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人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》（含解析） 试卷
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这是一份人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》（含解析），共14页。
人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》2022年单元测试卷（1）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是( )
32211834297864540732524206443812234356773578905642
84421253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
A. 623 B. 328 C. 457 D. 072
2.（5分）一个总体的60个个体的编号分别为01，02，03，…，60，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表的倒数第8行(表中为随机数表的最后10行)第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的最后一个个体的号码是( )
60 36 59 46 53 35 07 53 39 49 42 61 42 92 97 01 91 82 83 16 98 95 37 32 31
83 79 94 24 02 56 62 33 44 42 34 99 44 13 74 70 07 11 47 36 09 95 81 80 65
32 96 00 74 05 36 40 98 32 32 99 38 54 16 00 11 13 30 75 86 15 91 70 62 53
19 32 25 38 45 57 62 05 26 05 66 49 76 86 46 78 13 85 65 59 19 64 09 94 13
11 22 09 47 47 07 39 93 74 08 48 50 92 39 29 27 48 24 54 76 85 24 43 51 59
31 75 15 72 60 68 98 00 53 39 15 47 04 83 55 88 65 12 25 96 03 15 21 52 21
88 49 29 93 82 14 45 40 45 04 20 09 49 89 77 74 84 39 34 13 22 10 97 85 08
30 93 44 77 41 07 48 18 38 28 73 78 80 65 33 28 59 72 04 05 94 20 52 03 80
22 88 84 88 93 27 49 99 87 48 60 53 04 51 28 74 02 28 46 17 82 03 71 02 68
78 21 21 69 93 35 90 29 13 86 44 37 21 54 86 65 74 11 40 14 87 48 13 72 80
A. 11 B. 13 C. 16 D. 54
3.（5分）某市准备建一所体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查.已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是()
A. 200 B. 250 C. 280 D. 300
4.（5分）甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是()
A. 甲校女生比乙校女生多 B. 乙校男生比甲校男生少
C. 乙校女生比甲校男生少 D. 甲校女生比乙校男生少
5.（5分）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球
C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球
6.（5分）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )
A. 112 B. 19 C. 16 D. 14
7.（5分）将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知( )
A. 甲队得分的众数是3
B. 甲、乙两队得分在[30,39)分数段频率相等
C. 甲、乙两队得分的极差相等
D. 乙队得分的中位数是38.5
8.（5分）如图所示是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%.则下列叙述不正确的是( )
A. 2018年3月的销售任务是400台
B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台
C. 2018年第一季度总销售量为830台
D. 2018年月销售量最大的是6月份
9.（5分）样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A. 105 B. 305 C. 2 D. 2
10.（5分）某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为Pn，则P6=()
A. 316 B. 14 C. 516 D. 38
11.（5分）某电商平台统计了2014年−2017年间的每个季度的市场营销费用增速、活跃用户数(单位：千万)及其增速，并制成如图统计图表：
下列选项中，说法与实际情况最相符的是( )
A. 逐年比较，各年的活跃用户数与营销费用增速均在增加
B. 逐季度比较，各季度的活跃用户增速与活跃用户数呈线性关系
C. 2015年−2016年该电商平台活跃用户数增速仍增大
D. 2017年该电商平台活跃用户数逐季度增加
12.（5分）每次试验的成功率为p(0
C. p3(1−p)7 D. p7(1−p)3
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60kmℎ的汽车数量为______辆．
14.（5分）某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n=__________.
15.（5分）一枚硬币连续抛掷三次，则两次正面向上的概率为______．
16.（5分）某人买了100张彩票，结果有5张中奖，则本期彩票中奖的概率一定是0.05.这种说法________.(填写“正确”或“不正确”)
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）某学校有在编人员100人，其中行政人员10人，教师70人，后勤人员20人，校长为了了解他们对学校改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤.
18.（12分）全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台．全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队．
(1)应从大三抽取多少个团队？
(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲、乙两组的分数如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．
(i)从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？
(ii)从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率．
19.（12分）宁德被誉为“中国大黄鱼之乡”，海域面积4.46万平方公里，水产资源极为丰富．“宁德大黄鱼”作为福建宁德地理标志产品，同时也是宁德最具区域特色的海水养殖品种，全国80%以上的大黄鱼产自宁德，年产值超过60亿元．现有一养殖户为了解大黄鱼的生长状况，对其渔场中100万尾鱼的净重(单位：克)进行抽样检测，将抽样所得数据绘制成频率分布直方图如图．其中产品净重的范围是[96,106]，已知样本中产品净重小于100克的有360尾．
(1)计算样本中大黄鱼的数量；
(2)假设样本平均值不低于101.3克的渔场为A级渔场，否则为B级渔场．那么要使得该渔场为A级渔场，则样本中净重在[96,98)的大黄鱼最多有几尾？
(3)为提升养殖效果，该养殖户进行低沉性配合饲料养殖，净重小于98克的每4万尾合用一个网箱，大于等于98克的每3万尾合用一个网箱．根据(2)中所求的最大值，估计该养殖户需要准备多少个网箱？
20.（12分）某样本由m+n个数组成，平均数为− z，方差为s2，这个样本可分为两层：第一层有m个数，分别为x1，x2，……，xm，平均数为− x，方差为s12：第二层有n个数，分别为y1，y2，……，yn，平均数为− y，方差为s22.
