沪科版数学九年级上册 第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷（困难）（含答案）

这是一份沪科版数学九年级上册 第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷（困难）（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列函数中，y是x的二次函数的是( )
A. y=2x−1B. y=1xC. y=1x+2D. y=−x2+2x
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
已知抛物线y=x2−2bx+2b2−4c(其中x是自变量)经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中的图象上．( )
A. y=x+2B. y=−x+2C. y=−2x+1D. y=2x+1
在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(−1,2)，(2,1)，若抛物线y=ax2−x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是( )
A. a≤−1或14≤a<13B. 14≤a<13
C. a≤14或a>13D. a≤−1或a≥14
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a−b+c<0；
④抛物线的顶点坐标为(2,b)；
⑤当x<2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是( )
①②③
B. ③④⑤
C. ①②④
D. ①④⑤
已知二次函数y=x2+ax+b=(x−x1)(x−x2)(a,b,x1,x2为常数)，若1A. −2如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,3)，(0,4)之间(包含端点)，则下列结论：①abc>0；②3a+b<0；③−43≤a≤−1；④a+b≥am2+bm(m为任意实数)；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(12,1)，(3,1)，(3,0)，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为(0,b)，则b的取值范围是( )
A. −14≤b≤1B. −54≤b≤1C. −94≤b≤12D. −94≤b≤1
如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上．设CD的长度为x，Rt△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
若矩形的面积为6cm2，则它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是( )
A. B. C. D.
如图，反比例函数y=kx(k>0)与一次函数y=12x+b的图象相交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB交y轴于C，当|x1−x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为( )
A. k=12，b=2
B. k=49，b=1
C. k=13，b=13
D. k=49，b=13
已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k−1，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程x−2y=−4的解；②不存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若z=13xy，则z的最大值为136.其中正确的是( )
A. ①③B. ①②③④C. ①③④D. ①②③
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为xcm，面积为ycm2，则y关于x的函数关系式是______ ．
已知抛物线y=(m−1)x2，且直线y=3x+3−m经过一、二、三象限，则m的范围是______ ．
已知：抛物线y=x2−2ax与x轴交于点A、B(点B在x轴正半轴)，且AB=4．
(1)此抛物线的顶点坐标为 ；
(2)若点P(m,n)为抛物线上一动点，作PQ⊥x轴，交一次函数y=kx−4(k>0)的图象于点Q，当1正比例函数y=2x与反比例函数y=2x的交点坐标为__________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
已知函数y=(a+3)xa2+a−4+(a+2)x+3．
(1)当a为何值时，y为x的二次函数?
(2)当a为何值时，y为x的一次函数?
若函数y=(a−1)x(b+1)+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围．
如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A−2,0、B4,0两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m1
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．
(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线C：y=x2−2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1,−3)，求b、c的值；
(2)当c=b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是−4，求b的值；
(3)当c=b2+1，3≤x≤m时，x2−2bx+c≤x−2恒成立，则m的最大值为______．
如图，已知抛物线y=ax2+4x+c经过A(2,0)、B(0,−6)两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线BC的解析式；
(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A．
(1)直接写出抛物线的对称轴：x=______；
(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；
(3)若点A的坐标是(0,1)，当−2c如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3)．
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.当PE=2ED时，求P点坐标；
(3)如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形OFQC的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
如图，直线y=x−1与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为(−1,m).

