苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.2.2双曲线的几何性质(2)-导学案（有答案）

这是一份苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.2.2双曲线的几何性质(2)（有答案），共5页。
3．2.2　双曲线的几何性质(2)1.  加深对双曲线几何性质的理解．2. 能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．  活动一理解双曲线的离心率例1　(1) 已知对称中心为原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点且离心率互为倒数，求该双曲线的方程；(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，求该双曲线的离心率． 例2　已知(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点，则其离心率的取值范围是(　　)A. 　　　　　B. C.   D.  活动二掌握双曲线的几何性质的简单应用例3　(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若P为双曲线上的一点，且PF1＝2PF2，则双曲线的离心率的取值范围是__________；(2) 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线，交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________.例4　已知双曲线C1：x2－＝1.(1) 求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2) 直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值． 活动三双曲线方程的简单实际应用例5　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？  反思与感悟　根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．  1.  双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为(　　)A. 　  B. 　  C. 1　  D. 2. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)A. －＝1　　　  B. －＝1  C. －＝1　　　  D. －＝13. (多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论中正确的是(　　)A. 双曲线C的焦距为4  B. 双曲线C的离心率为C. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x  D. 直线2x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点4. 设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝1与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则△PF1F2的面积是________．5. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交双曲线C于点P.若点P 的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．参考答案与解析【活动方案】例1　(1) 由题意，得椭圆的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率e＝，则双曲线的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率为.设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝1，a＝，所以b2＝1－＝，所以双曲线的方程为2x2－2y2＝1.(2) 不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则顶点坐标为(a，0)，一条渐近线方程为y＝x，焦点坐标为(c，0)．所以解得所以e＝＝3.例2　C　解析：由(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点，得－＝1，则＝b2＋4，所以e＝＝＝>，所以e>.例3　(1) (1，3)　解析：由题意，得PF1－PF2＝PF2＝2a，则PF1＝4a.在△PF1F2中，2a<2c<6a，所以1<<3.(2) x±y＝0　解析：由题意，得PF2＝PF1，则PF1－PF2＝PF1＝2a，即PF1＝4a，PF2＝2a.在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以F1F2＝2c＝2a，即c＝a，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.例4　(1) 由题意，得双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)．设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.(2) 由题意，得双曲线C1的渐近线方程为y＝±2x.设点A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)，联立消去y并整理，得3x2－2mx－m2＝0，由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.因为x1x2＝－，所以·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，所以m2＝3，即m＝±.例5　设点A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．因为PB＝PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上．又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①又PB－PA＝4，AB＝6>4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，所以双曲线方程为－＝1(x≥2)．②联立①②，得点P坐标为(8，5)，所以kPA＝＝，故甲舰行进的方向角为北偏东30°.【检测反馈】1. B　解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为.2. A　解析：因为双曲线C的焦距为10，点P(2，1)在渐近线上，所以a2＋b2＝c2＝25，＝1，解得b2＝5，a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.3. AC　解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝＝2，所以双曲线C的焦距为2c＝4，故A正确；双曲线C的离心率为＝＝，故B错误；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故C正确；将2x－y－1＝0与－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，故D错误．故选AC.4. 3　解析：由双曲线方程知其渐近线方程为y＝±3x，焦点F1(－，0)，F2(，0)，则直线x＝1与双曲线的渐近线交于点(1，3)，(1，－3)．不妨设P(1，3)，则S△PF1F2＝×2×3＝3.5. 不妨设过右焦点且与渐近线平行的直线l的斜率为.因为直线l过右焦点F(c，0)，所以直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程，得－＝1，化简，得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程，得－b＝(2a－c)，化简，得离心率e＝＝2＋.