初中数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差优秀导学案

12.3  乘法公式

1.两数和乘以这两数的差

学习目标：

1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）

2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）

自主学习

一、知识链接

多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．

二、新知预习

算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：

①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________；

②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________；

③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________.

合作探究

一、探究过程  

探究点1：平方差公式

问题   观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？

【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.

试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？

剩余部分的面积为：____________， 

新长方形的面积为：____________，

则有等式为：___________________.     

例1利用平方差公式计算：

(1)(x－5)(x＋5)；         (2)(－a－b)(b－a)；    （3）（x+1）（﹣x+1）.

【针对训练】计算：(1)(a－1)(a＋1)；   (2)(2m＋3n)(2m－3n)．

【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；

(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

例2先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.

【针对训练】先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝.

探究点2：平方差公式的应用

例3计算:(1) 51×49；    (2)59.8×60.2.

【方法总结】根据平方差公式的特征，合理变形后，可以简化运算.例如（1）中的51可以化为（50+1），49可以化为（50-1）.

例4王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续以原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．

二、课堂小结

当堂检测

1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)

  A．(x＋y)(x＋y)      B．(－x＋y)(x－y)   C．(－x－y)(y－x)    D．(x＋y)(－x－y)

2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（　　）

  A．4x4-1            B．2x4-1            C．4x2-1             D．4x4+1

3.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．

   图1               图2

4.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y=        .

5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差

是________．

6.利用平方差公式计算：

（1）(a+3b)(a- 3b)；      （2）(3+2a)(－3+2a)；   （3）(－2x2－y)(－2x2+y).

9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？

参考答案

自主学习

一、知识链接

乘以   相加

二、新知预习

算一算：①x2-1   ②m2-4    ③4m²-2m+2m-1  4m²-1  

合作探究 

一、探究过程

探究点1：

问题   解：都是二项式乘二项式，得到二项式，而且两个多项式只有中间的符号不一样.             

【要点归纳】a²-b²    平方差

试一试：a²-b²   ( a+b)( a-b)    a²-b²=( a+b)( a-b)

例1   解：（1）原式=x2-25.   （2）原式=a2-b2.     （3）原式=1-x2.

【针对训练】解：（1）原式=a2－1.  （2）原式=4m2－9n2 . 

例2   解：原式=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2，当x=1，y=2时，原式=5×12-5×22=-15．

【针对训练】解：原式=1-9x2+9x2+2x-1=2x，当x=时，原式=1.

探究点2：

例3   解：（1）原式=(50+1)×(50-1)=50²-1=2499.  

（2）原式=(60-0.2)×(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96.

例4   解：李大妈吃亏了.理由如下：因为原正方形土地的面积为a2平方米，改变边长后土地的面积为（a+4）（a-4）=a2-16（平方米）.∵a2＞a2-16，∴土地面积减少了．∴李大妈吃亏了．

当堂检测    

1.C    2.A    3.(a+b)(a−b)=a2- b2       4.2       5.10 

6.解：（1）原式=a2-9b2.  （2）原式=4a2－9.   （3）原式=4x4－y2.

7.解：（1）原式=1.    （2）原式=a4-16.

8.解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1，当x=2时，原式=7．

9.解：（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-（9-n2）=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）．因为n为任意正整数，所以n2-1为整数.所以整式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值一定是10的整数倍．