(1)证明：− z=m− x+n− y m+n；
(2)证明：k=1m(xk−− x)2=∑k=1mxk2−m− x2；
(3)证明：s2=1 m+n[ns12+mn m+n(− x−− y)2].
21.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
22.（12分）甲，乙二人进行乒乓球比赛，比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．已知每局比赛甲胜乙的概率是23，假设每局比赛结果相互独立．
(I)求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；
(II)设随机变量X为甲在一场比赛中获胜的局数，求P(X<2)．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查随机数表法简单的随机抽样，是基础题．注意从表中第5行第6列开始向右读取数据的时候，是三个数字为一组，得到的数不可超过编号的最大数，也不可重复.
解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前8个编号分别是：253，313，457，007，328，623，072，
则得到的第7个样本编号是072.
故选D.
2.【答案】C;
【解析】解：从随机数表的倒数第8行第11列开始向右读取，依次抽取的编号为36，40，32，38，54，16，
所以抽取的最后一个个体的号码是16，
故选：C.
利用随机数法的定义求解．
此题主要考查了简单随机抽样的随机数法，是基础题．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了分层抽样，属中档题．
根据分层抽样是按比例抽样列式可得．解：设这次抽样调查抽取的总人数为n，840:700:560=6:5:4，则有1005=n6+5+4，解得n=300.
4.【答案】D;
【解析】解：甲校男生和女生的人数均为750，乙校男生人数为400，女生人数为600.
所以甲校女生比乙校女生多，故A正确；
乙校男生比甲校男生少，故B正确；
乙校女生比甲校男生少，故C正确；
甲校女生比乙校男生多，故D错误．
故选：D.
根据统计图表可得答案．
此题主要考查命题真假的判断，考查统计图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，
在A中，至少有一个黑球与都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，至少有一个黑球与至少有一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故C正确；
在D中，至少有一个黑球与都是白球是对立事件，故D错误．
故选：C.
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
此题主要考查互斥而不对立的事件的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．
将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y)，共有6×6=36个基本事件，利用列举法求出点数之和为大于8的偶数有4种，由此能求出出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率．
解：将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y)，
则共有6×6=36个基本事件，
其中点数之和为大于8的偶数有：(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)共4种，
则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为p=436=19．
故选：B．
7.【答案】D;
【解析】解：甲得分的众数为33，35，故A错误
甲、乙两队得分在[30,39)分数段频数分别为甲是4，乙是3，两者的频率不相等，故B错误，
甲的极差是51−24=27.乙的极差是52−22=30，两者不相等，故C错误，
乙队得分的中位数是34+432=772=38.5，故D正确，
故选：D．
根据众数，频率，极差以及中位数的定义分别进行计算判断即可．
这道题主要考查茎叶图的应用，结合众数，频率，极差以及中位数的定义分别进行计算是解决本题的关键．
8.【答案】D;
【解析】
由频率分布折线图、密度曲线逐一检验即可得解．
该题考查频率分布折线图、密度曲线，属简单题．
解：由图可知：①选项A正确，
②2018年月销售任务的平均值为100+200+3×300+3×400+500+700+800+100012<600，故选项B正确，
③2018年第一季度总销售量为300×0.5+200×1+400×1.2=830，故选项C正确，
④2018年月销售量最大的是5月份，为800台，故选项D不正确．
综合①②③④得：选项D不正确，
故选：D．
9.【答案】D;
【解析】解：由已知0，1，2，3，m的平均值为1，即有(0+1+2+3+m)÷5=1，解得m=−1，
根据方差计算公式得s2=15[(−1−1)2+(0−1)2+(1−1)2+(2−1)2+(3−1)2]=15×10=2，
故选：D.
根据平均数公式先求出m，再求出方差．
此题主要考查了样本数据平均数、方差的计算，属于简单题．
10.【答案】C;
【解析】解：要想第n次触球者是甲，则第(n−1)次触球的人不能是甲，且第(n−1)次触球的人有12的概率将球传给甲，
∴Pn=12(1−Pn−1)，即Pn=−12Pn−1+12，
设Pn+λ=−12(Pn−1+λ)，则λ=−13，
所以(Pn−13}是以23为首项，以−12为公比的等比数列，所以Pn−13=23×(−12)n−1，所以Pn=23×(−12)n−1+13，
所以P6=516.
故选：C.