(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P(n，−1)是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥ x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△ CEF的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义、一次函数以及反比例函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．
根据二次函数、一次函数以及反比例函数的定义即可求出答案．
【解答】解：A、y=2x−1是一次函数，故A不是二次函数，
B、y=1x是反比例函数，故B不是二次函数，
C、y=1x+2既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、y=−x2+2x，是二次函数，符合题意．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：①观察图象可知：a>0，b>0，c<0，
∴abc<0，故①错误；
②∵称轴为直线x=−2，OA=5OB，
可得OA=5，OB=1，
∴点A(−5,0)，点B(1,0)，
∴当x=1时，y=0，即a+b+c=0，
∴(a+c)2−b2=(a+b+c)(a+c−b)=0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x=−2，即−b2a=−2，
∴b=4a，
∵a+b+c=0，
∴5a+c=0，
∴c=−5a，
∴9a+4c=−11a，
∵a>0，
∴9a+4c<0，故③正确；
④当x=−2时，函数有最小值y=4a−2b+c，
由am2+bm+2b≥4a可得am2+bm+c≥4a−2b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x=−2，OA=5OB，可得OA=5，OB=1，点A(−5,0)，点B(1,0)，当x=1时，y=0即可判断②；根据对称轴x=−2，以及，a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x=−2时，y=4a−2b+c，即可判断④；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3.【答案】C
【解析】解：由抛物线的对称轴x=−−2b2=b，抛物线经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，
b=1−b+2b+c2，即c=b−1，
抛物线的顶点纵坐标为4(2b2−4c)−(2b)24=b2−4c=b2−4b+4，
∴顶点坐标为(b,b2−4b+4)，
将顶点坐标代入A得，b2−4b+4=b+2，整理得b2−5b+2=0，∵52−4×2>0，故顶点可能在A上；
将顶点坐标代入B得，b2−4b+4=−b+2，整理得b2−3b+2=0，∵32−4×2>0，故顶点可能在B上；
将顶点坐标代入C得，b2−4b+4=−2b+2，整理得b2−2b+2=0，∵22−4×2<0，故顶点不可能在C上；
将顶点坐标代入D得，b2−4b+4=2b+2，整理得b2−6b+2=0，∵62−4×2>0，故顶点可能在D上；
故选：C．
求出抛物线的对称轴x=b，再由抛物线的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，也可以得到对称轴为1−b+2b+c2，可得b=c+1，求出顶点的坐标代入四个函数中，如果能求出b的值说明在，反之不在．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与系数的关系等知识，根据两种不同表示顶点横坐标的方法，求出系数b和c的关系式解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数图象与系数的关系，及二次函数图象上点的坐标特征，有一定难度．
根据点M，N的坐标分别为(−1,2)，(2,1)，可求解直线MN的解析式，联立方程组y=−13x+53y=ax2−x+2可得3ax2−2x+1=0，根据抛物线与线段MN有两个不同的交点，可知Δ>0，求得a<13，分a<0和a>0两种情况计算可求解．
【解答】
解：抛物线y=ax2−x+2恒过(0,2)点，且对称轴为直线x=12a．
∵点M，N的坐标分别为(−1,2)，(2,1)，
由待定系数法易得直线MN的解析式为y=−13x+53，
联立方程组y=−13x+53y=ax2−x+2消去y，可得3ax2−2x+1=0，
根据抛物线与线段MN有两个不同的交点，得Δ=22−4×3a>0，
∴a<13．
分情况讨论：
①当a<0时，若抛物线与线段MN有两个交点，
此时12a<0，
则x=−1时，y=a+3≤2，
∴a≤−1;
②当a>0时，若抛物线与线段MN有两个交点，
此时12a>0，
则当x=2时，y≥1，
即4a−2+2≥1，
即a≥14．
综上所述，a≤−1或14≤a<13．
故选A．

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=−4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=−1时y>0，即可得出a−b+c>0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0)，结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴−b2a=2，c=0，
∴b=−4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③当x=−1时，
a−b+c>0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为(2,b)，结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程.首先根据题意得x1与x2是方程x2+ax+b=0的两个根，则x1+x2=−a，x1x2=b，根据10，可得t=a+b>−1；再由二次函数y=x2+ax+b的对称轴为直线x=−a2，顶点在x轴的下方，得出当x=−a2时，y=a24−a22+b<0，即b【解答】
