苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.4　圆的综合应用（含解析）

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2．4　圆的综合应用1. 理解圆的方程，掌握圆的几何性质的应用．2. 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用．3. 体会数形结合、曲线与方程思想的综合应用． 活动一与圆有关的最值问题例1　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求：(1) 的最大值和最小值；(2) y－x的最大值和最小值；(3) x2＋y2的最大值和最小值．      与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1) 形如u＝的最值问题，可转化为过点(x，y)和点(a，b)的动直线斜率的最值问题；(2) 形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；(3) 形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上的任意一点．求：(1) 的最大值与最小值；(2) x－2y的最大值与最小值．   例2　若P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．  求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题．　已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上的一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________. 活动二直线与圆的方程的实际应用例3　设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村落后不久，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？     坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算．　为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B，从基地中心O向北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由点D 通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．   活动三过交点的圆系方程例4　求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程．   利用圆系方程求解有关圆的问题的基本思路：设所求圆的方程为圆系方程，根据已知条件建立关于参数λ的方程，根据题意解出λ并代入圆系方程即可(从实质上讲这是待定系数法)．利用圆系方程的优点是避免解方程组求交点的麻烦，能简化运算，但要注意不要多解或漏解．　对于任意实数λ，曲线(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0恒过定点____________．1. 圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线y＝－x的最小距离为(　　)A. 2－1  B. 2－1  C. 2  D. 2＋12. 已知实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)A. 15  B. 14  C. 14＋6  D. 3. (多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的是(　　)A. 圆M上点到直线x－y＋3＝0的最小距离为2B. 圆M上点到直线x－y＋3＝0的最大距离为3C. 若点(x，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则a的取值范围是[1－2，1＋2]4. 已知圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，过直线l：3x＋ay－5＝0(a>0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为________．5. 如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于点M，N(点M在点N的左侧)，且MN＝3.(1) 求圆C的方程；(2) 过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值． 参考答案与解析【活动方案】例1　原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆．(1) 设＝k，即y＝kx，则当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－.(2) 设y－x＝b，即y＝x＋b，则当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3) x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.跟踪训练　(1) 显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率．令k＝，如图，k的最大值与最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率．将上式整理，得kx－y－k＋2＝0，所以＝1，解得k＝，故的最大值是，最小值是.(2) 令u＝x－2y，当直线和圆C与圆相切时，u取得最大值和最小值．依题意，得＝1，解得u＝－2±，故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.例2　8　解析：如图，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2××OA×PA＝OA×＝2.当且仅当OP取得最小值，四边形PAOB的面积最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，故OPmin＝＝2，故所求最小值为2×＝8.跟踪训练　2　解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0，1)，半径r＝1.由圆的性质知S四边形PACB＝2S△PBC.因为四边形PACB的最小面积是2，所以S△PBC的最小值为1，则×1×dmin＝1(d为切线长)，所以dmin＝2，所以PCmin＝.因为圆心到直线的距离就是PC的最小值，所以PCmin＝＝.因为k>0，所以k＝2.例3　以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设甲向东走到点D转向到点C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，得解得所以当乙自村落中心向北前进3.75 km时，甲、乙两人相遇．跟踪训练　以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为x＋y＝8.当O，D，E三点共线，且OE⊥BC时，DE最短，所以DE的最短距离为－1＝(4－1)km.例4　设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，所以圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，所以圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.由题意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2，故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.跟踪训练　(1，3)和(1，－3)　解析：将(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0变形为λ(x2＋y2－4x－6)＋(x2＋y2＋6x－16)＝0，则解得则定点为(1，3)和(1，－3)．【检测反馈】1. A　解析：由题意，得圆心为(2，2)，半径r＝1，所以圆心到直线的距离d＝＝2，所以圆M上的动点P到直线的最小距离为2－1.2. C　解析：由题意知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心为(－2，1)，半径r＝3.圆心(－2，1)到坐标原点(0，0)的距离为＝，故x2＋y2的最大值为(3＋)2＝14＋6.3. ACD　解析：由AB＝AC，得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线．由点B(－1，3)，C(4，－2)，得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率kBC＝＝－1，所以线段BC的垂直平分线的斜率k＝1，所以线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0.又圆M：(x－3)2＋y2＝r2与△ABC的“欧拉线”相切，且圆心为(3，0)，半径为r，所以点(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r，所以M：(x－3)2＋y2＝2.对于A，B，圆M的圆心(3，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，所以圆M上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，故A正确，B错误；对于C，令z＝x＋y，即x＋y－z＝0.当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，z取得最值，所以圆心(3，0)到直线的距离为＝，解得z＝3＋2或z＝3－2，则x＋y的最小值是3－2，故C正确；对于D，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心为(a＋1，a)，半径为2.若该圆与圆M有公共点，则2－≤≤2＋，即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确．故选ACD.4. －　解析：因为圆C的半径为1，切线长的最小值为，所以圆心到直线l：3x＋ay－5＝0(a>0)的距离d＝＝4，所以＝4，解得a＝4，所以直线l的斜率为－.5. (1) 因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心C的坐标为(m，2)(m>0)，则圆C的半径为m.又MN＝3，所以m2＝22＋＝，解得m＝，所以圆C的方程为＋(y－2)2＝.(2) 由(1)，知点M(1，0)，N(4，0)．当直线AB与x轴重合，则kAN＝kBN＝0，则kAN＋kBN＝0；当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0，则Δ＝4t2＋12(t2＋1)＝16t2＋12>0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.综上所述，kAN＋kBN＝0(定值)．