由2500x−130000⩾470000，解得x⩾240，
由(1)知x<240的频率为0.1+0.3=0.4，
∴根据频率估计概率，月利润不小于47万元的概率为0.6．;
【解析】(1)根据频率分布直方图得a=0.0025.设该产品的市场月需求量的中位数为x，列出方程能估计该产品的市场月需求量的中位数．
(2)当200⩽x⩽260时，月利润y=2000x−500(260−x)=2500x−130000，当260⩽x⩽300时，月利润y=2000×260=520000，由2500x−130000⩾470000，解得x⩾240，由此根据频率估计概率，能求出月利润不小于47万元的概率．
此题主要考查中位数、概率的求法及应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)中位数为4+62=5，
平均数为2+3+4+4+7+7+6+68=398，
所以方差s2=18[(2−398)2+(3−398)2+(4−398)2×2+(7−398)2×2+(6−398)2×2]=19964.
(2)由表中近5年的数据可得x=6,\latexHardcodedbary=6,
i=15xiyi=183,i=15xi2=190,b=i=1nxiyi−n¯ x ¯ y i=15xi2−n¯ x2=0.3.
又a=¯ y−b¯ x，
所以a=6−0.3×6=4.2.
故线性回归方程为y=0.3x+4.2，
当x=9时，y=0.3×9+4.2≈7.
即预测该校2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数约为7人.;
【解析】此题主要考查了样本的数字特征以及线性回归方程的应用问题，是基础题．
(1)由所给数据计算中位数和方差即可；
(2)根据最近5年的数据计算平均数和回归系数，求出回归方程，计算对应的值．
21.【答案】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A1，b1 }，{A1，b2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，
{A2，b1 }，{A2，b2 }，{B，a1 }，{B，a2 }，{B，b1 }，{B，b2}；
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，共4种，
∴中奖的概率为412=13．
不中奖的概率为：1-13=23＞13．
故这种说法不正确．;
【解析】
(Ⅰ)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)在(Ⅰ)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．
该题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．
22.【答案】解：（I）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，设事件B表示“乙组研发新新产品B研发成功”，
则P（A）=23，P（B）=35，
∴至少有一种新产品研发成功的概率：
P=1-P（− A）P（− B）=1-13×25=1315．
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，
该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220，
P（X=0）=P（− A− B）=13×25=215，
P（X=100）=P（− AB）=13×35=15，
P（X=120）=P（A− B）=23×25=415，
P（X=220）=P（AB）=23×35=25．;
【解析】
(I)设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，设事件B表示“乙组研发新新产品B研发成功”，则P(A)=23，P(B)=35，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一种新产品研发成功的概率．
(Ⅱ)该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220，利用相互独立事件概率计算公式能求出结果．
该题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》2022年单元测试卷（1）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )
A. 25 B. 23 C. 12 D. 07
2.（5分）已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801
2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983
据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为( )
A. 310 B. 1320 C. 910 D. 1920
3.（5分）四书五经记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查．用分层抽样的方法从高一年级学生中抽去了一个容量为n的样本，已知抽到男生70人，则样本容量n为
A. 60 B. 90 C. 130 D. 150
4.（5分）从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300kw⋅ℎ之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间[100,250)内的户数分别为()
A. 0.0046，72 B. 0.0046，70
C. 0.0042，72 D. 0.0042，70
5.（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球；至少有一个红球
B. 至少有一个白球；红、黑球各一个
C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
D. 至少有一个白球；都是白球
6.（5分）“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 112
7.（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m+n=( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8.（5分）2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优．据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图(一)与人均月收入绘制成如图(二)所示的不完整的条形统计图．现给出如下信息：
①10月份人均月收入增长率为2%；
②11月份人均月收入约为1442元；
③12月份人均月收入有所下降；
④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高．
其中正确的信息个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.（5分）对于一组数据1，2，3，4，5，如果将它们改变为11，12，13，14，15，则下列结论正确的是( )
A. 平均数不变，方差变
B. 平均数与方差均发生变化
C. 平均数与方差均不变
D. 平均数变，方差保持不变
10.（5分）现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中;若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中.按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是()
A. 1770 B. 1735 C. 12 D. 116
11.（5分）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表．
组距
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在区间(−∞,50)上的频率为( )
A. 0.5 B. 0.25 C. 0.6 D. 0.7
12.（5分）某人射击两次，第一次射中的概率为0.6，第二次射中的概率为0.7，则至少射中一次的概率为( )
A. 0.42 B. 0.46 C. 0.58 D. 0.88
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）在样本频率分布直方图中，样本容量为160，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，则中间一组的频数为 ______ ．
14.（5分）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检______家．
15.（5分）在平面直角坐标系xOy中，点集Q={(x,y)|x，y∈{−1,0,1}}，在Q中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为______．
16.（5分）一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，该公司随机调查了20000辆汽车从某年的5月1日到下一年的4月30日挡风玻璃的破碎情况，发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为__________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70⩽k<100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
质量指标值k
90⩽k<100
85⩽k<90
80⩽k<85
75⩽k<80
70⩽k<75
产品等级
A
B
C
D
E
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图(设“频率组距=Y”时，发现Y满足：Y={3n−39300,n⩽16a·220−n,n>16，n∈N∗，5n⩽k<5(n+1).