解：∵y=x2+ax+b=(x−x1)(x−x2)，
∴x1与x2是方程x2+ax+b=0的两个根，
则x1+x2=−a，x1x2=b，
∵1∴当x=1时，y=a+b+1>0，
∴t=a+b>−1；
∵二次函数y=x2+ax+b的对称轴为直线x=−a2，顶点在x轴的下方，
∴当x=−a2时，y=a24−a22+b<0，
即b∴a+b∵1∴1<−a2<2，
∴−1∴−1∴a+b<0，
综上所述：−17.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标(1,n)，
∴对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵与y轴的交点在(0,3)，(0,4)之间(包含端点)，
∴3≤c≤4，
∴abc<0，故①错误，
3a+b=3a+(−2a)=a<0，故②正确，
∵与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，
∴c=−3a，
∴3≤−3a≤4，
∴−43≤a≤−1，故③正确，
∵顶点坐标为(1,n)，
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确，
一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误，
综上所述，结论正确的是②③④共3个．
故选：B．
根据抛物线开口向下判断出a<0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN.证明△PAB∽△NCA，得出PBNA=PANC，设PA=x，则NA=PN−PA=3−x，设PB=y，代入整理得到y=3x−x2=−(x−32)2+94，根据二次函数的性质以及12≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
【解答】
解：如图，延长NM交y轴于P点，
∵M(12,1)，N(3,1)
∴MN⊥y轴．
连接CN，
∵C(3,1)
∴CN⊥MN，
在△PAB与△NCA中，
∠APB=∠CNA=90∘∠PAB=∠NCA=90∘−∠CAN，
∴△PAB∽△NCA，
∴ＰＢＮＡ=ＰＡＮＣ，设PA=x，则NA=PN−PA=3−x，设PB=y，
∴y３−x=x1，
∴y=3x−x2
=(x−32)2+94，
∵−1<0，12≤x≤3，
∴x=32时，y有最大值94，此时b=1−94=−54，x=3时，y有最小值0，此时b=1，
∴b的取值范围是−54⩽b⩽1．
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象有关知识，分类讨论：当0【解答】
解：当0当1CD=x，则AD=2−x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
正方形CDEF中，CD//FE，DE/​/CF，
∴△ADM、△BFN、△EMN均为等腰直角三角形，
∴BF=FN=DM=AD=2−x，
∴EM=EN=x−(2−x)=2x−2，
S△MNE=122x−22=2x−12，
则y=x2−2(x−1)2=−x2+4x−2=−(x−2)2+2，
y=x20对比各个选项，可知A符合上述解析式，
故选A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的应用.现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．写出y与x的函数关系式，然后根据x的范围即可判断．
【解答】
解：长ycm与宽xcm之间的函数关系是：y=6x，其中x>0．
故选C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
此题综合考查了反比例函数、一次函数的性质，注意通过解方程求出k、b的值．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
首先由AC=2BC，可得出A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．再由|x1−x2|=2，可求出A点与B点的横坐标，然后根据点A、点B既在一次函数y=12x+b的图象上，又在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，可求出k、b的值．
【解答】
解：∵AC=2BC，点C在y轴上，
∴A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．
∵点A、点B都在一次函数y=12x+b的图象上，
∴可设B(m,12m+b)，则A(−2m,−m+b)．
∵|x1−x2|=2，
∴m−(−2m)=2，
∴m=23；
又∵点A、点B都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴23(13+b)=(−43)(−23+b)，
∴b=13，
∴k=23(13+13)=49．
故选D．

12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值、二元一次方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是用字母正确表示方程组的解．
①利用消元法解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程x−2y=−4即可求解；
②利用消元法解二元一次方程组，方程组的解用含k的式子表示即可求得结论；
③将用含k的式子表示出的方程组的解代入x+3y，即可得结论；
④根据二次函数的最值问题即可得结论．
【解答】
解：①当k=0时，方程组为x+2y=02x+3y=−1
解这个方程组，得x=−2y=1
把x=−2，y=1代入x−2y=−4中，方程左右两边相等，
所以当k=0时，方程组的解也是方程x−2y=−4的解；
②解方程组x+2y=k2x+3y=3k−1，得
x=3k−2y=−k+1
