宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析

这是一份宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020第一学期高三9月考数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合，再根据补集的概念，即可得出结果.
【详解】因为，
又，
则.
故选：D.
【点睛】本题主要考查求集合的补集，涉及不等式的解法，属于基础题型.
2. 已知命题对，，成立，则在上为增函数；命题，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的性质分别判断命题的真假再判断各选项的真假即可.
【详解】命题当时,因为故；当时,因为故；故随的增大而增大.故命题为真.
命题,因为.故命题为假命题.
故为真命题.
故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与函数的性质运用,属于基础题.
3. 点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义直接求点的坐标.
【详解】由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题型.
4. 已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以由于与平行，得，解得.
5. 在中，，，且，则（ ）
A. 1 B. C. -2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法则，化简得，再结合，求得的值，即可求解.
【详解】由题意在中，，，
根据向量的线性运算法则，可得：
，
又由，所以，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6. 在△中，若，则△为（）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.
【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
7. 中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件和余弦定理得到，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】由条件可知：，①
由余弦定理可知：，②
所以由①②可知，，即，
则的面积为.
故选：B
【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简已知可得,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函
数公式化简所求即可计算得解.
【详解】，

.
故选：D.
【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察角的特点，再进行配凑.
9. 函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（ ）

A. 2 B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得出周期，求出；再由最大值点求出，进而可得出结果.
【详解】由题意可得，，，则；所以，
又，即，则，
因此，
又，所以，故，
因此.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由三角函数的图形求解析式，考查求三角函数值，属于常考题型.
10. 下列关于函数说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是π
C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】
，然后运算正切函数知识可逐一判断.
【详解】函数无单调递增区间和对称轴，A、D错误
其最小正周期是，故B错误
在处无意义，故其图象关于点成中心对称，故C正确
故选：C
【点睛】本题考查的是正切型函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
11. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】由题意，令，则，
即函数的单调递减区间为，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，所以，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由正弦型函数单调性求参数，熟记正弦函数单调性即可，属于常考题型.
12. 已知函数满足，且当时，，函数 ，则函数在区间上的零点的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
由，可得的周期为，结合的解析式，可画出其在上的图像，由图像可得，在上有个交点，在上有个交点，在区间（1,2）需证明总有，即可得到在（1,2）只有一个交点，即可得答案.
【详解】
因为，
所以为周期函数，且周期为，
结合时，可得在上的图象（如图所示），
又在上的图象如图所示，
则在上的图象有个交点，在上有个交点，
下面证明：当时，总有.
令，则，
因为，故，故，又，
所以，所以，
所以在为增函数，所以时，即总成立.
又当时，，在上的图象有个交点
所以在上有个不同的解，
即在上有个不同的零点.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点与方程、指对数图像的应用、函数的周期性、利用导数判断函数的单调性等知识，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，考查数形结合的思想，属中档题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 设，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由复数的运算将复数化简整理，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求复数的模，涉及复数的运算，属于基础题型.
14. 已知正项数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中条件，先求出，再判断数列是以为公差的等差数列，进而可求出通项公式.
【详解】当时，由得，即，解得或，因为是正项数列，所以；
当时，由得，
则，
整理得，所以，
因此数列是以为公差的等差数列，则.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项，考查求等差数列的通项，属于常考题型.
15. 由直线，曲线以及轴所围成的图形的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意画出所围图形，求出直线，曲线的交点坐标，再由微积分基本定理，即可求出结果.
【详解】做出草图如下，

解方程组 ，得到交点为，直线与轴的交点为，
因此，由与，以及轴所求图形面积为：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由定积分求围成图形的面积，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.
16. 已知向量，，且，则在上的投影是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到，再由向量的投影的定义，结合向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因为，，，
所以，即，则，所以，
因此在上的投影是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查数量积的几何意义，考查向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17. 已知数列满足：，且，，成等差数列；
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】解：（1）数列满足：，且，，成等差数列；
所以，整理得，
故，
所以（常数），
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以，
整理得.
（2）由（1）得：，
所以
.
【点睛】本题考查等差数列性质、等比数列通项公式、分组求和法，考查运算求解能力.
18. 设函数
（1）解不等式.
（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.
（2）首先将在R上恒成立，等价于，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，，
综上所述：.
（2）在R上恒成立，
等价于即可.
因为，
所以，所以，解得.
因此，实数取值范围是.
【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式，属于中档题.
19. 如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里．

(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.
【解析】
【分析】
(Ⅰ) 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.
(Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.
【详解】(Ⅰ)由已知可得，
中，根据余弦定理求得，
∴．
(Ⅱ)由已知可得，
∴．
中，由正弦定理可得，
∴分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.
20. 己知函数
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式和辅助角公式对原式进行化简，进而求出最小正周期和单调增区间.
（2）由范围，求出的范围，利用正弦函数的性质求出值域即可.
【详解】（1）

令
即
单调增区间为
（2），则
，
所以的值域为
【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和辅助角公式、正弦型函数的最小正周期、单调区间和值域等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
21. 已知正项等比数列满足，，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的性质得出公比为，从而得出数列的通项公式，由对数的运算性质得出的通项公式；
（2）求出，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）正项等比数列的公比为，
由，，可得，解得（舍）
可得，则
（2）


两式相减可得

化简可得
【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题.
22. 设函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将代入与，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可.
（2）有两个极值点等价于有两个零点，参变分离，求出新函数的单调性，借助图像，即可得出的取值范围.
（3）原不等式等价于.即在
在上单调递减，利用在上恒成立，参变分离，借助第（2）问的结论，即可解出的取值范围.
【详解】（1）由题意知，
所以在点处的切线斜率，
则切线方程为.
（2）定义域：.
.有两个极值点.
即有两个零点，即有两个不等实根，，
令，即函数与函数有两个不同的交点
又因为，所以在（0，1）上在（0，1）上单调递增，在上单调递减，.
如图所示：
当时，，函数与函数无交点；
当时，，函数与函数仅有一个交点；
当时，因为当时，，而在（0，1）上单调递增，所以函数与函数至多在（0，1）上有一个交点；
当时，在（0，1）上单调递增，，所以函数与函数在（0，1）上仅有一个交点；在上单调递减，.所以函数与函数在上仅有一个交点；即函数与函数有两个不同交点
因此.
（3）可化为.
设，又.
在上单调递减，
在上恒成立，即.
又在（0，1）上单调递增，在上单调递减.
在处取得最大值..
.
【点睛】本题考查导函数的应用，属于中档题，需熟练掌握导数的求导规则、基础函数的导数、导数的几何意义；零点问题一般可参变分离后转化为两函数的交点问题来解；解不等式时常利用参变分离将其转化为最值问题来求解.