人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第十章 复数》单元测试5（含解析）

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人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》单元测试5

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知i是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=(    )
A. -3+i B. -1+3i C. -3+3i D. -1+i
2.（5分）若复数2-ai1+i(其中i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a=(    )
A. -2i B. 0 C. -2 D. 2
3.（5分）复数z满足2z=-1-i(其中i是虚数单位)，则z=(    )
A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
4.（5分）已知复数z满足i.z=2+i，则z的共轭复数是(    )
A. -1-2i B. -1+2i C. 1-2i D. 1+2i
5.（5分）设复数z满足z(2-i)=1+i(i为虚数单位)，则z的共轭的虚部为(    ) 

A. 35 B. -35 C. 35i D. -35i
6.（5分）已知复数z满足(3+3i)z=3i，则z=(    )
A. 32-32i B. 34-34i C. 32+32i D. 34+34i
7.（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若2-ia+i为纯虚数，则复数z=4a+2i的模等于( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 11
8.（5分）已知复数z=2i31+i，则z=(    )
A. -1-i B. 1-i C. 1+3i2 D. 1+3i
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设复数z满足z+1z=i，则下列说法错误的是( )
A. z为纯虚数 B. z的虚部为-12i
C. 在复平面内，z对应的点位于第二象限 D. |z|=22
10.（5分）若复数z=3-i，则( )
A. |z|=2 B. |z|=4
C. z的共轭复数- z=3+i D. z2=4-23i
11.（5分）已知复数z满足(1-i)z=2i(i是虚数单位)，则下列关于复数z的结论正确的是( )
A. |z|=2
B. 复数z的共轭复数为- z=-1-i
C. 复平面内表示复数z的点位于第三象限
D. 复数z是方程x2+2x+2=0的一个根
12.（5分）已知i为虚数单位，复数z=a+bi(a,b∈R)，则下列选项中正确的是()
A. z⋅z-=|z|2
B. z+z-∈R
C. 若a=2且z(1+i)为纯虚数，则b=-1
D. 若b≠0，且z+2z∈R，则|z|=2
13.（5分）已知复数z=2-1+i，则()
A. |z|=2 B. z的虚部为-1
C. z2为纯虚数 D. z-在复平面内对应的点位于第一象限
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知复数z1=3+4i，z2=1+i，则z1-z2= ______ ．
15.（5分）已知b∈R，若(2+bi)(1-i)为纯虚数，则|1+bi|=______．
16.（5分）已知z=11+i，则øverlinez=______，|z|=______．
17.（5分）已知复数z满足|z|=1，则|z-2|的最大值为 ______.
18.（5分）复数z=（2-i）i的虚部是____．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）复数z1=2+i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1z2的虚部为______；
20.（12分）已知m∈R，复数z=m-2m-1+(m2+2m-3)i，当m为何值时． 
(1)z∈R； 
(2)z是纯虚数；  
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
21.（12分）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z.zi+2=2z，求复数z.
22.（12分）已知i是虚数单位，复数z=(m2-m)-(m2-1)i，m∈R. 
(Ⅰ)当复数z为实数时，求m的值； 
(Ⅱ)当复数z纯虚数时，求m的值．
23.（12分）已知复数z=a1+2i+i，i为虚数单位，a∈R.
(1)若z∈R，求z；
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围.

答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：(-1+i)(2-i)=-2+i+2i+1=-1+3i，  
故选B． 
直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．  
这道题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

2.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 
 
解：复数2-ai1+i=(2-ai)(1-i)(1+i)(1-i)=2-a2-2+a2i为纯虚数， 
∴2-a2=0，-2+a2≠0， 
解得a=2． 
故选D． 
 


3.【答案】C;
【解析】解：由2z=-1-i，得z=2-1-i=2(-1+i)(-1-i)(-1+i)=-1+i， 
故选：C． 
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 
该题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．

4.【答案】D;
【解析】 
该题考查了复数的代数运算及共轭复数，属基础题． 
根据复数的代数运算及共轭复数的概念可求得． 
 
解：因为i⋅z=2+i， 
∴z=2+ii=2i+1 
=2ii2+1 
=1-2i， 
∴z的共轭复数- z=1+2i， 
故选：D． 


5.【答案】B;
【解析】 
该题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 
 
解：复数z满足z(2-i)=1+i(i为虚数单位)， 
∴z(2-i)(2+i)=(1+i)(2+i)， 
∴5z=1+3i，z=15+35i， 
则z的共轭的虚部为-35． 
故选：B． 


6.【答案】D;
【解析】解：z=3i3+3i=3i(3-3i)12=3i+34=34+34i．  
故选D． 
将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式．  
本题是基础题，注意变形后的化简：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi的形式．

7.【答案】C;
【解析】 
利用复数代数形式的乘除运算化简2-ia+i，由实部为0虚部不为0求得a，代入z，再由复数模的计算公式求解． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 
 
解：由2-ia+i=(2-i)(a-i)(a+i)(a-i)=2a-1a2+1-a+2a2+1i为纯虚数， 
得2a-1=0且a+2≠0，即a=12. 
∴z=4a+2i=2+2i，则|z|=4+2=6. 
故选：C. 


8.【答案】A;
【解析】解：∵复数z=2i31+i=-2i1+i=-1-i， 
故选：A． 
直接利用复数代数形式的乘除运算化简． 
该题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

9.【答案】ABC;
【解析】 
此题主要考查复数的概念，复数的四则运算，复数的几何意义及复数的模，属于基础题. 
先化简得z=-12-12i，再结合选项依次判断即可. 
 