当x+y=0，即3k−2−k+1=0，解得
k=12．
所以存在实数k，使得x+y=0．
③x+3y=3k−2+3(−k+1)
=3k−2−3k+3
=1
所以不论k取什么实数，x+3y的值始终不变．
④z=13xy=13(3k−2)(−k+1)
=−k2+53k−23
=−(k−56)2+136
∵a=−1<0，∴当k=56时，z有最大值为136．
故选：C．
13.【答案】y=−x2+50x
【解析】解：由题意得：
y=x(50−x)=−x2+50x，
故答案为：y=−x2+50x
根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为(50−x)cm，再根据长方形的面积公式可得答案．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14.【答案】m≠1且m<3
【解析】解：根据题意，m−1≠0，
∴m≠1，
又依题意得3−m>0，
∴m<3，
所以m≠1且m<3．
故填空答案：m≠1且m<3．
根据二次函数的定义条件和一次函数图象的性质列出不等式求解则可．
本题考查二次函数的定义条件和一次函数图象的性质，二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量的最高次数为2．
15.【答案】(2,−4)
k≥4

【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)利用抛物线的解析式求出点A，B的坐标进而得到AB的长度，列出方程求得a值，再利用配方法求得结论；
(2)利用函数的解析式用m表示出点P，Q的坐标，进而求得线段PQ，利用配方法结合函数的图象即可列出关于k的不等式，解不等式则结论可得．
【解答】
解：(1)令y=0，则x2−2ax=0，
解得：x=0或2a，
∵点B在x轴正半轴，
∴A(0,0)，B(2a,0)．
∴AB=2a=4，
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x．
∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−4)，
故答案为：(2,−4)；
(2)∵点P(m,n)为抛物线上一动点，
∴P(m,m2−4m)，
∵PQ⊥x轴，交一次函数y=kx−4(k>0)的图象于点Q，
∴Q(m,km−4)，
当1PQ=km−4−(m2−4m)=−m2+(k+4)m−4=−(m−k+42)2+k2+8k4，
∵−1<0，
∴当m≤k+42时，PQ的值随m的增大而增大，
∵1∴k+42≥4，
∴k≥4，
故答案为k≥4．
16.【答案】(1,2)或(−1,−2)
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点，，将正比例函数和反比例函数连立方程组即可解答．
【解答】
解：由题意得：y=2xy=2x,
解得：x=1y=2或x=−1y=−2．
所以它们的交点坐标是(1,2)或(−1,−2)．
17.【答案】解：(1)根据题意得a+3≠0且a2+a− 4=2，
解得a=2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a+3=0且a+2≠0，即a=−3时，y是x的一次函数;
当a2+a−4=0且a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a=−1±172;
当a2+a−4=1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a=−1±212．
综上，当a为−3或−1±172或−1±212时，y是x的一次函数．

【解析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
(1)根据二次函数的定义得到得a+3≠0且a2+a−4=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值；
(2)根据一次函数的定义分类讨论：当a+3=0时，y是x的一次函数；当a2+a−4=0且a+2≠0时，y是x的一次函数；当a2+a−4=1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
18.【答案】解： ①a−1+1≠0且b+1=2时，解得a≠0，b=1．
②a−1=0且b为任意实数时，解得a=1，b为任意实数．
③a为任意实数且b+1=1或0时，解得a为任意实数，b=0或−1．
综上所述，当a≠0，b=1或a=1，b为任意实数或a为任意实数，b=0或a为任意实数，b=−1时，y=(a−1)x(b+1)+x2+1是二次函数．

【解析】见答案
19.【答案】解：(1)由抛物线交点式表达式得：y=a(x+2)(x−4)=a(x2−2x−8)=ax2−2ax−8a，
即−8a=6，解得：a=−34，
故抛物线的表达式为：y=−34x2+32x+6；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,6)，
由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：y=−32x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，
设点D(m,−34m2+32m+6)，则点H(m,−32m+6)，
则S△BDC=12HD×OB=2(−34m2+32m+6+32m−6)=2(−34m2+3m)，
∴34S△ACO=34×12×6×2=92，
即：2(−34m2+3m)=92，
解得：m=1或3(舍去1)，
故m=3；
(3)当m=2时，点D(2,6)，
设点M(x,0)，点N(t,n)，则n=−34t2+32t+6①，
①当BD是边时，
点B向左平移2个单位向上平移6个单位得到点D，同样点M(N)向左平移2个单位向上平移6个单位得到点N(M)，
故x−2=t0+6=n或x+2=t0−6=n②,
联立①②并解得：x=4t=2n=6(不合题意的值已舍去)或x=2t=0n=6或x=17−1t=1+17n=−6或x=−17−1t=1−17n=−6
点M的坐标为2,0或17−1,0或−17−1,0；