(1)试确定n的所有取值，并求a；
(2)从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件A级品的概率；
(3)求样本质量指标值k的平均数− k(各分组区间的数据以该组区间的中点值代表).
18.（12分）某工厂36名工人的年龄数据如表：
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
35 49
36 39
(Ⅰ)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(Ⅱ)计算(Ⅰ)中样本的平均值x和方差s2；
(Ⅲ)求这36名工人中年龄在(x−s,x+s)内的人数所占的百分比．
19.（12分）某企业生产的某种产品，每售出1件利润为2000元，未售出的产品每件亏损500元．根据统计数据，该产品的市场月需求量(单位：件)的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值，并估计该产品的市场月需求量的中位数；
(2)若该产品的月产量为260件，以x(单位：件，200⩽x⩽300)表示该产品的市场月需求量，估计该企业的月利润y不小于47万的概率．
20.（12分）某校从2011年到2018年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生(每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试)人数可以通过以下表格反映出来。(为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推)
年份x
1
2
3
4
5
6
7
8
人数y
2
3
4
4
7
7
6
6
(1)求这八年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的中位数和方差；
(2)根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x之间的线性回归方程，并依此预测该校2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数。(结果要求四舍五入至个位)
参考公式：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nøverlinexyi=1nxi2−nx2a=y−bøverlinex 。
21.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
22.（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(I)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(Ⅱ)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，该企业可获利润有哪几种可能，其利润及概率各为多少？
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．
根据随机数表依次进行选取即可．
解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，
则抽取的第5个零件编号为，12，
故选：C.
2.【答案】D;
【解析】解：经随机模拟产生了如下20组随机数：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801
2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983
4件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，分别为：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801
2386，1601，1613，1769，6509，5336，2937，9507，4983
据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为P=1920.
故选：D.
经随机模拟产生了20组随机数，利用列举法求出4件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，据此能估计4件产品中至少有3件合格品的概率．
此题主要考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．根据分层抽样方法列出方程，求出n的值．
解：根据题意，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，
则高一年级有1040名学生，女生480人，则男生560人，
即70 560=n1040,解得n=130.
故选C.
4.【答案】C;
【解析】解：由题意可得50×(0.0024+0.0038+0.0060+x+0.0032)=1，
解得x=0.0046，
所以直方图中x的值为0.0046.
100×(1−0.0024×50−0.0032×50)=72，
所以在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)的户数为72户．
故选：C.
根据直方图中数字特征的计算公式计算即可．
此题主要考查了频率分布直方图中的数字特征计算，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立;在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立;在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立;在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立.故选B.
点睛：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也可以描述为：不可能同时发生的事件，则事件A与事件B互斥，从集合的角度即A∩B=∅;若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生，其定义为：其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.
6.【答案】C;
【解析】解：依题意，所有的情况为(甲−西施，丙−昭君，丁−貂蝉)，(甲−西施，丙−貂蝉，丁−昭君)，(甲−昭君，丙−西施，丁−貂蝉)，(甲−昭君，丙−貂蝉，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−昭君，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−西施，丁−昭君)，其中满足条件的就1种，所求事件的概率为16．
故选：C．
根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共6种，而甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君值包含1个基本事件，代入古典概型的概率公式即可．
此题主要考查了古典概型的概率，属于基础题．
7.【答案】C;
【解析】解：甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，
∴20+n=20+222，解得n=1，
∵平均数也相同，
∴14(10+m+20+22+28)=13(19+21+26)，
解得m=8，
∴m+n=8+1=9．
故选：C．
由中位数相同，得到20+n=20+222，由平均数也相同，得到14(10+m+20+22+28)=13(19+21+26)，由此能求出m+n．
该题考查两数和的求法，考查平均数、中位数、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C;
【解析】解：由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知：
在①中，10月份人均月收入增长率为2%，故①正确；
在②中，11月份人均月收入约为1442元，故②正确；
在③中，12月份人均月收入高于8月和9月，故③错误；
在④中，从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高，故④正确．
故选：C．
由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解．
该题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
9.【答案】D;
【解析】
分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.
