高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案设计

1.4充分条件与必要条件(导学案)

【学习目标】

1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)

2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)

【自主学习】

知识点一　命题

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以                     的陈述句.

2、命题的真假：判断为真的语句是           ；判断为假的语句是           .

注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题.

3、命题的形式：可写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.

其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.

问题1：下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）3≥3．

（2）3能被2整除吗？

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（4）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.

（5）若，则x=1.

知识点二　充分条件与必要条件

知识点三　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个      条件．

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个      条件．

注意：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．

若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．

(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．

(3)对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．

①“若，则”为真命题；    ②是的充分条件；    ③是的必要条件

以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．

知识点四　充分条件、必要条件与集合的关系

设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}

知识点五　充要条件

1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有     ，又有      ，就记作       ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为      条件．

2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为     条件．

【经典例题】

考点一  充分条件、必要条件的判断

角度1 定义法

例1“且”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【跟踪训练】

1、“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（      ）

A．充分条件     B．必要条件      C．充要条件      D．既不是充分条件也不是必要条件

2、 俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的(　　)

A．充分条件     B．必要条件     C．既不充分又不必要条件   D．无法判断

角度2 集合法

例2 “ 0< x <2”成立是“”成立的（       ）条件

A．充分不必要  B．必要不充分 C．充要     D．既不充分也不必要

【跟踪训练】设集合，集合，那么“”是“”的（       ）

A．充分条件      B．必要条件      C．充要条件      D．既不充分又不必要条件

角度3 递推法

例3 已知是的必要不充分条件，s是的充分且必要条件，那么s是成立的（          ）

A．必要不充分条件 B．充要条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

 【跟踪训练】

设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （       ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件    C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

【方法总结】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法：

(1)  定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p ”的真假．

(2)  集合法：利用集合的包含关系判断．

(3)  等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(4)  传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．

考点二 充分、必要条件的选择

例4（多选）（2023高一限时训练）“”的一个充分不必要条件可以是（      ）

A． B． C． D．

【跟踪训练】

1、使不等式成立的一个充分不必要条件是（        ）

A． B． C． D．

2、（2023黑龙江大庆外国语学校高一考试）“”成立的一个必要不充分条件的是（        ）

A．  B．           C． D．

考点三 根据充分条件求参数取值范围

例5 （2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合，．

(1)  若，求；

(2)  若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【跟踪训练】已知集合，或．

(1)  当时，求；

(2)  若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【方法总结】 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：

(1)    根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．

(2)    根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．

考点四 充要条件的证明

例6求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是

【方法总结】

1．根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．

一般地，证明“p成立的充要条件为q ”；

(1)  充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；

(2)  必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.

解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．

2．在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．