2升3奥数拓展：集合问题-数学三年级上册人教版

2升3奥数拓展：集合问题-数学三年级上册人教版

一、选择题

1．三年级共有33人参加数学竞赛。有两道画图题，做对第1题的有28人，做对第二题的有16人，两道题都做对的有（    ）人。（33人中每人至少做对1题）

A．5 B．17 C．11

2．在两次数学测验中，第一次得100分的有8人，第二次得100分的有15人，两次都得100的有3人。这两次测验一共有（    ）人得了100分。

A．20 B．11 C．23 D．18

3．同学们去动物园参观，每人至少参观了大象馆和猴子馆中的一个馆，参观大象馆的有10人，参加猴子馆的有15人，两个馆都参观的有6人。一共有（    ）人去动物园参观。

A．25 B．19 C．31

4．三年级1班有40名学生，25名学生参加音乐小组，23名学生参加美术小组，两个小组都参加的学生有（    ）人。

A．8 B．15 C．17

5．冬奥会期间，爸爸观看的项目有花样滑冰、短道速滑、冰球、冰壶、速度滑冰、钢架雪车；妈妈观看的项目有雪橇、短道速滑、速度滑冰、冰球、越野滑雪、钢架雪车。爸爸和妈妈一共观看了（    ）个项目。

A．12 B．10 C．8

6．两个木条长分别是60厘米和80厘米，重叠部分长10厘米，连接起来总长度是（    ）。

A．140厘米 B．130厘米

C．120厘米 D．110厘米

二、填空题

7．请你把3、4、5、6、7、8、9这七个数填入下图中，使下面两个大椭圆中的四个数的和都相等。

8．301班有42人，每人至少订一种刊物，订《漫数学家的故事》的有35人，订《科技世界》的有25人，两种刊物都订的有(      )人。

9．学生排队做核酸，从前面数小妮是第6个，从后面数小妮是第6个，这一队共有(      )人。

10．301班有42人，两次数学测试的结果如下：第一次测试得100分的同学的学号是1、11、16、18、24、30、37，第二次测试得100分的同学的学号3、4、16、19、24、31、37、42。

(1)第一次得100分的有(      )人。

(2)第二次得100分的有(      )人。

(3)两次都得100分的有(      )人。

(4)只有一次得100分的有(      )人。

11．动物聚会上，各种动物报名参加唱歌和跳舞的情况如下；

12．三（1）班同学会下围棋的有15人，会下象棋的有20人，既会下围棋又会下象棋的有10人，两样都不会的有12人。三（1）班一共有(        )人。（可画图解决）

13．学校乐队招收了42名新学员，所有人至少会小提琴和电子琴中的一种，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名。两项都会的有(        )名。

14．同学们到游乐园游玩，玩旋转木马的有37人，玩碰碰车的有44人，旋转木马和碰碰车都玩的有24人。

（1）填写如图。

（2）去游乐园的一共有（    ）人。

三、解答题

15．买文具。

（1）小刚买的文具有（    ）种，小娜买的文具有（    ）种，小刚和小娜买的相同的文具有（    ）种。

（2）两人一共买了（    ）种文具。

方法一：    

方法二：列式解答：

16．下面是三年级美术素养和舞蹈素养的学生名单。

美术素养：赵丹、刘琳、王明、李晓慧、赵佳妮、李俊峰、张家硕，舞蹈素养：李晓慧、李晓晓、牛晓彤、赵佳妮、王珊珊、高璐。

（1）请把名单填在合适的圈里。

（2）美术素养和舞蹈素养一共有多少人？

17．在下面的圈中填上合适的数。

（1）两个圈里都出现的数有多少个？请你用画图的方法表示出来。

（2）你还能提出其他的数学问题并解答吗？

18．三（5）班参加作业比赛的有16人，参加奥数比赛的有7人。请问全班同时参加作文比赛和奥数比赛的最多可能有多少人？最少可能有多少人？为什么？

19．同学们组织跳绳和跑步比赛（每人至少参加一项）。参加跳绳比赛的有28人，参加跑步比赛的有34人，两种比赛都参加的有14人。

（1）完成下面的图。

（2）参加比赛的一共有多少人？

（3）请自己提出一个数学问题并解答。

20．五（1）参加合唱小组的同学有：李新宇，杨梅林，黄洋洋，杨博然，万耀志，罗浩文，程嘉阳，陈勋，潘昌杰，姚盼盼，参加美术小组的同学有：赵语涵，张倩倩，蔡诗琪，徐丽娟，李新宇，万耀志，罗红，罗浩文，宋玲玲，杨奇峰，薛德成，李家政。

（1）既参加合唱又参加美术的有（    ）人。

（2）五（1）参加两个小组一共有多少人？

参考答案：

1．C

【分析】用做对第1题的人数加做对第2题的人数，减全班人数，就是两道题都做对的有几人。

【详解】28＋16－33

＝44－33

＝11（人）

故答案为：C

【点睛】本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是两道都对的重叠部分，知识点是：既A又B＝（A＋B）－总人数。

