初中数学浙教版九年级上册3.1 圆精品课后测评

这是一份初中数学浙教版九年级上册3.1 圆精品课后测评，共23页。试卷主要包含了课前检测，考点梳理，经典练习，优化提高，重点突破等内容，欢迎下载使用。

第9讲、圆内接四边形与正多边形
一、课前检测
（一）选择题（共2小题）
1. 下列四边形中，一定有外接圆的是（ ）
A.对角线相等的四边形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
2. 已知四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C：∠D=5：m:4:n，则m，n满足的条件是（ ）
A.5m=4n B.4m=5n C.m+n=9 D.m+n=180°
（二）填空题（共4小题）
3. 已知在圆内接四边形ABCD中，AB为直径，AD=DC，∠B=40°，则∠A=_______.

第3题 第4题 第5题 第6题
4. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为_________.
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于_________.
6．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有_______个.
（三）解答题（共1小题）
7. 如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合.若点A的坐标为（-1,0），求点C的坐标.




二、考点梳理
考点一：圆内接四边形
1. 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2. 圆内接四边形的对角互补；圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角.
重要提示：
1. 要判定一个四边形是否为圆的内接四边形，关键是看这个四边形的对角是否互补.
考点二：正多边形
1. 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等.
2. 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形.
3. 正n边形的每个内角的度数为（或），每个外角的度数为.
重要提示：
1.任何正多边形都有一个外接圆.
2.能进行镶嵌平面的条件：共顶点的各多边形的内角之和等于360°；能单独镶嵌平面的正多边形只有三种，它们是正三角形、正方形、正六边形.
三、 重点突破
例1．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A.1:2:3 B.1：： C.：：1 D.无法确定
例2．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A.
B.
C.
D. （点拨：连接BM）
例3．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是_______cm.
例4． 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE.
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形.
（点拨：掌握圆内接四边形对角互补）



例5. 已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并证明.
(点拨：要分两种情况讨论)







例6. 如图，已知BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，BF、BE分别与△ABC的外接圆O交于点F、E．求证：
（1）EF是△ABC的外接圆的直径；
（2）EF是AC的垂直平分线.
（点拨：90°的圆周角所对的弦是直径和过圆心平分弧则垂直平分弦）






例7． 如图，G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数.
（点拨：正确地利用正六边形中相等的元素）





例8． 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°.延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP过圆心O，如图1，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．
（3）若AP不过圆心O，如图2，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由.












例9．已知正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E是⊙O上的一点.
（1）如图①，若点E在弧AB上，点F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，探究线段DE、BE、AE之间满足的等量关系并说明理由；
（3）如图②，若点E在弧AD上，写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）









例10． 如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且弧AB=弧BD，BM⊥AC于M，
求证：AM=DC+CM.







四、经典练习
A组
（一）选择题（共6小题）
1. 下列说法不正确的是（ ）
A.正多边形的各边都相等 B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形就是等边三角形 D.正六边形的六个内角都相等
2. 如果一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形（　 ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
3. 正六边形的边长、边心距（边到正多边形外接圆圆心的距离）、半径之比为（ ）
A.1:1： B.2:2： C.2：：2 D.：2:2
4. 若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ）
A.12 B.11 C.10 D.9
5. 只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌（　　）
A．正五边形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十边形
6. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）
A.cm B．9cm
C．cm D．cm

(二) 填空题（共2小题）
7. 点M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON= _______度.

8. 从边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中任选两种不同的正多边形，能够进行平面镶嵌的概率是_________.
（三）解答题（共2小题）
9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，求∠BAD的度数.






10. 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形.












B组
（一）选择题（共3小题）
1．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，∠E=α，∠F=β，则∠A等于（　　）
A. α+β B. C.180-α-β D.

第1题 第2题 第3题
2．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B.20 C.18 D.
3. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是弧BE的中点，则下列结论不成立的是（ ）
A. OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE
4. 如图平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．求∠BAJ′的度数为（　　）
A.96° B.108° C.118° D.126°

第4题 第5题 第6题
（二）填空题（共4小题）
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=120°，AB=AD，BC为⊙O的直径，AC=6，则CD=_________.
6． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为________.

7. 如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需________个五边形.

（三）解答题（共3小题）
8. 教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：

请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：
（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=______a（用含a的式子表示）；
（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为_______三角形；
（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形.






　





9. 已知⊙O的圆心为点O，半径为3，点M为⊙O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值.






10．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.









五、优化提高
1. 如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一块含有30°角的三角板，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（　　）

A.4 B.5 C.6 D.7

第1题 第2题 第3题
2. 如图，平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C，D的坐标分别为（1,0）和（2,0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（47，2）的是点_______.
3. 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=________.