②当BD是对角线时，
由中点公式得：12(3+4)=12(x+t)12(6+0)=12(n+0)③,
联立①③并解得x=6t=0n=6或x=4t=2n=6
故点M的坐标为6,0；
综上，点M的坐标为2,0或17−1,0或−17−1,0或6,0．
【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等有关知识．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)S△BDC=12HD×OB=2(−34m2+32m+6+32m−6)=2(−34m2+3m)，则34S△ACO=34×12×6×2=92，即可求解；
(3)分BD是边、BD是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解．
20.【答案】4
【解析】解：(1)∵抛物线C的顶点坐标为(1,−3)，
∴y=(x−1)2−3=x2−2x−2，
∴−2b=−2，b=1，c=−2；
(2)∵c=b+2
∴y=x2−2bx+c=x2−2bx+b+2，对称轴为x=b，
①当b<0时，由题意可知b+2=−4，解得b=−6，符合题意；
②当0≤b≤2时，4(b+2)−4b24=−4，解得b1=3，b2=−2，不合题意舍去；
③当b>2时，根据题意可知22−4b+b+2=−4，解得b=103，符合题意；
综上所述，所求b的值为−6或103．
(3)当c=b2+1时，抛物线C的解析式为y=(x−b)2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y=1上移动，

当3≤x≤m时，x2−2bx+c≤x−2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为(3,1)，
设抛物线C与直线y=x−2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由y=(x−3)2+1y=x−2解得x1=3，x2=4，
∴m的最大值为4．
(1)根据已知点的坐标代入解析式确定系数即可．
(2)先根据已知条件确定抛物线的对称轴直线，在分段讨论抛物线在各段上取最小值时b的值．
(3)通过抛物线图象的移动范围确定，当x2−2bx+c≤x−2恒成立时，m的值，进一步确定最大值．
考查了二次函数的解析式，二次函数的性质与图象，函数的对称轴，关键要熟练二次函数待定系数法求解析式，二次函数的图象以及性质．
21.【答案】解：(1)将A(2,0)、B(0,−6)代入抛物线解析式得：4a+8+c=0c=−6，
解得：a=−12c=−6，
故抛物线的解析式为：y=−12x2+4x−6，
其对称轴为：x=4，
故点C的坐标为(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、点C的坐标代入可得：4k+b=0b=−6，
解得：k=32b=−6，
故直线BC的解析式为y=32x−6；
(2)联立直线BC与抛物线的解析式：y=−12x2+4x−6y=32x−6，
解得：x=0y=−6或x=5y=32，
故点D的坐标为(5,32)，
则S△ABD=S△ACD+S△ABC=12AC×D纵+12AC×|B纵|=152．
(3)存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A′，连接A′B，则A′B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A′坐标为(6,0)，B(0,−6)，
设直线A′B的解析式为：y=mx+n，代入两点坐标可得：6m+n=0n=−6，
解得：m=1n=−6，
即直线A′B的解析式为y=x−6，
故点Q的坐标为(4,−2)．
AB=OA2+OB2=22+62=210,A′B=OA′2+OB2=62，
即存在点Q的坐标(4,−2)时，使得△QAB的周长最小，最小周长为AB+A′B=62+210．
【解析】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，及利用轴对称求最短路径的问题，解答第二问需要我们将要求图形的面积分割，第三问的关键是利用轴对称的性质得出点Q的位置，难度较大．
(1)将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式．
(2)求出点D的坐标，然后根据S△ABD=S△ACD+S△ABC进行计算，即可得出答案．
(3)AB长度固定，只需满足QA+QB最小即可，找点A关于对称轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与对称轴的交点即是点Q的位置，求出其坐标及周长即可．
22.【答案】−32
【解析】解：(1)由抛物线y=ax2+3ax+c可得，
抛物线的对称轴为x=−3a2a=−32，
故答案为：−32；
(2)∵抛物线在x轴下方，
∴a<09a2−4ac<0，
解得4c9∵符合条件的整数a有三个，
∴−4≤4c9<−3，
解得−9≤c≤−274，
∴c的最小值为−9；
(3)∵点A的坐标是(0,1)，
∴c=1，
∴y=ax2+3ax+1，
∴−2当x=−2时，y=4a−6a+1=−2a+1，
∴直线x=−2与抛物线交点坐标为(−2,−2a+1)，
当x=1时，y=a+3a+1=4a+1，
∴直线x=1与抛物线交点坐标为(1,4a+1)，
①当Δ=9a2−4a=0时，抛物线顶点在x轴上，满足题意，
解得a=0(舍)或a=49；
②当a>0时，若点(−2,−2a+1)在x轴或x轴下方，点(1,4a+1)在x轴上方满足题意，
则a>0−2a+1≤04a+1>0，
解得a≥12，
③当a<0时，若(−2,−2a+1)在x轴上方，点(1,4a+1)在x轴上或x轴下方满足题意，
∴a<0−2a+1>04a+1≤0，
解得a≤−14．
综上所述，a=49或a≥12或a≤−14．
(1)由抛物线解析式直接求出对称轴即可；
(2)由抛物线恒在x轴下方可得4c9(3)由点A坐标求出c的值为1，求出直线x=−2，直线x=1与抛物线的交点坐标，分类讨论a>0，a<0两种情况，列不等式组求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