2．A

【分析】用第一次得100分的人数加上第二次得100分的人数，减去两次都得100的人数，求出这两次测验一共有多少人得了100分。

【详解】8＋15－3＝20（人）

这两次测验一共有20人得了100分。

故答案为：A

【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。

3．B

【分析】参观大象馆的人数＋参观猴子馆的人数－两个馆都参观的人数＝去动物园参观的总人数；代数解答。

【详解】根据分析：10＋15－6＝19（人），所以一共19人去动物园参观。

故答案为：B

【点睛】此题主要考查了容斥原理的实际应用。

4．A

【分析】先用25加23求出参加音乐小组的和参加美术小组的人数和，再减去总人数40就是重复计算的人数，也就是两个小组都参加的人数。

【详解】25＋23－40

＝48－40

＝8（人）

两个小组都参加的学生有8人。

故答案为：A

【点睛】此题考查集合问题的灵活应用，也可借助图形解决问题。

5．C

【分析】根据题意可知，爸爸观看的项目个数＋妈妈观看的项目个数－爸爸和妈妈都观看的项目个数＝爸爸和妈妈一共观看的项目个数，依此计算并选择。

【详解】爸爸和妈妈都观看了：短道速滑、速度滑冰、冰球、钢架雪车；

6＋6－4

＝12－4

＝8（个）

即爸爸和妈妈一共观看了8个项目。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握集合问题的计算方法，是解答此题的关键。

6．B

【分析】将两个木条的长度相加，再减去重叠部分的长度，求出连接起来总长度。

【详解】60＋80－10＝130（厘米）

连接起来总长度是130厘米。

故答案为：B

【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。

7．见详解

【分析】总共有7个数，每个大椭圆中有4个数，两个大椭圆中数的个数相加等于8，8减7等于1，说明重叠部分只有1个数，把8放入重叠部分，还剩下3、4、5、6、7、9，剩下的数分成3、5、9和4、6、7两组相等数，分别放入两个大椭圆中即可。

【详解】

（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查学生对集合知识的理解和灵活运用。

8．18

【分析】已知301班有42人，每人至少订一种刊物，订《漫数学家的故事》的有35人，订《科技世界》的有25人，则两种都订的人数等于订《漫数学家的故事》的人数加订《科技世界》的有25人数减总人数，据此解答。

【详解】35＋25－42

＝60－42

＝18（人）

所以两种刊物都订的有18人。

【点睛】理解容斥原理的概念及各数据的计算方法是解答本题的关键。

9．11

【分析】已知从前面数小妮是第6个，从后面数小妮是第6个，则小妮前面和后面均有5人，再加上小妮自己1人即为总人数。

【详解】5＋5＋1

＝10＋1

＝11（人）

所以这一队共11人。

【点睛】本题考查集合问题，明确各数据之间的关系是解答本题的关键。

10．(1)7

(2)8

(3)3

(4)9

【分析】（1）第一次测试得100分的同学的学号分别是：1、11、16、18、24、30、37，共7人；

（2）第二次测试得100分的同学的学号分别是：3、4、16、19、24、31、37、42，共8人；

（3）通过观察可知两次都得100分的为：16、24、37，共3人；

（4）两次得100分的人共有（7＋8）人，减去其中两次都得100分的人，即可解答。

【详解】（1）第一次得100分的有7人；

（2）第二次得100分的有8人；

（3）两次都得100分的有3人；

（4）7＋8－3×2

＝15－6

＝9（人）

只有一次得100分的有9人。

【点睛】解答本题的关键是要注意分析所给条件，然后根据所给条件填空。

11．见详解

【分析】根据表格可知，只参加唱歌的有：小鸟、老虎、狮子；只参加跳舞的有：公鸡、小马、猴子；唱歌和跳舞都参加的有：小狗、小兔、小猫、小鹿，依此填图即可。

【详解】根据分析，填图如下：

【点睛】熟练掌握集合问题的特点，是解答此题的关键。

12．37

【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去既会下围棋又会下象棋的人数即可；据此解答。

【详解】根据分析：15＋20＋12－10＝37（人），所以三（1）班一共有37人。

【点睛】本题考查了集合问题的实际应用。

13．5

【分析】根据“会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名”可得两者的总人数，这其中把两项都会的人数多计算了一次，所以，会拉小提琴的人数＋会弹电子琴的人数－乐队招收新学员的总人数＝两项都会的人数，依此列式并计算即可。