要想第n次触球者是甲，则第(n−1)次触球的人不能是甲，且第(n−1)次触球的人有12的概率将球传给甲，有Pn=12(1−Pn−1)，设Pn+λ=−12(Pn−1+λ)，可求得λ，从而有{Pn−13}是以23为首项，以−12为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得Pn，代入可求得P6.
此题主要考查古典概型结合等比数列，属于中档题．
11.【答案】D;
【解析】
此题主要考查条形图的应用，是基础题．
由电商平台2014年−2017年间的每个季度的市场营销费用增速、活跃用户数(单位：千万)及其增速统计图表得：逐年比较，各年的活跃用户数在增加，营销费用增速先减后增；逐季度比较，各季度的活跃用户增速与活跃用户数不呈现线性关系；2015年−2016年该电商平台活跃用户数增速不再增大；2017年该电商平台活跃用户数逐季度增加．
解：由电商平台2014年−2017年间的每个季度的市场营销费用增速、活跃用户数(单位：千万)及其增速统计图表得：
在A中，逐年比较，各年的活跃用户数在增加，营销费用增速先减后增，故A错误；
在B中，逐季度比较，各季度的活跃用户增速与活跃用户数不呈现线性关系，故B错误；
在C中，2015年−2016年该电商平台活跃用户数增速不再增大，故C错误；
在D中，2017年该电商平台活跃用户数逐季度增加，故D正确．
故选D．
12.【答案】C;
【解析】
此题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．
由题意得到前7次都未成功，后3次都成功概率为p3(1−p)7.
解：由题意得到，重复进行10次试验，
其中前7次都未成功，后3次都成功概率为p3(1−p)7，
故选C.
13.【答案】76;
【解析】解：时速不低于60kmℎ的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38，
∴时速不低于60kmℎ的汽车数量为200×0.38=76，
故答案为：76．
先根据“频率=频率组距×组距”求出时速不低于60kmℎ的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解．
该题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．
14.【答案】80;
【解析】
此题主要考查了分层抽样，属于基础题.
解：产品数量之比依次为2:3:5，样本中A型号产品有16件，
故22+3+5=16n，解得n=80.
故答案为80.
15.【答案】38;
【解析】解：一枚硬币连续抛掷3次可能出现的结果为(正，正，正)
(正，反，正)(正，正，反)(反，正，正)(反，反，正)
(反，正，反)(正，反，反)(反，反，反)共8种，
其中恰好有两次反面向上的有(反，反，正)(反，正，反)(正，反，反)共3种，
故所求概率为P=38
故答案为：38
列举可得总的基本事件，找出恰好有两次反面向上的基本事件，由概率公式可得．
该题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．
16.【答案】不正确;
【解析】
此题主要考查了概率的意义.
利用概率的意义判断得结论.
解：因为使用了单个个体中奖的概率去估计总体中奖的概率，
所以不正确.
故答案为不正确.
17.【答案】解：用分层抽样的方法抽取.
具体实施抽取的步骤如下：
①确定每层抽取的人数.因为抽样比为20∶100=1∶5，所以从行政人员中抽取2人，从教师中抽取14人，从后勤人员中抽取4人.
②因为行政人员与后勤人员的人数较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人;
对教师先按00，01，02，⋯，69编号，然后用随机数法抽取14人.
③将在每层抽取的个体汇合在一起就得到了容量为20的样本.;
【解析】
此题主要考查了分层抽样方法，解简单的比例方程，解答该题的关键弄清分层抽样的特点，属于基础题．
根据分层抽样的步骤进行抽取即可．
18.【答案】解：（1）由题意知，大三团队个数占总团队的3001000=310，
则用分层抽样的方法，应从大三抽取20×310=6个，
（2）（i）甲组的平均数x甲=130，x乙=131，
甲组数据的方差为S甲2=104，S乙2=128.8，
选甲队的理由，甲乙两队的平均数相差不大，且S甲2＜S乙2，甲组成绩波动小；
选乙队的理由，x甲＜x乙，且乙队不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大；
（ii）从乙组中不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，记为a，b，c，144分的团队有2个，记为e、，f，
则任取两个的情况为ab，ac，ae，af，bc，be，bf，ce，cf，ef，共10个，其中两个团队都是140分的情况有ab，ac，bc，共3个，
所以所求事件的概率为P=1-310=710;
【解析】
(1)根据分层抽样的定义即可求出，
(2)(i)，分别求出甲乙的平均数和方差，然后，根据平均数和方差甲乙说明即，
(ii)利用列举法，结合古典概率从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，至少有一个团队为144分的概率．
此题主要考查分层抽样，平均数，方差的应用，以及古典概型的概率公式求法，利用列举法是解决古典概率的基本方法．
19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：
产品净重在[100，106]的样品的频率为0.3+0.25+0.15=0.7，
所以产品净重小于100克的频率为0.3，
设样本中大黄鱼的数量为n，由已知得0.3n=360，
解得n=1200．
（2）设净重在[96，98）样本频率为x，
则在[98，100）的样本频率为0.3-x，
样本平均数为：x•97+（0.3-x）•99+0.3×101+0.25×103+0.15×105=101.5-2x，
由已知得101.5-2x≥101.3，即0＜x≤0.1，0＜1200x≤120，
所以在[96，98）的大黄鱼最多为120尾．
（3）由（2）知，产品净重在[96，98）的样品频率为0.1，
由此可估计该渔场中净重小于98克的鱼共有100×0.1=10万尾，
10÷4=2.5，所以所需网箱数为3个
又净重大于等于98克的鱼共有100×0.9=90万尾，
90÷3=30，所以所需网箱数为30个故该养殖户需要准备33个网箱．;
【解析】
(1)由频率分布直方图先求出产品净重在[100,106]的样品的频率，从而得到产品净重小于100克的频率为0.3，设样本中大黄鱼的数量为n，由已知得0.3n=360，由此能求出n．