4. 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：
甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．
乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．

（1） 如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=_______，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．






5. 如图所示，点O为正三角形ABC的高AD，BE，CF的交点，点P是△ABC所在平面上的任一点，作PL⊥AD于L，PM⊥BE于M，PN⊥CF于N．试证：PL、PM、PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和.



参考答案
一、课前检测
1. D
2. C【解答】圆内接四边形ABCD中，对角互补，
故∠A+∠C=∠B+∠D，
又∵∠A：∠B：∠C：∠D=5：m：4：n，
∴m+n=4+5=9.
3. 70°【解答】连接OD、OC，
∵∠B=40°，CO=BO，
∴∠OBC=OCB=40°，
∴∠COB=100°，∴∠COA=80°，
∵AD=DC，
∴∠AOD=∠COD=40°，∴∠A=70°
4. 54°【解答】连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°-72°）=54°.
5. 2π【解答】正方形的边长AB=2，
则半径是2×=，则面积是（）2π=2π．
6. 8【解答】等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．
7. 【解答】连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．
∴GE=，OG=．
∴A（-1，0），B（，），C（，）D（1，0），
E（，），F（，）．
三、重点突破
例1. C【解答】如图1所示，设圆半径为R，
在正三角形ABC中连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，
故BC=2BD=R；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=R，
故BC=R；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．
例2. C【解答】如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM=，
∴DM=，
∴OD=DM-OM==，
∴BD2=OD2+OB2===OD.
例3. 2 【解答】如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴边长为2cm，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2.
例4．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
例5．【解答】（1）如图①，当AD=BC时，四边形ABCD为矩形．
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°
∴∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）如图②，当AD≠BC时，
∵AD∥BC，
∴弧AB=弧CD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为等腰梯形.



例6.【解答】证明：（1）∵BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，
∴∠EBA=∠DBA，∠FBA=∠CBA，
∴∠EBA+∠FBA=（∠DBA+∠DBA）=90°，
即∠EBF=90°，
∴EF是△ABC的外接圆的直径；
（2）∵BF是∠ABD的平分线，
∴∠CBF=∠ABF，
∴弧CF=弧AF，又EF是△ABC的外接圆的直径，
∴EF是AC的垂直平分线．
例7．【解答】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，BG＝CH，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
例8. 【解答】（1）证明：∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°；
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：△PDC是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC；
又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，
∴△BCD≌△ACP；
∴∠APC=∠D=60°；
∵四边形ABPC内接于⊙O，
∴∠DPC=∠BAC=60°；
∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；
∴△PDC是等边三角形；
（3）解：△PDC是等边三角形，理由同（2）．








例9. 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵∠1和∠2都对弧AE，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△ABE中，AB＝AD，∠1＝∠2，BE＝DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）DE-BE=AE，理由如下：
由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．
∴EF=AE．
即DE-DF=AE．
∴DE-BE=AE．
（3）BE-DE=AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．
易证△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．
∴EF=AE．
即BE-BF=AE．
∴BE-DE=AE．


例10. 【解答】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，
∵BM⊥AC，而ME=MC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵弧AB=弧BD，
∴∠ADB=∠BAD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
而∠BAE=∠BDC，
所以△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE=CD，
∴AM=DC+CM.
四、经典练习
A组
1. B
2. C【解答】∵一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，
360°÷60°=6，
∴这个正多边形是正六边形．
正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3. C
4. A
5. B【解答】A、正五边形的每个内角度数为180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
B、正六边形的每个内角度数为180°-360°÷6=120°，能整除360°，能进行平面镶嵌，符合题意；
C、正八边形的每个内角度数为180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正十边形的每个内角度数为180°-360°÷10=144°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
6. C【解答】如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，
∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
∴AE=BC=x，CE=2x；
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长EF=DF=4，
由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，
即x2+4x2=（x+4）2+42，
解得，x=4，
∴R=cm.
7．45°【解答】连接OA、OB、OC；
∵正八边形是中心对称图形，
∴中心角为360°÷8=45°；
∴∠OAM=∠OBN==67.5°，
∵OA=OB，∠OAM=∠OBN，AM=BN，
∴△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠MOB=∠NOC；
∵∠AOC=∠AOM+∠MOB+∠BON+∠NOC=90°，
∴∠MON=∠MOB+∠NOB=（∠AOM+∠MOB+∠NOB+∠NOC）=∠AOC=45°.
8. 【解答】分别用A、B、C、D、E 表示正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，列表如下：
第一次
第二次
A
B
C
D
E
A
 
