苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程(2)-导学案（有答案）

这是一份苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程(2)（有答案），共6页。
3．1.1　椭圆的标准方程(2)1. 能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．2. 能根据椭圆的标准方程求解有关问题． 活动一掌握求椭圆标准方程的常见方法　　椭圆的标准方程： 例1　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，求椭圆的标准方程．   反思与感悟 直接法求椭圆的标准方程时，只要根据条件求出a，b的值，再确定焦点所在的位置，最后写出其标准方程．　(1)过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________；(2) 焦距为2，且过点(，)的椭圆的标准方程为____________________；(3) 经过两点，的椭圆的标准方程为____________________.例2　将圆x2＋y2＝4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．   反思与感悟 1. 定义法求轨迹方程若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．2. 代入法(相关点法)求轨迹方程若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)．　已知圆P过定点A(－3，0)，且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相切，切点为M，求动圆的圆心P的轨迹方程．    活动二掌握椭圆定义的简单应用　例3　已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，求点P到另一个焦点的距离．   例4　已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长为________．思考 你能将例4的结论推广到一般情形吗？   例5　已知椭圆的方程为＋＝1，若P为椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．  
 活动三直线与椭圆的公共点坐标的求法例6　求直线 x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标．    1.  若椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为4，则点P到另一焦点F2的距离为(　　)A. 6  B. 7  C. 8  D. 92. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)A. ＋＝1(x≠0)  B. ＋＝1(x≠0)C. ＋＝1(x≠0)  D. ＋＝1(x≠0)3. (多选)已知P是椭圆＋＝1上的一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则下列结论中正确的有(　　)A. △PF1F2的周长为12  B. S△PF1F2＝2C. 点P到x轴的距离为  D. ·＝24. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝________；若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．5. 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．       参考答案与解析【活动方案】焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.例1　方法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且点(2，－2)在椭圆上，所以由椭圆的定义，知2a＝＋＝8，所以a＝4.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，所以c＝2，所以a2－b2＝c2＝8.①又因为点(2，－2)在椭圆上，所以＋＝1.②由①②解得a2＝16，b2＝8，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.跟踪训练　(1) ＋＝1　解析：由题意，得所求椭圆的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为所求椭圆过点(－3，2)，所以＋＝1.又a2－b2＝c2＝5，所以联立上述两式，解得b2＝10，a2＝15，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2) ＋＝1或＋＝1解析：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意，得2c＝2，即c＝.又过点(，)，所以＋＝1，联立解得所以椭圆的标准方程为＋＝1；同理可得，若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1.(3) x2＋＝1　解析：设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m，n为正数，且m≠n)，由题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.例2　设所得曲线上任一点的坐标为(x，y)，圆x2＋y2＝4上的对应点的坐标为(x′，y′)．由题意，得因为x′2＋y′2＝4，所以x2＋4y2＝4，即＋y2＝1，故所得曲线的方程为＋y2＝1，该曲线是一个椭圆．跟踪训练　由题意，得动点P到定点A(－3，0)和定圆圆心B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8.因为点A(－3，0)，B(3，0)，所以AB＝6<8＝PA＋PB，所以点P的轨迹是以A，B为焦点，2a＝8的椭圆，所以b＝＝，所以点P的轨迹方程为＋＝1.例3　由题意，得a＝5，由椭圆的定义可得，点P到另一个焦点的距离为2×5－3＝7.例4　4　解析：由题意，得a＝，设直线BC过椭圆的焦点F2，则AB＋BF2＝2a＝2，AC＋CF2＝2a＝2，所以△ABC的周长为AB＋BF2＋CF2＋AC＝4.思考：若一个三角形的一个顶点与椭圆的焦点重合，另外两个顶点在椭圆上，且两点的连线过椭圆的另一个焦点，则这个三角形的周长为4a.例5　由＋＝1，得a＝2，b＝，所以c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2.因为PF1＋PF2＝2a＝4，所以PF＋PF＝16－2PF1·PF2.由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 120°，即4＝16－2PF1·PF2＋PF1·PF2，所以PF1·PF2＝12，所以S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 120°＝×12×＝3.例6　直线x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标就是方程组的解．解这个方程组，得所以所求公共点的坐标为(0，－1)，.【检测反馈】1. A　解析：根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10.因为PF1＝4，所以PF2＝6.2. B　解析：因为△ABC的周长为20，顶点B (0，－4)，C (0，4)，所以BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12.因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(去掉与y轴的交点)．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0)．3. BCD　解析：由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以PF1＋PF2＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A错误；在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos∠F1PF2＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2cos∠F1PF2，所以20＝36－2PF1·PF2－PF1·PF2，解得PF1·PF2＝6，故S△PF1F2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝F1F2·d＝×2d＝2，所以d＝，故C正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D正确．故选BCD.4. 120°　2　解析：由题意，得a2＝9，b2＝2，则c2＝9－2＝7，所以c＝，所以F1F2＝2.因为PF1＝4，所以PF2＝2，所以cos∠F1PF2＝＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.若∠F1PF2＝90°，则PF＋PF＝F1F＝(2)2＝28，所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝28，所以36－2PF1·PF2＝28，即PF1·PF2＝4，所以S＝PF1·PF2＝2.5. 由题意，得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(且x≠－2)．因为a＝2，c＝1，所以b＝，所以曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．