(2)设净重在[96,98)样本频率为x，则在[98,100)的样本频率为0.3−x，样本平均数为：x⋅97+(0.3−x)⋅99+0.3×101+0.25×103+0.15×105=101.5−2x，由此能求出在[96,98)的大黄鱼最多为120尾．
(3)产品净重在[96,98)的样品频率为0.1，由此可估计该渔场中净重小于98克的鱼共有100×0.1=10万尾，所需网箱数为3个，净重大于等于98克的鱼共有100×0.9=90万尾，所需网箱数为30个，由此能求出该养殖户需要准备网箱的个数．
该题考查频率分布直方图的应用，考查频率、频数间关系、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
20.【答案】证明：（1）证法一：第一层有m个数，分别为x1，x2，……，xm，平均数为x−，
第二层有n个数，分别为y1，y2，……，yn，平均数为y−，
∴z−=x1+x2+···+xm+y1+y2+···+ynm+n=mx−+ny−m+n；
证法二：（1）由平均数定义得x−=1mk=1mxk，y−=1nk=1nyk，
∴k=1mxk+k=1nyk=mx−+ny−，
∴z−=k=1mxk+k=1nykm+n=mx−+ny−m+n．
（2）证法一：k=1m(xk−x−)2=（x1-x−）2+（x2-x−）2+•••+（xm-x−）2
=x12+x22+•••+xm2-2x−（x1+x2+•••+xm）+mx−2
=k=1mxk2-2mx−2+mx−2=k=1mxk2-mx−2；
证法二：∵k=1mxk=mx−，n=knx−=mx−，
∴k=1m(xk−x−)=k=1mxk−k=1mx−=0，
∵k=1m2xkx−=2x−k=1mxk=2mx−2，k=1mx−2=mx−2，
∴k=1m(xk−x−)2=k=1m(xk2−2xkx−+x−2)
=k=1mxk2-k=1m2xkx−+k=1mx−2=k=1mxk2−mx−2．
（3）由方差定义得k=1m(xk−x−)2=ms12，
由（2）知k=1mxk2=ms12+mx−2，
∴k=1m(xk−z−)2=k=1mxk2−k=1m2xkz−+k=1mz−2，
同理，k=1n(yk−z−)2=ns22+n(y−−z−)2，
∴s2=1m+n[k=1m[(xk−z−)2+k=1n(yk−z−)2]]
=1m+n[ms12+m(x−−z−)2+ns22+n(y−−z−)2]，
将z−=mx−+ny−m+n代入化简得：s2=1m+n[ns12+mnm+n（x−-y−）2]．;
【解析】
(1)利用平均数的定义及计算公式直接证明．
(2)利用平均数的含义及计算公式进行证明．
(3)利用平均数、方差的定义及计算公式进行证明．
此题主要考查平均数公式、方差公式的证明，考查平均数的含义及计算公式、方差的定义及计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A1，b1 }，{A1，b2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，
{A2，b1 }，{A2，b2 }，{B，a1 }，{B，a2 }，{B，b1 }，{B，b2}；
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，共4种，
∴中奖的概率为412=13．
不中奖的概率为：1-13=23＞13．
故这种说法不正确．;
【解析】
(Ⅰ)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)在(Ⅰ)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．
该题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含两种情况：
①甲连胜两局，②甲前两局1胜1负，第三局甲胜，
∴在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率：
P=(23)2+C21(13)(23)(23)=2027．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，
由（Ⅰ）知P（X=2）=2027，
∴P（X＜2）=1-P（X=2）=1-2027=727．;
【解析】
(Ⅰ)甲获得比赛胜利包含两种情况：①甲连胜两局，②甲前两局1胜1负，第三局甲胜，由此能求出在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率．
(Ⅱ)由已知得X的可能取值为0，1，2，求出P(X=2)=2027，由此能求出P(X<2)．
该题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
人教B版（2019）必修第二册《第五章 统计与概率》2022年单元测试卷（1）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是( )
32211834297864540732524206443812234356773578905642
84421253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
A. 623 B. 328 C. 457 D. 072
2.（5分）一个总体的60个个体的编号分别为01，02，03，…，60，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表的倒数第8行(表中为随机数表的最后10行)第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的最后一个个体的号码是( )
60 36 59 46 53 35 07 53 39 49 42 61 42 92 97 01 91 82 83 16 98 95 37 32 31
83 79 94 24 02 56 62 33 44 42 34 99 44 13 74 70 07 11 47 36 09 95 81 80 65
32 96 00 74 05 36 40 98 32 32 99 38 54 16 00 11 13 30 75 86 15 91 70 62 53
19 32 25 38 45 57 62 05 26 05 66 49 76 86 46 78 13 85 65 59 19 64 09 94 13
11 22 09 47 47 07 39 93 74 08 48 50 92 39 29 27 48 24 54 76 85 24 43 51 59
