沪教版数学九年级上册 21.3二次函数与一元二次方程 教案

这是一份沪教版数学九年级上册 21.3二次函数与一元二次方程 教案，共5页。

第21章　二次函数与反比例函数
21.3　二次函数与一元二次方程
教学目标
1.了解二次函数与一元二次方程的关系；
2.能够运用二次函数与一元二次方程的关系用图象法求一元二次方程的近似解；
3.提高学生运用数学知识和方法解决问题的能力.
教学重难点
重点：二次函数与一元二次方程的关系.
难点：能够运用二次函数与一元二次方程的关系用图象法求一元二次方程的近似解.
教学过程
复习巩固
【问题】
1.你还记得一次函数图象与一元一次方程、一元一次不等式的关系吗？
请观察下图回想，一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解，请同学口述一次函数图象与一元一次不等式的关系.

2.一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系.

探究新知
【活动】(引导学生求解方程并观察图象)观察：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有,公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少？由此,你能得出相应的一元二次方程的解吗？
(1)y＝x2+x-2；
(2)y＝x2-6x+9；
(3)y＝x2-x+1.

(1)令y＝0，得x2+x-2＝0，
解得x1＝1，x2＝-2，
∴抛物线y＝x2+x-2与x轴有两个公共点，公共点的横坐标分别是1和-2，当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0.
(2)令y＝0，得x2-6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，
∴抛物线y＝x2-6x+9与x轴有一个公共点，公共点的横坐标是3，当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0.
(3)令y＝0，得x2-x+1＝0，
∵b2-4ac＝(-1)2- 4×1×1＝-3＜0，
∴方程x2-x+1＝0没有实数根，
∴抛物线y＝x2-x+1与x轴没有公共点.
【总结】1.二次函数与一元二次方程之间的关系：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根；反过来，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解就是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标，即若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0).
2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点b2-4ac>0；
(2)有一个交点b2-4ac＝0；
(3)没有交点b2-4ac<0.
【互动】再通过列表说明二次函数与一元二次方程的关系，由学生来作答：
判别式
b2-4ac
二次函数
y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点情况
图象
一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点(x1,0)，(x2,0)

有两个不同的解x＝x1，x＝x2
b2-4ac＝0
与x轴有唯一一个交点

有两个相等的解x1＝x2＝
b2-4ac<0
与x轴没有交点

没有实数解

【探究】(学生动手，老师可用几何画板演示)
利用二次函数的图象求方程x2+2x-1＝0的实数根(精确到0.1).
步骤: (1)先作出图象；
(2)写出交点的坐标：(-2.4，0)、(0.4，0)；
(3)得出方程的解：x1＝-2.4，x2 ＝0.4.

【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程近似解的一般步骤：
(1)先用描点法作出二次函数的图象，根据二次函数的图象与x轴交点的位置确定一元二次方程的解的大致范围；
(2)再用逼近法求方程的近似解.
注意：(1)确定点的位置时，要注意y值有正有负；(2)要注意精确度的要求.
课堂练习
1.抛物线y＝x2+2x-3与x轴交点情况的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知抛物线y＝ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,抛物线与x轴的交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不确定
3.根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y＝ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09

判断方程ax2+bx+c＝0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A.3 C.3.24 4.已知二次函数y＝2x2-mx-m2.
(1)求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
(2)该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标.

参考答案
1.C 2.C 3.C
4.(1)证明：由题意知Δ＝(-m)2-4×2×(-m2)＝9m2.
∵ m2≥0，∴ Δ≥0，
∴ 对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点.
(2)解：把(1，0)代入二次函数表达式，得0＝2-m-m2，
解得m1＝-2，m2＝1.
当m＝-2时，二次函数表达式为y＝2x2+2x-4.
令y＝0，得2x2+2x-4＝0，
解得x1＝1，x2＝-2.
∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(-2，0).
又∵ A点坐标为(1，0)，则B(-2，0).
当m＝1时，同理可得B .
课堂小结
学生自我评价，教师补充.

布置作业
教材P33练习第3，4题，P34第2，5题.
板书设计

判别式
b2-4ac
二次函数
y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点情况
图象
一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)

有两个不同的解x＝x1，x＝x2
b2-4ac＝0
与x轴有唯一一个交点

有两个相等的解x1＝x2＝
b2-4ac<0
与x轴没有交点

没有实数解

教学反思




































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