23.【答案】解：(1)依题意得：−b2a=−1a+b+c=0c=3，
解之得：a=−1b=−2c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3
∵对称轴为x=−1，且抛物线经过A(1,0)，
∴把B(−3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n，
得−3m+n=0n=3，
解之得：m=1n=3，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
(2)设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=−1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M(−1,2)，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(−1,2)；
(3)设P(−1,t)，
又∵B(−3,0)，C(0,3)，
∴BC2=18，PB2=(−1+3)2+t2=4+t2，PC2=(−1)2+(t−3)2=t2−6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2−6t+10解之得：t=−2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2−6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2−6t+10=18解之得：t1=3+172，t2=3−172；
综上所述P的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+172) 或(−1,3−172).
【解析】(1)先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
(2)设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=−1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
(3)设P(−1,t)，又因为B(−3,0)，C(0,3)，所以可得BC2=18，PB2=(−1+3)2+t2=4+t2，PC2=(−1)2+(t−3)2=t2−6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
24.【答案】解：(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B(4,5)，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得a−b+c=016a+4b+c=025a+5b+c=0，
解得a=−1b=4c=5，
∴抛物线解析式为y=−x2+4x+5；
(2)设P(x,−x2+4x+5)，则E(x,x+1)，D(x,0)，
则PE=|−x2+4x+5−(x+1)|=|−x2+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|−x2+3x+4|=2|x+1|，
当−x2+3x+4=2(x+1)时，解得x=−1或x=2，但当x=−1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P(2,9)；
当−x2+3x+4=−2(x+1)时，解得x=−1或x=6，但当x=−1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P(6,−7)；
综上可知P点坐标为(2,9)或(6,−7)；
(3)存在这样的点Q，使得四边形OFQC的面积最大．
如图，过点Q作QP⊥x轴于点P，
设Q(m,−m2+4m+5)(m>0)，
则PO=m，PQ=−m2+4m+5，CP=5−m，
四边形OFQC的面积=S四边形PQFO+S△PQC
=12×(−m2+4m+5+5)⋅m+12×(5−m)×(−m2+4m+5)
=−52m2+252m+252
=−52(m−52)2+2258，
当m=52时，四边形OFQC的面积取得最大值，最大值为2258，此时点Q的坐标为(52,354).
【解析】(1)先由点B在直线y=x+1上求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
(2)可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；
(3)作QP⊥x轴于点P，设Q(m,−m2+4m+5)(m>0)，知PO=m，PQ=−m2+4m+5，CP=5−m，根据四边形OFQC的面积=S四边形PQFO+S△PQC建立关于m的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．
25.【答案】解：(1)将点A的坐标代入y=x−1，可得：m=−1−1=−2，
将点A(−1,−2)代入反比例函数y=kx，可得：k=−1×(−2)=2，
故反比例函数解析式为：y=2x．
(2)将点P的纵坐标y=−1，代入反比例函数关系式可得：x=−2，
将点F的横坐标x=−2代入直线解析式可得：y=−3，
故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，
故可得S△CEF=12CE×EF=92．
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点A的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度．
(1)将点A的坐标代入直线解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数关系式；
(2)将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标，将点P的横坐标和点F的横坐标相等，将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算△CEF的面积．