31 75 15 72 60 68 98 00 53 39 15 47 04 83 55 88 65 12 25 96 03 15 21 52 21
88 49 29 93 82 14 45 40 45 04 20 09 49 89 77 74 84 39 34 13 22 10 97 85 08
30 93 44 77 41 07 48 18 38 28 73 78 80 65 33 28 59 72 04 05 94 20 52 03 80
22 88 84 88 93 27 49 99 87 48 60 53 04 51 28 74 02 28 46 17 82 03 71 02 68
78 21 21 69 93 35 90 29 13 86 44 37 21 54 86 65 74 11 40 14 87 48 13 72 80
A. 11 B. 13 C. 16 D. 54
3.（5分）某市准备建一所体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查.已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是()
A. 200 B. 250 C. 280 D. 300
4.（5分）甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是()
A. 甲校女生比乙校女生多 B. 乙校男生比甲校男生少
C. 乙校女生比甲校男生少 D. 甲校女生比乙校男生少
5.（5分）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球
C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球
6.（5分）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )
A. 112 B. 19 C. 16 D. 14
7.（5分）将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知( )
A. 甲队得分的众数是3
B. 甲、乙两队得分在[30,39)分数段频率相等
C. 甲、乙两队得分的极差相等
D. 乙队得分的中位数是38.5
8.（5分）如图所示是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%.则下列叙述不正确的是( )
A. 2018年3月的销售任务是400台
B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台
C. 2018年第一季度总销售量为830台
D. 2018年月销售量最大的是6月份
9.（5分）样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A. 105 B. 305 C. 2 D. 2
10.（5分）某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为Pn，则P6=()
A. 316 B. 14 C. 516 D. 38
11.（5分）某电商平台统计了2014年−2017年间的每个季度的市场营销费用增速、活跃用户数(单位：千万)及其增速，并制成如图统计图表：
下列选项中，说法与实际情况最相符的是( )
A. 逐年比较，各年的活跃用户数与营销费用增速均在增加
B. 逐季度比较，各季度的活跃用户增速与活跃用户数呈线性关系
C. 2015年−2016年该电商平台活跃用户数增速仍增大
D. 2017年该电商平台活跃用户数逐季度增加
12.（5分）每次试验的成功率为p(0
C. p3(1−p)7 D. p7(1−p)3
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60kmℎ的汽车数量为______辆．
14.（5分）某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n=__________.
15.（5分）一枚硬币连续抛掷三次，则两次正面向上的概率为______．
16.（5分）某人买了100张彩票，结果有5张中奖，则本期彩票中奖的概率一定是0.05.这种说法________.(填写“正确”或“不正确”)
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）某学校有在编人员100人，其中行政人员10人，教师70人，后勤人员20人，校长为了了解他们对学校改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤.
18.（12分）全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台．全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队．
(1)应从大三抽取多少个团队？
(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲、乙两组的分数如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．
(i)从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？
(ii)从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率．
19.（12分）宁德被誉为“中国大黄鱼之乡”，海域面积4.46万平方公里，水产资源极为丰富．“宁德大黄鱼”作为福建宁德地理标志产品，同时也是宁德最具区域特色的海水养殖品种，全国80%以上的大黄鱼产自宁德，年产值超过60亿元．现有一养殖户为了解大黄鱼的生长状况，对其渔场中100万尾鱼的净重(单位：克)进行抽样检测，将抽样所得数据绘制成频率分布直方图如图．其中产品净重的范围是[96,106]，已知样本中产品净重小于100克的有360尾．
(1)计算样本中大黄鱼的数量；
(2)假设样本平均值不低于101.3克的渔场为A级渔场，否则为B级渔场．那么要使得该渔场为A级渔场，则样本中净重在[96,98)的大黄鱼最多有几尾？
(3)为提升养殖效果，该养殖户进行低沉性配合饲料养殖，净重小于98克的每4万尾合用一个网箱，大于等于98克的每3万尾合用一个网箱．根据(2)中所求的最大值，估计该养殖户需要准备多少个网箱？
20.（12分）某样本由m+n个数组成，平均数为− z，方差为s2，这个样本可分为两层：第一层有m个数，分别为x1，x2，……，xm，平均数为− x，方差为s12：第二层有n个数，分别为y1，y2，……，yn，平均数为− y，方差为s22.