B A
C A
DA
EA
B
A B
 
CB
DB
EB
C
AC
BC
 
DC
EC
D
AD
BD
CD
 
ED
E
AE
BE
CE
DE
 
由列表可以看出，所有可能结果共有20个，能镶嵌成一个平面图案（记为事件G）的有AB、BA、AD、DA、EB、BE6个，
所以能够进行平面镶嵌的概率P（G）=.
9. 【解答】连结OD，如图，
∵BC=DC，
∴弧BC=弧DC，
∴∠BOC=∠COD=130°，
∴∠BOD=360°-2×130°=100°，
∴∠BCD=∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=180°-50°=130°．


10. 【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠E，
∴∠A=∠E，
∴AD=DE，
即△ADE是等腰三角形．

B组
1. D【解答】连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=．
2. B【解答】作出正方形ABCD．
△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．
则正方形的边长是（2+）x．
根据题意得：x（2+）x=20，
解得：．
则阴影部分的面积是：．
3. D【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠BEA=90°，
∴AE⊥BE，
∵点C是弧BE的中点，
∴OC⊥BE，
∴OC∥AE，所以A选项的结论成立；
∴弧BC=弧EC，
∴BC=EC，所以B选项的结论成立；
∠BOC=2∠CAE，所以C选项的结论成立；
∵不能确定弧CE与弧AE相等，
∴不能确定AC⊥OE，所以D选项的结论不成立．
4. B【解答】解题技巧：（1）正n边形每一个内角度数=，（2）菱形的邻角互补
∵两个图形为全等的正十边形，
∴ABCB′为菱形，
又∠ABC=∠AB′C==144°
∴∠BAB′=180°-144°=36°，
⇒∠BAJ′=∠B′AJ′-∠BAB′=144°-36°=108°．
5.
6. 30°【解答】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
由圆周角定理得，∠ADC=∠AOC，
∴∠ADC+2∠ADC=180°，∴∠ADC=60°，
∵OA=OC，
∴平行四边形ABCO为菱形，∴BA=BC，
∴弧BA=弧BC，
∴∠ADB=∠ADB=30°.
7. 7【解答】设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，
所以（n-2）•180°=（360°-2×108°）n，解得n=10，
所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．
8. 【解答】（1）∵正三角形ABC的边长为a，
由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，
∴CO=；
（2）△CDE为等边三角形；
（3）由（2）知△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，
∠ADE=∠BED=120°，
同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，
∵AB=BC=AC=a，
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，
∴六边形KHGFED是一个正六边形．
9. 【解答】（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，
那么AB=2=4，
∴OF=，
又∵OE2+OF2=OM2=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S四边形ADBC=AB×CD=12；
（2）设OE=x，OF=y，则x2+y2=5，
∵AB=2，CD=2，
∴S四边形ADBC=AB×CD=2×=2，
∴当x2=时，四边形ADBC的最大面积是13.
10.【解答】（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°-42°=48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°.



五、优化提高
1. B【解答】360°÷30°=12；
360°÷60°=6；
360°÷90°=4；
360°÷120°=3；
360°÷180°=2；
因此n的所有可能的值共5种情况.
2. D【解答】如图所示：
当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G=30°，
∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，
∴A′D=2，
∵D（2，0）
∴A′（2，2），OD=2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（47，2）正好滚动45个单位长度，
∵=7…3，
∴恰好滚动7周多3个，
∴会过点（47，2）的是点D.
3. 75°【解答】连结OD，如图，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=×360°=120°，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90°，
∴弧AP=弧DP，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．




4. 【解答】（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC==108°．
理由：如图1，
∵∠A=∠B

∴BC=AE．
同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，
∴BC=DE=AB=CD=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形；                      
（2）证明：如图2，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵四边形ABCF是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=120°．
同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．
∵∠ADB=120°，
∴∠DAB+∠ABD=60°．
∵弧AD=弧CF，∴∠ABD=∠CAF，
∴∠DAB+∠CAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．
同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，
∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，
故图2中六边形各角相等；                      
（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：
当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；
当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形.
5. 【解答】∵PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆．
同理P、L、N、M四点共圆，
∴P、L、O、N、M五点共圆．
∵O既是正△ABC的垂心，又是△ABC的内心，
∴∠AOE=∠COE=60°，
再由共圆的条件得到∠MNL=∠LOM=60°，∠MLN=∠MON=60°．
∴∠MNL=∠MLN=60°，
∴△LNM是等边三角形，
∵点P是劣弧LM上一点，
∴PN=PL+PM．