沪教版（五四学制）数学八年级上册 19.7 直角三角形全等的判定 练习（含解析）

这是一份沪教版（五四学制）数学八年级上册 19.7 直角三角形全等的判定 练习（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

19.7直角三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，判定△ABD和△CDB全等的依据是（　　）

A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC≅△DCB，则证明全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则下列结不正确的是（　　）


A．DE＝DB B．AE＝AB C．∠ADE＝∠ADB D．ED+BD＝BC
4．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
5．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
6．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）

A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
7．如如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，AC=6cm，则BE的长度是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在三角形ABC中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（ ）．

A．①②③ B．①② C．① D．①③
9．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，，，，则_________．

12．在直角中，，是的平分线，交于点，于点，若，则的周长为______．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______．

14．如图，点在上，于点，交于点，．若°，则=_________．

15．如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝_____cm时，能使△ADE和△ABC全等．

三、解答题
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．

17．四边形中，，于，于，CB=CD．


（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠CFA的度数．

19．如图1，已知A，E，F，C在同一条直线，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD．

（1）求证：DB平分EF；
（2）若△DEC的边EC沿AC方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】
根据已知条件进行推理证明，从而确定判定依据即可．
【解析】
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
即：△ABD和△CDB均为直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，

∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
∴判定△ABD和△CDB全等的依据是HL，
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，能够准确分析题干信息，掌握每一种判定定理的区别和应用场景是解题关键．
2．D
【分析】
根据全等三角形的判定定理即可得解．
【解析】
证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等全角三角形的判定．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键．
3．D
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=BD，再证明△ABD≌△AED，故可判断．
【解析】
∵AD平分∠BAC，∠B＝90°，DE⊥AC
∴DE=BD，A正确；
∵AD=AD，∠ABD=∠AED
∴△ABD≌△AED（HL）
∴AE=AB，∠ADE＝∠ADB ，BC正确；
∵ED+BD≠BC，故D不正确
故选D．
【点睛】
此题主要考查全等三角形与角平分线的性质，解题的关键是根据题意证明三角形全等．
4．D
【分析】
根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解析】
解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
5．D
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，直角边对应相等，根据HL全等三角形的判定定理缺少斜边即可．
【解析】
解：添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴ (HL)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
6．B
【分析】
根据题意可得，，，根据全等三角形的判定方法，即可求解．
【解析】
解：根据题意可得，，，
根据全等三角形的判定方法可得
故选B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是根据题意找到相等的量，再根据全等三角形的判定方法求解．
7．B
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DC，证明Rt△AED≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质得到AE=AC=6cm，结合图形计算，得到答案．
【解析】
解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．B
【分析】
易证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．
【解析】
解：如图，

在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR=AS，①正确；
∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AB，②正确，
∵△BRP和△QSP中，只有PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．　　　　
故选：B．
【点睛】
本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角平分线，从而判定三个选项的正确与否．
9．C
【分析】
由题意易得，然后可判定①，进而可证，最后可求解问题．
【解析】
解：∵平分，，，
∴，，
∴，故①正确；
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，故②正确；
∴垂直平分，故③正确；
由已知及①②③的结论无法得出垂直平分，故④错误；
∴正确的个数有3个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．
10．D
【分析】
过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解析】
解：①过点P作PD⊥AC于D，

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．50°
只需要证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠1=∠CAD=40°，则∠2=90°-∠CAD=50°．
【解析】
解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD=40°，
∴∠2=90°-∠CAD=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
12．10
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10，即可得出答案．
【解析】
解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE
=AC+CE
=AB+CE
=BE+CE
=BC，
∵BC=10，
∴△DEC的周长是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．
13．8cm
【分析】
连接，证明进而可得，进而即可求得△ADE的周长．
【解析】
连接，

，






△ADE的周长是cm
故答案为：
【点睛】
本题考查了HL证明三角形全等以全等三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
14．55°
【分析】
根据HL可证得Rt△BDE≌△Rt△CFD，从而得到∠BDE=∠CFD=35°，即可求解．
【解析】
解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∵∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=55°．
故答案是：55°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，能根据HL证得Rt△BDE≌△Rt△CFD是解题的关键．
15．8或4##4或8
【分析】
根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度．
【解析】
∵AC⊥BC，AP⊥AC，
∴∠ACB＝∠EAD＝90°，
∵DE＝AB，
∴当AD＝AC＝8cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB；
当AD＝BC＝4cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CBA；
综上所述，当AD＝8cm或4cm时，△ADE和△ABC全等．
故答案为：8或4．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要注意这里有两种情况．
16．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；
（2）根据DE＝DF，得，代入计算即可．
【解析】
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴，
∵AB+AC＝10，
∴DE＝3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
17．（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）通过“”即可求证；
（2）通过“”求证，再根据线段之间的关系即可求解．
【解析】
（1）证明：∵，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠EBC；
∵于，于，
∴∠E=∠DFC；
又∵CB=CD
∴
（2）解：由（1）得CE=CF，BE=DF=2
∵∠E=∠DFC=90°，AC=AC，
∴
∴AF=AE
∴AF=AE=AB+BE=AB+DF=5
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质．
18．（1）证明见解析；（2）∠ACF=60°．
【分析】
（1）利用“”证明三角形全等即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质，求解即可．
【解析】
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．
19．（1）见解析；（2）成立，理由见解析
【分析】
（1）由AE=CF可得出AF=CE，结合AB=CD即可证出Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），根据全等三角形的性质可得出BF=DE，结合对顶角相等及∠BFO=∠DEO=90°即可证出△BOF≌△DOE（AAS），再根据全等三角形的性质可得出EO=FO，即DB平分EF；
（2）同（1）可证出Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）、△BOF≌△DOE（AAS），再根据全等三角形的性质可得出EO=FO，即DB平分EF．
【解析】
解：（1）∵AE=CF，
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO=FO，
∴DB平分EF．
（2）DB平分EF成立，理由如下：
∵AE=CF，
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO=FO，
∴DB平分EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出△BOF≌△DOE是解题的关键．