(1)证明：− z=m− x+n− y m+n；
(2)证明：k=1m(xk−− x)2=∑k=1mxk2−m− x2；
(3)证明：s2=1 m+n[ns12+mn m+n(− x−− y)2].
21.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
22.（12分）甲，乙二人进行乒乓球比赛，比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．已知每局比赛甲胜乙的概率是23，假设每局比赛结果相互独立．
(I)求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；
(II)设随机变量X为甲在一场比赛中获胜的局数，求P(X<2)．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查随机数表法简单的随机抽样，是基础题．注意从表中第5行第6列开始向右读取数据的时候，是三个数字为一组，得到的数不可超过编号的最大数，也不可重复.
解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前8个编号分别是：253，313，457，007，328，623，072，
则得到的第7个样本编号是072.
故选D.
2.【答案】C;
【解析】解：从随机数表的倒数第8行第11列开始向右读取，依次抽取的编号为36，40，32，38，54，16，
所以抽取的最后一个个体的号码是16，
故选：C.
利用随机数法的定义求解．
此题主要考查了简单随机抽样的随机数法，是基础题．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了分层抽样，属中档题．
根据分层抽样是按比例抽样列式可得．解：设这次抽样调查抽取的总人数为n，840:700:560=6:5:4，则有1005=n6+5+4，解得n=300.
4.【答案】D;
【解析】解：甲校男生和女生的人数均为750，乙校男生人数为400，女生人数为600.
所以甲校女生比乙校女生多，故A正确；
乙校男生比甲校男生少，故B正确；
乙校女生比甲校男生少，故C正确；
甲校女生比乙校男生多，故D错误．
故选：D.
根据统计图表可得答案．
此题主要考查命题真假的判断，考查统计图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，
在A中，至少有一个黑球与都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，至少有一个黑球与至少有一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故C正确；
在D中，至少有一个黑球与都是白球是对立事件，故D错误．
故选：C.
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
此题主要考查互斥而不对立的事件的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．
将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y)，共有6×6=36个基本事件，利用列举法求出点数之和为大于8的偶数有4种，由此能求出出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率．
解：将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y)，
则共有6×6=36个基本事件，
其中点数之和为大于8的偶数有：(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)共4种，
则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为p=436=19．
故选：B．
7.【答案】D;
【解析】解：甲得分的众数为33，35，故A错误
甲、乙两队得分在[30,39)分数段频数分别为甲是4，乙是3，两者的频率不相等，故B错误，
甲的极差是51−24=27.乙的极差是52−22=30，两者不相等，故C错误，
乙队得分的中位数是34+432=772=38.5，故D正确，
故选：D．
根据众数，频率，极差以及中位数的定义分别进行计算判断即可．
这道题主要考查茎叶图的应用，结合众数，频率，极差以及中位数的定义分别进行计算是解决本题的关键．
8.【答案】D;
【解析】
由频率分布折线图、密度曲线逐一检验即可得解．
该题考查频率分布折线图、密度曲线，属简单题．
解：由图可知：①选项A正确，
②2018年月销售任务的平均值为100+200+3×300+3×400+500+700+800+100012<600，故选项B正确，
③2018年第一季度总销售量为300×0.5+200×1+400×1.2=830，故选项C正确，
④2018年月销售量最大的是5月份，为800台，故选项D不正确．
综合①②③④得：选项D不正确，
故选：D．
9.【答案】D;
【解析】解：由已知0，1，2，3，m的平均值为1，即有(0+1+2+3+m)÷5=1，解得m=−1，
根据方差计算公式得s2=15[(−1−1)2+(0−1)2+(1−1)2+(2−1)2+(3−1)2]=15×10=2，
故选：D.
根据平均数公式先求出m，再求出方差．
此题主要考查了样本数据平均数、方差的计算，属于简单题．
10.【答案】C;
【解析】解：要想第n次触球者是甲，则第(n−1)次触球的人不能是甲，且第(n−1)次触球的人有12的概率将球传给甲，
∴Pn=12(1−Pn−1)，即Pn=−12Pn−1+12，
设Pn+λ=−12(Pn−1+λ)，则λ=−13，
所以(Pn−13}是以23为首项，以−12为公比的等比数列，所以Pn−13=23×(−12)n−1，所以Pn=23×(−12)n−1+13，
所以P6=516.
故选：C.