解：由z+1z=i得，z+1=zi， 
即z=-11-i=-1(1+i)1-i1+i=-1-i2=-12-12i， 
则选项A错; 
z的虚部为-12，则B项错误; 
在复平面内，z对应的点为-12,-12，它对应的是第三象限，故C项错误; 
|z|=-122+-122=22，故D项正确. 
故选ABC.

10.【答案】AC;
【解析】解：因为复数z=3-i， 
所以|z|=(3)2+(-1)2=2，故选项A正确，选项B错误； 
z的共轭复数- z=3+i，故选项C正确； 
z2=(3-i)2=(3)2-23i+i2=2-23i，故选项D错误． 
故选：AC. 
利用复数模的定义即可判断选项A，B，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法则求出z2，即可判断选项D. 
此题主要考查了复数基本概念的理解和应用，主要考查了共轭复数的定义，复数模的求解以及复数的运算，属于基础题．

11.【答案】ABD;
【解析】解：由(1-i)z=2i，得z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2+2i1-i2=-2+2i2=-1+i. 
∴|z|=(-1)2+12=2，故A正确； 
- z=-1-i，故B正确； 
平面内表示复数z的点的坐标为(-1,1)，位于第二象限，故C错误； 
∵(-1+i)2+2(-1+i)+2=-2i-2+2i+2=0， 
∴复数z是方程x2+2x+2=0的一个根，故D正确． 
故选：ABD. 
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

12.【答案】ABD;
【解析】解：A，∵z=a+bi(a,b∈R)，∴z-=a-bi，|z|2=a2+b2， 
∵z⋅z-=a2+b2，∴z⋅z-=|z|2，∴A正确， 
B，∵z+z-=2a∈R，∴B正确， 
C，若a=2，则z=2+bi， 
∵z(1+i)=(2+bi)(1+i)=(2-b)+(2+b)i为纯虚数， 
∴b=2，∴C错误， 
D，∵z+2z=(a+2aa2+b2)+(b-2ba2+b2)i∈R， 
∴b-2ba2+b2=0，∵b≠0，∴a2+b2=2， 
∴|z|=a2+b2=2，∴D正确， 
故选：ABD. 
利用复数的四则运算，复数模长的计算，复数的有关定义判断即可． 
此题主要考查复数的四则运算，复数模长的计算，复数的有关定义，属于中档题．

13.【答案】ABC;
【解析】解：z=2-1+i=2(-1-i)(-1-i)(-1+i)=-1-i， 
对于A，|z|=(-1)2+(-1)2=2，故A正确， 
对于B，z的虚部为-1，故B正确， 
对于C，z2=(-1-i)2=2i，故C正确， 
对于D，z-=-1+i，z-在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误． 
故选：ABC. 
根据已知条件，结合复数的运算法则，先对z化简，再结合复数模公式，虚部和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可依次求解． 
此题主要考查合复数模公式，虚部和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．

14.【答案】2+3i;
【解析】解：z1-z2=3+4i-(1+i)=2+3i，  
故答案为：2+3i． 
利用复数的运算法则即可得出．  
该题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15.【答案】5;
【解析】解：∵(2+bi)(1-i)=(2+b)+(b-2)i为纯虚数， 
∴2+b=0b-2≠0，即b=-2． 
∴|1+bi|=|1-2i|=5． 
故答案为：5． 
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得b值，则|1+bi|可求． 
此题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．

16.【答案】12+12i；22;略;
【解析】 
该题考查了复数的除法运算，复数的模以及共轭复数，属于基础题． 
根据复数的除法运算求出复数z，即可求出结果． 
解：z=11+i=1-i1+i1-i=1-i2=12-12i， 
所以øverlinez=12+12i，|z|=14+14=22， 
故答案为12+12i；22．

17.【答案】3;
【解析】解：∵复数z满足|z|=1，设z=a+bi， 
∴a2+b2=1，∴-1⩽a⩽1，-1⩽b⩽1， 
∴|z-2|=(a-2)2+b2=a2+b2-4a+4=5-4a∈[1,3]. 
∴|z-2|的最大值为3. 
故答案为：3. 
z=a+bi，则a2+b2=1，-1⩽a⩽1，-1⩽b⩽1，从而|z-2|=(a-2)2+b2=a2+b2-4a+4=5-4a，由此能求出结果． 
此题主要考查复数的模的取值范围的求法，考查复数的模的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】2;
【解析】解：∵复数z=（2-i）i=1+2i， 
∴它的虚部为2． 
故答案为2．

19.【答案】-45;
【解析】解：∵z1=2+i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称， 
∴z2=-2+i，则z1z2=2+i-2+i=(2+i)(-2-i)(-2+i)(-2-i)=-35-45i． 
∴z1z2的虚部为-45． 
故答案为：-45． 
由已知求得z2=-2+i，代入z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

20.【答案】解：(1)∵z∈R 
∴m2+2m-3=0且m-1≠0， 
∴m=-3， 
∴当m=-3时，z∈R． 
(2)∵z是纯虚数 
∴{m-2m-1=0m2+2m-3≠0 
解得：m=2 
∴当m=2时，z是纯虚数．  
(3)∵z对应的点位于复平面的第二象限 
∴{m-2m-10 
解得：1