3.1.2 函数单调性（第1课时）

教学课时：第1课时

　　教学目标：

　　会用三种语言表述函数单调性；掌握用定义证明函数单调性的基本方法和步骤。

　　在函数单调性的研究中，让学生经历观察分析、归纳概括、语言表示的思维过程，初步体会研究函数性质的方法。培养函数思维能力。

　　通过单调性的学习树立善于思考、敢于质疑、严谨求实的精神。

　　　教学重点：

　　形成函数单调性的形式化定义。

　　　教学难点：

　　（1）观察函数解析式，形成单调性的感性认识；

　　（2）用符号语言表述函数单调性的定义。

　　　教学过程：

　　一、观察函数，形成感性认识

　　问题1.请观察下列函数，你能发现它们具备怎样的变化状态吗？

　　（1）y=2x+3 （2）y=x2 （3）y=-3x （4）y=x3

　　学生活动1：思考问题1，观察上述函数并用自然语言概括变化状态。

　　预设：(1)y=2x+3 当x增大时，y也增大；

　　(2)y=x2 当时x＞0，x增大时，y也增大。x＜0时，x增大时，y减小；

　　(3)y=-3x 当x增大时，y减小；

　　(4)y=x3 当x增大时，y也增大。

　　设计意图：由解析式观察变化状态，更能够直观看到随着自变量x增大，函数值y的变化趋势，也利于学生用自然语言初步概括单调性的内涵。其次，由解析式观察函数性质也是今后研究函数必备的能力，选取比较简单、易于观察的解析式着手。这样可以逐步培养学生由解析式研究函数性质的能力。

　　二、转化语言，形成理性认识

　　（一）由自然语言到图形语言

　　问题2：

　　增函数：在定义域的某一部份上，y随x的增大而增大；

　　减函数：在定义域的某一部份上，y随x的增大而减小。

　　你认为增函数、减函数的图像会有什么特点呢？说明理由。

　　学生活动2：思考并提出看法：增函数图形向上，减函数图形向下。

　　师生分析如下：

　　增函数：当自变量增大时，对应图像是从左至右变化；函数值增大，则图像从左下向右上。 减函数：当自变量增大时，对应图像是从左至右变化，函数值减小，则图像从左上向右下。

　　学生总结如下：

　　设计意图：结合自然语言，引领学生分析函数图像的特点。如：x增大，y也增大，带来了图像向上的趋势。进一步在图形上，从函数概念角度，揭示单调性本质。即增函数是：自变量小，对应函数值也小。自变量大，对应函数值也大；减函数是：自变量小，对应函数值大。自变量大，对应函数值小。

　　（二）由自然语言、图形语言到符号语言的转化

问题3。你能用函数的符号语言来刻画增函数和减函数吗？

预设：增函数：当x1<x2时，f(x1)<f(x2 ); 减函数：当x1 <x2时，f(x1)>f(x2 ).

教师追问:你认为这样表述对吗?为什么?

预设:学生提出如下反例，并板书在黑板上:

　　设计意图：通过问题3的探究及教师的追问，激发学生进一步思考调整单调性的符号语言的准确性，从而攻克单调性符号语言表述中的难点“任意性”的理解。进一步，从符号语言上再次感受x与y的对应特点。

　　三、探究证明，总结方法

　　例1。判断并证明函数f(x)=x2(x＞0)的单调性。

　　教师活动：展示例题，巡视学生完成情况，板书典型“假证”做法，组织学生辨析，并说明理由。

　　辨析如下证明过程是否正确？

对任意的，，。

即。

　　预设：学生通过辨析会发现，这是在用求证的结论来论证结论，

显然不是证明。正确的证明如下：

证明:对任意的，

=

  ，  ，，

即。

所以，函数f(x)=x2(x>0)为增函数.

　　设计意图：设置已经学过的简单的二次函数来进行论证，使学生感受到：自然语言和图形语言都无法达到论证的严谨性，也进一步感受到用符号语言表述的必要性，以及将符号语言作为定义的必然。从而，感受到作差法以及后续因式分解恒等变形的原因。

　　例2。判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性，并求这个函数的最值。

　　教师活动：展示例2，组织学生证明，教师巡视。

　　预设：学生证明如下：

任取x1,x2[-1,6]，且x1<x2，则x1-x2<0，那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0 ，

所以，这个函数是增函数.

从而，这个函数的最小值是f(-1)=2，最大值是f(6)= 23.

师生共同探讨最值定义:

设函数f(x)的定义域为D，且x0D: 如果对任意xD，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点;如果对任意xD，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而 x0称为f(x)的最小值点。

　　四、课堂小结

　　1.知识总结：单调性的概念总结；单调性证明的步骤。

　　2.方法总结：函数的性质不仅能够从图中得到，也可从函数解析式中得到，关注函数解析式给予的信息，利于了解函数性质。

　　五、布置作业

　　课本第102页练习A：2、4、5、6