要想第n次触球者是甲，则第(n−1)次触球的人不能是甲，且第(n−1)次触球的人有12的概率将球传给甲，有Pn=12(1−Pn−1)，设Pn+λ=−12(Pn−1+λ)，可求得λ，从而有{Pn−13}是以23为首项，以−12为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得Pn，代入可求得P6.
此题主要考查古典概型结合等比数列，属于中档题．
11.【答案】D;
【解析】
此题主要考查条形图的应用，是基础题．
由电商平台2014年−2017年间的每个季度的市场营销费用增速、活跃用户数(单位：千万)及其增速统计图表得：逐年比较，各年的活跃用户数在增加，营销费用增速先减后增；逐季度比较，各季度的活跃用户增速与活跃用户数不呈现线性关系；2015年−2016年该电商平台活跃用户数增速不再增大；2017年该电商平台活跃用户数逐季度增加．
解：由电商平台2014年−2017年间的每个季度的市场营销费用增速、活跃用户数(单位：千万)及其增速统计图表得：
在A中，逐年比较，各年的活跃用户数在增加，营销费用增速先减后增，故A错误；
在B中，逐季度比较，各季度的活跃用户增速与活跃用户数不呈现线性关系，故B错误；
在C中，2015年−2016年该电商平台活跃用户数增速不再增大，故C错误；
在D中，2017年该电商平台活跃用户数逐季度增加，故D正确．
故选D．
12.【答案】C;
【解析】
此题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．
由题意得到前7次都未成功，后3次都成功概率为p3(1−p)7.
解：由题意得到，重复进行10次试验，
其中前7次都未成功，后3次都成功概率为p3(1−p)7，
故选C.
13.【答案】76;
【解析】解：时速不低于60kmℎ的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38，
∴时速不低于60kmℎ的汽车数量为200×0.38=76，
故答案为：76．
先根据“频率=频率组距×组距”求出时速不低于60kmℎ的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解．
该题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．
14.【答案】80;
【解析】
此题主要考查了分层抽样，属于基础题.
解：产品数量之比依次为2:3:5，样本中A型号产品有16件，
故22+3+5=16n，解得n=80.
故答案为80.
15.【答案】38;
【解析】解：一枚硬币连续抛掷3次可能出现的结果为(正，正，正)
(正，反，正)(正，正，反)(反，正，正)(反，反，正)
(反，正，反)(正，反，反)(反，反，反)共8种，
其中恰好有两次反面向上的有(反，反，正)(反，正，反)(正，反，反)共3种，
故所求概率为P=38
故答案为：38
列举可得总的基本事件，找出恰好有两次反面向上的基本事件，由概率公式可得．
该题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．
16.【答案】不正确;
【解析】
此题主要考查了概率的意义.
利用概率的意义判断得结论.
解：因为使用了单个个体中奖的概率去估计总体中奖的概率，
所以不正确.
故答案为不正确.
17.【答案】解：用分层抽样的方法抽取.
具体实施抽取的步骤如下：
①确定每层抽取的人数.因为抽样比为20∶100=1∶5，所以从行政人员中抽取2人，从教师中抽取14人，从后勤人员中抽取4人.
②因为行政人员与后勤人员的人数较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人;
对教师先按00，01，02，⋯，69编号，然后用随机数法抽取14人.
③将在每层抽取的个体汇合在一起就得到了容量为20的样本.;
【解析】
此题主要考查了分层抽样方法，解简单的比例方程，解答该题的关键弄清分层抽样的特点，属于基础题．
根据分层抽样的步骤进行抽取即可．
18.【答案】解：（1）由题意知，大三团队个数占总团队的3001000=310，
则用分层抽样的方法，应从大三抽取20×310=6个，
（2）（i）甲组的平均数x甲=130，x乙=131，
甲组数据的方差为S甲2=104，S乙2=128.8，
选甲队的理由，甲乙两队的平均数相差不大，且S甲2＜S乙2，甲组成绩波动小；
选乙队的理由，x甲＜x乙，且乙队不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大；
（ii）从乙组中不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，记为a，b，c，144分的团队有2个，记为e、，f，
则任取两个的情况为ab，ac，ae，af，bc，be，bf，ce，cf，ef，共10个，其中两个团队都是140分的情况有ab，ac，bc，共3个，
所以所求事件的概率为P=1-310=710;
【解析】
(1)根据分层抽样的定义即可求出，
(2)(i)，分别求出甲乙的平均数和方差，然后，根据平均数和方差甲乙说明即，
(ii)利用列举法，结合古典概率从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，至少有一个团队为144分的概率．
此题主要考查分层抽样，平均数，方差的应用，以及古典概型的概率公式求法，利用列举法是解决古典概率的基本方法．
19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：
产品净重在[100，106]的样品的频率为0.3+0.25+0.15=0.7，
所以产品净重小于100克的频率为0.3，
设样本中大黄鱼的数量为n，由已知得0.3n=360，
解得n=1200．
