北师大版（2019） 高中数学 选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 章末测评卷（含解析）

这是一份北师大版（2019） 高中数学 选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 章末测评卷（含解析），共9页。

《第二章 圆锥曲线》章末测评卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(　　)
A.(-3,0) B.(-4,0)
C.(-10,0) D.(-5,0)
2.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(　　)
A.2 B.22
C.4 D.42
3.已知0<θ<π4,则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的(　　)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
4.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0 A.1 B.2
C.32 D.3
5.设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　)
A.52 B.6
C.5 D.2
6.已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12
C.9 D.6
7.如图所示,双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)

A.6 B.3
C.2 D.5
8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是(　　)
A.3 B.2
C.233 D.2
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率可以是(　　)
A.32 B.23
C.12 D.2
10.已知C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是(　　)
A.若m=0,n>0,则C是两条直线
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx
11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233,右顶点为A,以点A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则有(　　)
A.渐近线方程为y=±3x
B.渐近线方程为y=±33x
C.∠MAN=60°
D.∠MAN=120°
12.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且MF1·MF2=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=π3,则有(　　)
A.e2e1=2 B.e1·e2=32
C.e12+e22=52 D.e22−e12=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.请写出离心率为53的一个双曲线的标准方程:　　　　　　　.
14.过点M(1,1)作斜率为-13的直线l,l与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若AM=MB,则椭圆的离心率为　　　　.
15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽为　　　　　米.

16.(2021全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7,求这两条曲线的标准方程.




18.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;


(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?




19.(12分)在①|PF|=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,|PF|=2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答.
问题:已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,y0)在抛物线C上,且　　　　　.
(1)求抛物线C的标准方程;




(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积.




20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;




(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.





21.(12分)(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;




(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.




22.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;




(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.










参考答案
一、单项选择题
1.D　因为圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.
由题意,知b=4,所以a=b2+c2=5,即椭圆方程为x225+y216=1,所以椭圆的左顶点为(-5,0).
2.D　3.D　4.B
5.A　(方法一)由椭圆方程可得a=5,b=1,
故椭圆的上顶点为B(0,1).
设P(x,y),则有x25+y2=1,故x2=5(1-y2),
由椭圆的性质可得-1≤y≤1.
则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4y2+y2+6=-4y+142+254.
因为-1≤y≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52.
(方法二)由题意可设P(5cos θ,sin θ)(θ∈R),又B(0,1),则|PB|2=5cos2θ+(sin θ-1)2=5cos2θ+sin2θ-2sin θ+1=-4sin2θ-2sin θ+6=-4sin θ+142+254,
于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,
此时|PB|2=254,故|PB|的最大值为52.
6.C　由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,
则|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|2=3,
则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.
故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.
7.B　8.A
二、多项选择题
9.AC
10.AD　已知C:mx2+ny2=1,
若m=0,n>0,则C是两条直线:y=nn和y=-nn,所以A项正确;
若m=n>0,则C是圆,其半径为nn,所以B项错误;
若m>n>0,则C是椭圆,因为0<1m<1n,所以其焦点在y轴上,所以C项错误;
若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx,所以D项正确.
故选AD.
11.BC　如图,双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,离心率为ca=233,

