广东省2021届高三10月联考高三数学

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一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 已知集合 A  x | x  2 1， B  3, 1, 0,1,3，则 AB  （）
A 3, 1B 1, 0,1
2. 已知i 为虚数单位，复数 z 
1 3i 3  i
C 0,1
， 则 z  （）
D 1, 3
2
10
A 1B 2C 2D
3. 已知向量a  1, 2， b  2, m，且a  b/ /a ，则m 的值为（）
A 1B 1C 4D 4
已知等差数列an 的前n 项为 Sn ， S2n  6 ， S3n  12 ，则 Sn 的值为（）
A 2B 0C 3D 4
如图，在一个凸四边形 ABCD 内，顺次连接四边形各边中点 E, F,G, H 而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形. 如图，现有一个面积为12 的凸四边形 ABCD ，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 A1B1C1D1 ，记其面积为a1 ，
四边形为 A1B1C1D1 对应的瓦里尼翁平行四边形为 A2 B2C2 D2 ，记其面积为 a2 ,
，依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形 A4 B4C4 D4 的面积为（）

A 1B4
27
3
CD 不确定
4
6. 已知cs（+ eq \f(,3) ）  cs  1，则sin(eq \f(,3)  （）
3
3

13
ABCD
333
在(eq \f(x,2)  y )x  y6 的展开式中， x3 y4 的系数是（）
A 20B 15
2
C 5 D eq \f(25,2)
已知函数 f x eq \f(1,x -1) 2sin  x，则函数 f x在2, 4上的所有零点的和为（）
A 6B 8C 6D 8
二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
2019 年女排世界杯是由国际排联（FIVB）举办的第13 届世界杯赛事，比赛于2019 年9 月
14日至9 月29 日在日本举行，共有12 支参赛队伍. 最终，中国女排以11战全胜且只丢3 局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军. 中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号. 以下是本届世界杯比赛最终结
果的相关数据，记前6 名球队中，每个队的胜场数为变量 x ，积分为变量 y ，（只列出了前
排名
1
2
3
4
5
6
胜场数 x
11
10
8
7
6
6
积分 y
32
28
23
21
19
18
6 名）.
若 y 与 x 之间具有线性相关关系， 根据表中数据可求得 y 关于 x 的回归直线方程为
y  2.59x  a ，则下列说法正确的有（）
A a 的值为2.78B a 的值为2.1
C 若整队在此次比赛中获胜的场数是4 ，根据线性回归方程其得分为13 分（精确到整数）
D 由线性回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59 分
已知定义在R 上的函数 f x满足 f x  f 'x，则下列式子成立的是（）
A f 2019  ef 2020B ef 2019  f 2020
C f x是R 上的增函数D 若t  0 ，则有 f x  et f x  t 
已知椭圆C : eq \f(x2,a2)+\f(y2,b2)  1a  b  0的左、右端点分别为 A, B ，点 P, Q 是椭圆C 上关
于原点对称的两点（异于左右端点），且kPA kPB  eq \f(3,4)，则下列说法正确的有（）
A. 椭圆C 的离心率不确定B. 椭圆C 的离心率为eq \f(1,2) C. kPA kQB的值受点 P, Q 的位置影响 D.cs APB 的最小值为eq \f(1,7)
如图，已知 a, b 是相互垂直的两条异面直线，直线 AB 与 a, b 均相互垂直，且 AB  2 ，
动点 P, Q 分别位于直线a, b 上，若直线 PQ 与 AB 所成的角 eq \f(,4) ，线段 PQ 的中点为M，P A a
下列说法正确的是（）
2
PQ 的长度为2
M
b
B
Q
α
PQ 的长度不是定值
点 M 的轨迹是圆D 三棱锥 A BPQ 的体积为定值
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．）
已知函数 f x  ex  2x ，则函数 f x在点0, f 0处的切线方程为 .
已知点O 为圆锥 PO 底面的圆心，圆锥 PO 的轴截面为边长为2 的等边三角形 PAB ，则圆锥 PO 的外接球的表面积为 .
如图是一公路隧道截面图，下方 ABCD 是矩形，且 AB  4m ，BC  8m ，隧道顶 APD 是一圆弧，拱高OP  2m ，隧道有两车道 EF 和 FG ，每车道宽3.5m ，车道两边留有0.5m 人行道 BE 和GC ，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6m 的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是 m .（精确到0.01m ，eq \r(51) 7.141）.
1 ax,
已知函数 f x 
x  0
有三个互不相同的零点 x1 , x2 , x3，则a 的
a  x 1a  ex , x 0
取值范围是 ； x1 x2 x3 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
给出一下两个条件：①数列an为等比数列，且an+1 an  3 2n ， ②数列an 的首
1
项 a  2 ，且an+1 an  2n . 从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题（如果选择
多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设数列bn满足bn  lg2an，求数列{eq \f(1,bnbn+1)} 的前n 项和Tn .
如图，在ABC 中， AD 是BAC 的角平分线， BD  5 ， AB  7 ， ADB =120.
（1）求 AD 的长；
（2）求ADC 的面积.
某商场为回馈消费者，将对单次消费满100 元的顾客进行抽奖活动. 为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖. 如图，在数轴点O 处有一个棋子，顾客有两次游戏机会， 在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9 时，棋子向前（右）进一位；若两粒骰子的点数之和小于5 时，棋子向后（左）走一位；若两粒骰子点数之和为5
到9 时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为 X ，若 X  2 ，则该顾客获得
价值100 元的一等奖；若 X  1，则该顾客获得价值10 元的二等奖；若 X  0 ，则该顾客不得奖.
（1）求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率；
（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.
如图，四边形 PBCA 为直角梯形， PB  PA， PA / /BC ， AB  AC ，
PAB  ABC eq \f(,3) ,点 D 为 BC 上一点，且 BD  3CD ，如图，将PBA 绕 AB 边翻折
形成三棱锥 P  ABC .
（1）证明：在三棱锥 P  ABC 中， AB  PD ；
（2）求三棱锥 P  ABC 体积的最大值，并求此时 PC 与面 ABC 所成角的正弦值.
已知点 F 1, 0，点 P 到点 F 的距离比点 P 到 y 轴的距离多1，且点 P 的横坐标非负， 点 M 1, mm  0 .
（1）求点 P 的轨迹C 的方程；
（2）过点 M 作C 的两条切线，切点为 A, B ，设 AB 的中点为 N ，求直线 MN 的斜率.
已知函数 f x  ln x  1 ax2 1.
2
（1）讨论函数 f x的单调性；
（2）当a  1时，设函数 f x的两个零点为 x1 , x2 ，试证明： x1  x2  2 .