（2）设净重在[96，98）样本频率为x，
则在[98，100）的样本频率为0.3-x，
样本平均数为：x•97+（0.3-x）•99+0.3×101+0.25×103+0.15×105=101.5-2x，
由已知得101.5-2x≥101.3，即0＜x≤0.1，0＜1200x≤120，
所以在[96，98）的大黄鱼最多为120尾．
（3）由（2）知，产品净重在[96，98）的样品频率为0.1，
由此可估计该渔场中净重小于98克的鱼共有100×0.1=10万尾，
10÷4=2.5，所以所需网箱数为3个
又净重大于等于98克的鱼共有100×0.9=90万尾，
90÷3=30，所以所需网箱数为30个故该养殖户需要准备33个网箱．;
【解析】
(1)由频率分布直方图先求出产品净重在[100,106]的样品的频率，从而得到产品净重小于100克的频率为0.3，设样本中大黄鱼的数量为n，由已知得0.3n=360，由此能求出n．
(2)设净重在[96,98)样本频率为x，则在[98,100)的样本频率为0.3−x，样本平均数为：x⋅97+(0.3−x)⋅99+0.3×101+0.25×103+0.15×105=101.5−2x，由此能求出在[96,98)的大黄鱼最多为120尾．
(3)产品净重在[96,98)的样品频率为0.1，由此可估计该渔场中净重小于98克的鱼共有100×0.1=10万尾，所需网箱数为3个，净重大于等于98克的鱼共有100×0.9=90万尾，所需网箱数为30个，由此能求出该养殖户需要准备网箱的个数．
该题考查频率分布直方图的应用，考查频率、频数间关系、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
20.【答案】证明：（1）证法一：第一层有m个数，分别为x1，x2，……，xm，平均数为x−，
第二层有n个数，分别为y1，y2，……，yn，平均数为y−，
∴z−=x1+x2+···+xm+y1+y2+···+ynm+n=mx−+ny−m+n；
证法二：（1）由平均数定义得x−=1mk=1mxk，y−=1nk=1nyk，
∴k=1mxk+k=1nyk=mx−+ny−，
∴z−=k=1mxk+k=1nykm+n=mx−+ny−m+n．
（2）证法一：k=1m(xk−x−)2=（x1-x−）2+（x2-x−）2+•••+（xm-x−）2
=x12+x22+•••+xm2-2x−（x1+x2+•••+xm）+mx−2
=k=1mxk2-2mx−2+mx−2=k=1mxk2-mx−2；
证法二：∵k=1mxk=mx−，n=knx−=mx−，
∴k=1m(xk−x−)=k=1mxk−k=1mx−=0，
∵k=1m2xkx−=2x−k=1mxk=2mx−2，k=1mx−2=mx−2，
∴k=1m(xk−x−)2=k=1m(xk2−2xkx−+x−2)
=k=1mxk2-k=1m2xkx−+k=1mx−2=k=1mxk2−mx−2．
（3）由方差定义得k=1m(xk−x−)2=ms12，
由（2）知k=1mxk2=ms12+mx−2，
∴k=1m(xk−z−)2=k=1mxk2−k=1m2xkz−+k=1mz−2，
同理，k=1n(yk−z−)2=ns22+n(y−−z−)2，
∴s2=1m+n[k=1m[(xk−z−)2+k=1n(yk−z−)2]]
=1m+n[ms12+m(x−−z−)2+ns22+n(y−−z−)2]，
将z−=mx−+ny−m+n代入化简得：s2=1m+n[ns12+mnm+n（x−-y−）2]．;
【解析】
(1)利用平均数的定义及计算公式直接证明．
(2)利用平均数的含义及计算公式进行证明．
(3)利用平均数、方差的定义及计算公式进行证明．
此题主要考查平均数公式、方差公式的证明，考查平均数的含义及计算公式、方差的定义及计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A1，b1 }，{A1，b2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，
{A2，b1 }，{A2，b2 }，{B，a1 }，{B，a2 }，{B，b1 }，{B，b2}；
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，共4种，
∴中奖的概率为412=13．
不中奖的概率为：1-13=23＞13．
故这种说法不正确．;
【解析】
(Ⅰ)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)在(Ⅰ)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．
该题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含两种情况：
①甲连胜两局，②甲前两局1胜1负，第三局甲胜，
∴在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率：
P=(23)2+C21(13)(23)(23)=2027．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，
由（Ⅰ）知P（X=2）=2027，
∴P（X＜2）=1-P（X=2）=1-2027=727．;
【解析】
(Ⅰ)甲获得比赛胜利包含两种情况：①甲连胜两局，②甲前两局1胜1负，第三局甲胜，由此能求出在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率．
(Ⅱ)由已知得X的可能取值为0，1，2，求出P(X=2)=2027，由此能求出P(X<2)．
该题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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