则c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=43,
则b2a2=13,ba=±33,
故渐近线方程为y=±33x,B项正确.
不妨设圆A与y=33x相交,取MN的中点P,
连接AP,则点A到其中一条渐近线的距离d=|AP|=abc,
在△PAN中,cos∠PAN=|AP||AN|=abcb=ac,
∴cos∠MAN=cos 2∠PAN=2cos2∠PAN-1=2×a2c2-1=12,则∠MAN=60°,C项正确.
12.BD　因为MF1·MF2=0且|MF1|=|MF2|,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,
设椭圆的半焦距为c,则c=b=22a,所以e1=22.
在焦点三角形PF1F2中,设|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a',则x2+y2-xy=4c2,x+y=22c,|x-y|=2a',故xy=43c2,
从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=8c23,
所以(a')2=2c23即e2=62,故e2e1=3,e2e1=32,e12+e22=2,e22−e12=1.故选BD.
三、填空题
13.x29−y216=1(答案不唯一)
14.63　设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AM=MB,
即M为AB中点,则x1+x2=2,y1+y2=2,
y1-y2x1-x2=-13,由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1两式相减,
可得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,又x1+x2=2,y1+y2=2,代入得2a2+2b2-13=0,
∴a2=3b2,则e=ca=1-(ba) 2=63.
15.26　以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-2,-2)代入x2=-2py,解得p=1,
∴x2=-2y.水位下降1 m后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x0,-3),则有x02=6,解得x0=±6,∴水面宽为26 m.
16.8　设坐标原点为O,由题意得a=4,b=2,c=23,
则|PQ|=|F1F2|=43.
∵|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,
∴QF1⊥QF2,即四边形PF1QF2为矩形.
∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,
∴|QF1|·|QF2|=12[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8,
即四边形PF1QF2的面积为8.
四、解答题
17.解 设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),
双曲线的方程为x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0),由题知半焦距c=13,
由已知,得a1-a2=4,ca1∶ca2=3∶7,
解得a1=7,a2=3,所以b12=36,b22=4,
所以两条曲线的方程分别为x249+y236=1,x29−y24=1.
18.解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离,
知点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴所求轨迹的方程为x2=4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在,
又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,|PQ|=42.
当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有x12=4y1,x22=4y2,两式作差得x12−x22=4(y1-y2),即得k=x1+x24=t2,则直线l2的方程为y-2=t2(x-t),与x2=4y联立,得x2-2tx+2t2-8=0.
∴x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,
|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+t24[4t2-4(2t2-8)]=(8-t2)(4+t2)
=-(t2-2)2+36≤6,
当且仅当t2=2,即t=±2时,等号成立.
即|PQ|的最大值为6.
19.解(1)若选①:
由抛物线的性质可得|PF|=x0+p2,
因为|PF|=x0+1,所以x0+p2=x0+1,解得p=2.
故抛物线C的标准方程为y2=4x.
若选②:
因为y0=2x0=2,所以y0=2,x0=1.
因为点P(x0,y0)在抛物线C上,所以y02=2px0,
即2p=4,解得p=2,
故抛物线C的标准方程为y2=4x.
若选③:
因为PF⊥x轴,所以|PF|=p2+p2=p,
因为|PF|=2,所以p=2.
故抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)可知F(1,0).
联立x-y-2=0,y2=4x,
整理得y2-4y-8=0,
则y1+y2=4,y1y2=-8,
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+32=43,
故|AB|=1+1k2|y1-y2|=2×43=46,
因为点F到直线l的距离d=|1-2|1+1=22,
所以△ABF的面积为12|AB|·d=12×46×22=23.
20.(1)解 由题意,得e=a2-b2a=22,①
又点(2,2)在椭圆C上,所以代入椭圆方程,得4a2+2b2=1,②
联立①②,可解得a2=8,b2=4.
所以椭圆C的方程为x28+y24=1.
(2)证明 由题意知,直线l的斜率存在且不为0.
设直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+m代入x28+y24=1,
得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
故xM=x1+x22=-2km2k2+1,yM=kxM+m=m2k2+1.
所以直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,所以kOM·k=-12.
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值,该值为-12.
21.解(1)点F0,p2到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.
(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=14x2,则y'=12x.
设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x12x-x124,直线lPB:y=x22x-x224,从而得到Px1+x22,x1x24,设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,
∴Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,
∴P(2k,-b).
∵|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·16k2+16b,点P到直线AB的距离d=|2k2+2b|k2+1,
∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32,①
又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,
故k2=1-(b-4)24,代入①得,S△PAB=4-b2+12b-15432,
而yP=-b∈[-5,-3],
∴当b=5时,(S△PAB)max=205.
22.解(1)∵|MF1|-|MF2|=2,且F1(-17,0),F2(17,0),
∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足2a=2,c=17,c2=a2+b2,
∴a2=1,b2=16,c2=17.
∴C的方程为x2-y216=1(x≥1).
(2)设T12,m,显然直线AB的斜率与直线PQ的斜率都存在.

设直线AB的方程为y=k1x-12+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k1x-12+m,16x2-y2=16,
得16x2-k12x2-x+14+2k1mx-12+m2=16,
即(16-k12)x2+(k12-2k1m)x-14k12+k1m-m2-16=0.
∴|TA|·|TB|=(1+k12)x1-12x2-12=(1+k12)x1x2-12(x1+x2)+14=(1+k12)·k1m-14k12-m2-1616-k12−12·2k1m-k1216-k12+14=(1+k12)·-m2-1216-k12=(1+k12)·m2+12k12-16.
设kPQ=k2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k22)·m2+12k22-16.
∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
∴(1+k12)·m2+12k12-16=(1+k22)·m2+12k22-16.
∴k22-16k12=k12-16k22.∴k12=k22.
∵k1≠k2,∴k1=-k2.∴k1+k2=0.
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.