详解：由平均数公式得，变化前的平均数为1+2+3+4+5÷5=3，
变化后的平均数为11+12+13+14+15÷5=13；
变化前方差=1−32+2−32+3−32+4−32+5−32÷5=2，
变化后方差=11−132+12−132+13−132+14−132+15−132÷5=2
可得平均数变，方差保持不变，故选D.
点睛：此题主要考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数，x=1n(x1+x2+...+xn)，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2].
10.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了古典概型及其计算，属于中档题.解：若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为36×36=14，则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为47×25+37×35=1735，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子A有8个球的概率为14×1735=17140，同理，第一次取球 甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子A中有8个球的概率为17140，所以两次取球后，盒子A中恰有8个球的概率是17140+17140=1770.
11.【答案】D;
【解析】
该题考查频率分布表，属基础题．由表格求出样本在区间[10,50)上的数据个数，结合样本容量求得频率，即为样本在区间(−∞,50)上的频率．
解：由表格可以看出，
样本在区间[10,50)上共有2+3+4+5=14个数据，
∵样本容量为20，∴样本在区间[10,50)上的频率为1420=0.7，
即则样本在区间(−∞,50)上的频率为0.7．
故选D．
12.【答案】D;
【解析】
此题主要考查相互独立事件同时发生的概率，是基础题.
至少射中一次包括“第一次射中，第二次没射中”，“第一次没射中，第二次射中”和“两次都射中”三种情况，分别求概率然后相加即可.
解：因为两次射击结果相互独立，
所以至少射中一次的概率为0.6×0.3+0.4×0.7+0.6×0.7=0.88.
故选D.
13.【答案】32;
【解析】解：设中间一组的频率为x，根据频率和为1，
得：x+4x=1，
解得x=15；
∴中间一组的频数为160×15=32．
故答案为：32．
根据频率和为1，结合题意，求出中间一组的频率以及频数．
该题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，是基础题目．
14.【答案】20;
【解析】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×10020+100+15=20(家).
故答案为：20.
根据分层抽样时抽样比例相等，即可求出粮食加工品店需要被抽检的数量．
此题主要考查了分层抽样原理，是基础题．
15.【答案】514;
【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|x，y=−1，0，1}，
∴K中有9个点，∴在K中随机取出三个点的方式数为C93=84，
当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：
①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
②三点是1，1，2的等腰直角三角形的顶点，有4×4=16种情况，
③三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，
其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(±1,0)，(0,±1)的各有1个，
共有8种情况，
综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为6+16+8=30，
∴这三个点两两之间距离均不超过2的概率为p=3084=514．
故答案为：514．
K中有9个点，从而在K中随机取出三个点的方式数为C93=84，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1，2的等腰直角三角形的顶点，有4×4=16种情况，三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率．
该题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】0.03;
【解析】此题主要考查频率与概率的关系，属于基础题.
由一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的频率来估计概率即可.
解：记“一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A，
则事件A发生的概率近似为60020000=3100=0.03.
故答案为0.03.
17.【答案】解：（1）根据题意，k∈[70，100），按组距为5可分成6个小区间，
分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）．
因为70≤k＜100，由5n≤k＜5（n+1），n∈N*，
所以n=14，15，16，17，18，19，
每个小区间对应的频率值分别是5Y=3n−3960,n=14,15,165a.220−n,n=17,18,19.
所以3×(14+15+16−39)60+5a（8+4+2）=1，
解得a=1100．
（2）由（1）中的数据，得
k∈[85，90）的频率为1100×220-17×5=0.4；
k∈[90，95）的频率为1100×220-18×5=0.2；
k∈[95，100】的频率为1100×220-19×5=0.1，
利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，
k∈[85，90）的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；
k∈[90，100）的有3件，分别记作B1，B2，B3，
从抽取的7件产品中任取2件产品，则样本空间Ω={A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}，
所以n（Ω）=21．
事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“，
则A={A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}，
所以n（A）=15，
由古典概型公式，得P（A）=n(Ω)n(A)=1521=57．
（3）k∈[70，75）的概率为3×14−3960=120，
k∈[75，80）的概率为3×15−3960=110，
k∈[80，85）的概率为3×16−3960=320，
k∈[85，90）的概率为0.4，
k∈[90，95）的概率为0.2，
k∈[95，100）的概率为0.1，
− k=72.5×120+77.5×110+82.5×320+87.5×0.4+92.5×0.2+97.5×0.1=87．;
【解析】
(1)根据题意，k∈[70,100),按组距为5可分成6个小区间，根据题意可得n=14，15，16，17，18，19，分别算出每一组的频率，按照频率之和为1，再计算a的值．
(2)分别计算出k∈[85,90),k∈[90,95)的频率，k∈[95,100】的频率，利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，k∈[85,90)的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；k∈[90,100)的有3件，分别记作B1，B2，B3，再利用列举法得从抽取的7件产品中任取2件产品，样本空间的个数，事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“个数，再由古典概型公式，计算出P(A).