【详解】25＋22－42

＝47－42

＝5（名）

即两项都会的有5人。

【点睛】熟练掌握集合问题的计算方法，是解答此题的关键。

14．（1）13；24；20

（2）57

【分析】（1）只玩旋转木马的有（37－24）人，只玩碰碰车的有（44－24）人，再填入集合图中。

（2）用玩旋转木马的人数加上玩碰碰车的人数，再减去旋转木马和碰碰车都玩的人数，求出去游乐园的总人数。

【详解】（1）37－24＝13（人）

44－24＝20（人）

（2）37＋44－24＝57（人）

去游乐园的一共有57人。

【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。

15．（1）6；6；2

（2）10  

方法一：4；2；4

方法二：6＋6－2＝10（种）

【分析】（1）根据题图可知，小刚买了6种文具，小娜买了6种文具，两人买相同的文具是2种，分别是橡皮和钢笔。

（2）第一种方法：只有小刚买的文具种数是（6－2）种，只有小娜买的文具种数是（6－2）种。据此完成集合图，用只有小刚买的文具种数加上只有小娜买的文具种数，再加上两人买相同的文具种数，求出两人一共买文具种数。

第二种方法：用小刚买文具种数加上小娜买文具种数，再减去两人买相同的文具种数，求出两人一共买文具种数。

【详解】小刚买的文具有6种，小娜买的文具有6种，小刚和小娜买的相同的文具有2种。

（2）两人一共买了10种文具。

方法一：6－2＝4（种）

4＋2＋4＝10（种）

方法二：6＋6－2＝10（种）

【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。

16．（1）见详解；（2）11人

【分析】（1）把喜欢美术素养的学生名单填到美术素养圈里，把喜欢舞蹈素养的学生名单填到舞蹈素养圈里，把两种素养都喜欢的学生名单填到两个圈的重叠部分。

（2）喜欢美术素养的人数加上喜欢舞蹈素养的人数，减去两种素养都喜欢的人数，即等于美术素养和舞蹈素养一共的人数。

【详解】（1）

（2）7＋6－2

＝13－2

＝11（人）

答：美术素养和舞蹈素养一共有11人。

【点睛】熟练掌握集合知识是解答本题的关键。

17．（1）9个；图见详解过程

（2）问题：两个圈里一共有多少个数？；29个（答案不唯一）

【分析】（1）先写出大于20小于40的数和大于30小于50的数，再在两个圈的重合部分里写出相同的数，即可解答；

（2）可以提出不同的问题，例如：两个圈里一共有多少个数？把大于20小于40的数的个数加上大于30小于50的数的个数，再减去既是大于20小于40的数，又是大于30小于50的数的个数即可求解。

【详解】（1）大于20小于40的数有：21；22；23；24；25；26；27；28；29；30；31；32；33；34；35；36；37；38；39；

大于30小于50的数有：31；32；33；34；35；36；37；38；39；40；41；42；43；44；45；46；47；48；49；

都有的数是：31；32；33；34；35；36；37；38；39；

如图所示：

两个圈里都出现的数有9个。

（2）问题：两个圈里一共有多少个数？

19＋19－9

＝38－9

＝29（个）

答：两个圈里一共有29个数。（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查学生对集合问题的灵活应用，以及掌握情况。

18．7人；0人（原因见详解）

【分析】如果参加奥数比赛的人都参加了作业比赛，这时全班同时参加作文比赛和奥数比赛的人最多；如果参加奥数比赛的人都没有参加作业比赛，这时全班同时参加作文比赛和奥数比赛的人最少；据此即可解答。

【详解】最多有7人，参加奥数比赛的人都参加了作业比赛，这时全班同时参加作文比赛和奥数比赛的人最多，等于参加奥数比赛的人数；最少有0人，参加奥数比赛的人都没有参加作业比赛，这时全班没有人同时参加作文比赛和奥数比赛。

【点睛】熟练掌握集合知识是解答本题的关键。

19．（1）见详解

（2）48人

（3）参加跑步的人数比参加跳绳的人数多多少人？

6人

【分析】（1）两项都参加的有14人，那么只参加跳绳比赛的28－14＝14人，只参加踢毽子比赛的34－14＝20人，然后分别把三部分的人数填入图中即可。

（2）根据题意可知，参加跳绳比赛的人数＋参加踢毽子比赛的人数－两项都参加的人数＝参加跳绳和踢毽子比赛的一共的人数，依此列式并计算。

（3）可以提出：参加跑步的人数比参加跳绳的人数多多少人？然后用减法计算即可。

【详解】（1）  

（2）28＋34－14

＝62－14

＝48（人）

答：参加比赛的一共有48人。

（3）参加跑步的人数比参加跳绳的人数多多少人？（答案不唯一）

34－28＝6（人）

答：参加跑步的人数比参加跳绳的人数多6人。

【点睛】此题考查利用集合原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。

20．（1）3

（2）一共有19人。

【分析】（1）找出合唱小组的学生名单中与美术小组的学生名单中相同的名字，数一下即可；

（2）用合唱小组的学生数加美术小组的学生数，再减去既参加合唱又参加美术的学生数即可；

【详解】（1）由图可知，既参加合唱又参加美术的有3人。

（2）10＋12－3

＝22－3

＝19（人）

答：五（1）参加两个小组一共有18人。

【点睛】本题主要考查的是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A＋B－既A又B。