2.2.3一元二次不等式的解法 教案

教学课时：1课时

　　教学目标：

　　1.使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式;

　　2.使学生会运用转化的方法解简单分式不等式;

　　3.向学生渗透化归和转化的数学思想方法;

　　4.培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.

　　教学重点：

　　熟练求解一元二次不等式.

　　教学难点：

　　正确求解特殊的一元二次不等式.

　　教学过程：

　　一、情境导入

　　【任务1】

　　阅读P68“情境与问题”,用数学语言表述上述问题.

　　【设计意图】

　　让学生体会数学的实用性，在引导学生将实际问题抽象为数学问题的过程中，培养学生数学建模的核心素养，同时引出今天的课题：一元二次不等式的解法.

　　二、新课讲解

　　【任务2】　　

探讨如何解不等式：

(1) x(x -1)>0 ;

(2)(x+1)(x-1)<0.

【设计意图】

希望引导学生从代数角度，通过带入特殊值尝试，发现可以利用或，或，来解一元二次不等式，并归纳出对形如和的一般解法.

例1求不等式x2-x-2>0的解集.

解:因为x2-x-2=(x +1)(x-2)

所以原不等式等价于(x+1)(x -2)>0，

所以所求解集为.

【设计意图】

让学生明确只要能因式分解的一元二次不等式均可得到解集,渗透化归与转化的的思想.

【学生活动1】

解决前面情境中提出的问题.

前面得到甲车满足:v2-10v-600>0，即(v+20)(v-30)>0，又因为v>0，所以得v>30，即甲车略微超过30公里/小时;

对于乙车，满足:v2-10v-2000>0，即(v+40)(v-50)>0，又因为v>0，所以得v>50，即乙车略微超过50公里/小时;

所以甲车不超速，乙车超速.

【任务3】

探讨如何解不等式:

(1)  x2<-1;   (2)x2>-2;   (3)x2<9;     (4)x2>4.

【设计意图】

显然(1）为，(2)为R;  对于(3)，(4）注意纠正x <3和x >2的错误解法，引导学生转化为熟悉的<3来解，这既渗透化归与转化的的思想，也是为下面使用配方法做铺垫.

例2求下列不等式的解集:

(1)x2+4x+1>0;

(2) x2-6x-1>0 ;

(3) -x2+2x-1>0;

(4) 2x2+4x+5 >0.

解(1）因为x2+4x+1= x2+4x＋4-4+1=(x+2)2-3,

所以原不等式可化为(x +2)2-3≥0，即(x+2)2≥3，

两边开平方得,

从而可知或 ,

因此或，

所以不等式的解集为:.

(2)  因为，

所以原不等式可化为(x -3)2-10≤0，即(x -3)2≤10，

两边开平方得 ,

从而可知,

因此 ,

所以不等式的解集为:.

(3）原不等式可化为x2-2x+1>0，

继续可化为(x-1)2 >0.

注意到只要x≠1，上述不等式就成立，

所以不等式的解集为:.

(4）原不等式可以化为.

因为,

所以原不等式可以化为，即,

这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.

【设计意图】

练习使用配方法解一元二次不等式，并通过这些例题，引导学生归纳出:

一元二次不等式a2+ bx+c>0 ( a≠0）通过配方总是可以变为以下形式:

(x-h)2>k或(x-h)2<k

然后根据k的正负等知识，就可以得到解集.

【任务4】

思考:如何求不等式的解集?

【设计意图】

通过此题，让学生既体会化归与转化的的思想，又学会如何解简单的分式不等式.

(方法1)模仿因式分解求解一元二次不等式。分类讨论或；

(方法2)移项通分转化为乘积:

(方法3）两边同乘以分母的平方：

特别关注，学生是否忽略x-2≠0.

三、课堂练习 　　

（1）；

（2）；

（3）.

四、归纳小结 

1.   代数法解一元二次不等式的一般思路为:

(1）将不等式的右侧变为0;

(2）观察能否因式分解为类似（x一x1)(x一x2)>0或（x一x1)(x一x2)<0的形式;

(3）观察能否配方为类似(x-h)2>k或(x一h)2<k的形式

2.解分式不等式一般是转化为整式不等式.