(3)分别算出每一组的概率乘以各自组中值之和，即可得出答案．
此题主要考查统计与概率，解题中注意分层抽样，古典概型的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．
由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，
对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40，
s2=19[(44−40)2+(40−40)2+(36−40)2+(43−40)2+(36−40)2+(37−40)2+(44−40)2+(43−40)2+(37−40)2]=1009．
(Ⅲ)由(Ⅱ)，得x=40，s=103，
∴x−s=3623，x+s=4313，
由表可知，这36名工人中年龄在(x−s,x+s)内共有23人，所占的百分比为2336×100%≈63.89%．;
【解析】
(Ⅰ)根据系统抽样的方法，求出样本的年龄数据即可；
(Ⅱ)根据平均数和方差的公式求出其平均数和方差即可；
(Ⅲ)求出x−s和x+s，从而求出其所占的百分比．
此题主要考查了系统抽样、平均数、方差等问题，是一道中档题．
19.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得：
20(a+2a+3a+6a+0.02)=1，
解得a=0.0025．
设该产品的市场月需求量的中位数为x，
月需求量分别在[200,220)，[220,240)的频率分别为0.1，0.3，
则由0.1+0.3+0.02(x−240)=0.5，
解得x=245(件)，
∴估计该产品的市场月需求量的中位数为245件．
(2)当200⩽x⩽260时，月利润y=2000x−500(260−x)=2500x−130000，
当260⩽x⩽300时，月利润y=2000×260=520000，
由2500x−130000⩾470000，解得x⩾240，
由(1)知x<240的频率为0.1+0.3=0.4，
∴根据频率估计概率，月利润不小于47万元的概率为0.6．;
【解析】(1)根据频率分布直方图得a=0.0025.设该产品的市场月需求量的中位数为x，列出方程能估计该产品的市场月需求量的中位数．
(2)当200⩽x⩽260时，月利润y=2000x−500(260−x)=2500x−130000，当260⩽x⩽300时，月利润y=2000×260=520000，由2500x−130000⩾470000，解得x⩾240，由此根据频率估计概率，能求出月利润不小于47万元的概率．
此题主要考查中位数、概率的求法及应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)中位数为4+62=5，
平均数为2+3+4+4+7+7+6+68=398，
所以方差s2=18[(2−398)2+(3−398)2+(4−398)2×2+(7−398)2×2+(6−398)2×2]=19964.
(2)由表中近5年的数据可得x=6,\latexHardcodedbary=6,
i=15xiyi=183,i=15xi2=190,b=i=1nxiyi−n¯ x ¯ y i=15xi2−n¯ x2=0.3.
又a=¯ y−b¯ x，
所以a=6−0.3×6=4.2.
故线性回归方程为y=0.3x+4.2，
当x=9时，y=0.3×9+4.2≈7.
即预测该校2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数约为7人.;
【解析】此题主要考查了样本的数字特征以及线性回归方程的应用问题，是基础题．
(1)由所给数据计算中位数和方差即可；
(2)根据最近5年的数据计算平均数和回归系数，求出回归方程，计算对应的值．
21.【答案】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A1，b1 }，{A1，b2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，
{A2，b1 }，{A2，b2 }，{B，a1 }，{B，a2 }，{B，b1 }，{B，b2}；
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，共4种，
∴中奖的概率为412=13．
不中奖的概率为：1-13=23＞13．
故这种说法不正确．;
【解析】
(Ⅰ)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)在(Ⅰ)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．
该题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．
22.【答案】解：（I）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，设事件B表示“乙组研发新新产品B研发成功”，
则P（A）=23，P（B）=35，
∴至少有一种新产品研发成功的概率：
P=1-P（− A）P（− B）=1-13×25=1315．
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，
该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220，
P（X=0）=P（− A− B）=13×25=215，
P（X=100）=P（− AB）=13×35=15，
P（X=120）=P（A− B）=23×25=415，
P（X=220）=P（AB）=23×35=25．;
【解析】
(I)设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，设事件B表示“乙组研发新新产品B研发成功”，则P(A)=23，P(B)=35，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一种新产品研发成功的概率．
(Ⅱ)该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220，利用相互独立事件概率计算公式能求出结果．
该题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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