沪教版 (五四制)八年级上册18．4 函数的表示法精品导学案

这是一份沪教版 (五四制)八年级上册18．4 函数的表示法精品导学案，共34页。

函数的表示法


内容分析


函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据．
知识结构




模块一：解析法




知识精讲



1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数
的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．







例题解析



【例1】 填空：
（1） 正方形的边长x和面积y之间的函数解析式是__________；
（2） 长方形的周长为10厘米，长是x（厘米），宽是y（厘米），则y关于x的函数解析式是___________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据正方形面积=边长的平方，即得：；
（2） 根据长方形周长=2（长+宽），即得，解得：．
【总结】考查函数解析式与实际问题的结合应用，用已知量替代即可．


【例2】 已知矩形的面积是24平方厘米，其长为y（厘米），宽为x（厘米），则y与x之间的函数关系的图像大致在___________象限，y随x的增大而_________．
【难度】★
【答案】第一，减小．
【解析】根据矩形面积计算公式，可得，即得，由，可知函数图像在第 一象限，根据函数性质，，可知y随x的增大而减小．
【总结】考查利用公式解决实际问题与反比例函数的增减性．



【例3】 某高速公路全长200公里，汽车以80公里每小时的速度行驶，开了x小时后，剩下的路程y（公里）关于行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】行程=速度×时间，可得汽车行程，则剩余路程．
【总结】考查行程问题建立等量关系表示相应的量．


【例4】 某人将2万元现金存入银行，存款的年利率为1.5%，存入x年，则到期后取出的本利和y关于期数x的函数解析式为___________．
【难度】★
【答案】．
【解析】根据题意可得每年利率为元，
则存入期到期的本利和为：．
【总结】考查利息问题，注意所要求解的是哪个量．


【例5】 若点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式为_______________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】点P（x，y）在一、三象限角平分线上，则有，且有，点在一、 三象限，则有x、y同号，由此即可得．
【总结】考查象限角平分线上的点横纵坐标的关系．



【例6】 从A市向B市打长途电话，收费的方式如下：0~3分钟收费2.4元，3分钟以后每加1分钟加收1元．
（1） 求当时间分钟时（t是整数），电话费y（元）和时间t（分钟）之间
的函数关系式；
（2） 若某次通话总费用为9.4元，求通话的时间．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）10．
【解析】（1）3分钟以内收元，超过3分钟部分为分钟，
由此可得总费用；
（2）令，解得：．
【总结】考查分段函数的简单应用．



【例7】 在平面直角坐标系xOy中，直线绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为A(a，3)，试确定反比例函数的解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】直线绕点O旋转90°得到直线解析式即为，直线l与反比例函数交于 点A(a，3)，即可得交点坐标为，在反比例函数上，则有，
解得：，即反比例函数解析式为．
【总结】考查特殊正比例函数的旋转，正反比例函数交点的结合应用．



【例8】 将长为38厘米，宽为5厘米的长方形白纸，按如图所示的方式粘合在一起，粘合部分白纸为2厘米
（1）求10张白纸粘合后的长度？
（2）设x（张）白纸粘合后的总长为y（厘米），写出y和x的函数关系式．
2厘米
38厘米
5厘米






【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）粘合处的重叠部分长度为，10张白纸粘合在一起，共有9处重叠，
则粘合后的长度为；
（2）粘合处的重叠部分长度为，张白纸粘合在一起，共有处重叠，
则粘合后的长度．
【总结】考查找规律的应用，注意叠合部分的长度．



【例9】 某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P (万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)之间存在函数关系P=25x；年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)之间的函数关系为．
（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；
（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?
【难度】★★
【答案】（1）单价2千元，销售总额10亿元；（2）减少1亿元．
【解析】（1）令，整理得：，解得：，，
即得新房销售均价为2千元/平方米，销售总额为亿元；
（2）依题意新房均价为千元/平方米，年销售面积为万平方米，
则销售总额为亿元，即销售总额减少，减少亿元．
【总结】考查根据函数解析式解决函数问题，根据题目要求进行计算即可．


【例10】 小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，销售收入是50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共销售收入70元，已知在降价前销售收入y（元）与销售重量x（千克）之间成正比例关系．请你根据以上的信息解答下列问题：
（1） 求降价前销售收入y（元）与售出草莓重量x（千克）之间的函数关系式；
（2） 小强共批发购进多少千克的草莓；
（3） 小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强共捐款多少元?
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）15千克；（3）25元．
【解析】（1）售出草莓重量x与销售收入y成正比，可设，依题意可得，
解得：，即得；
（2） 由（1）可知降价前草莓销售单价为5元/千克，则降价后单价为5-1=4，
由此可得购进草莓总量为10+（70-50）÷4=15千克；
（3）小强销售总利润为70-15×3=25元，即捐款总额为25元．
【总结】考查函数的分段，对销售问题的理解应用．


【例11】 如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的点开始传递，到离北京路1000米的点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点（北京路与奥运路的十字路口），为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．
（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；
（3）设，用含的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．
（火炬）
y
M
x
N
A
T
B
O
奥林匹克广场
北
京
路
鲜花
方阵
（指挥部）
奥运路
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）或；
（3），．
【解析】（1）方阵面积恒为10000平方米，
即得，
所以反比例函数解析式为；
（2） 鲜花方阵周长为500，即得，又，
解得：，，即得火炬位置对应坐标为或；
（3） 由，，可得：，
即得火炬到指挥部距离为，火炬离指挥部距离最近时，则有， 即得，则火炬位置对应坐标为．
【总结】考查反比例函数的综合应用，转化为解方程题型即可．








【例12】 如图所示：长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点P从A点出发，沿长方形
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
备用图1
备用图2
A
B
C
D
ABCD的边逆时针运动，再次回到A点时停止运动，设点P运动的距离是x，△APC的面积是y，求y和x的函数关系式及定义域．
【难度】★★★
【答案】
【解析】由点P的运动轨迹可知，
当时，此时点P在AB边上，
，；
当时，此时点P在BC边上，，
；
当时，此时点P在CD边上，，
；
当时，，
．
【总结】考查函数的分段解析式，用题目条件分别对应表示线段长度再进行代值计算，注意分类讨论．











模块二：列表法


知识精讲



1、 列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接
找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．


例题解析



【例13】 函数的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
2
0
2
b
…
根据表格回答问题:
（1） 函数的解析式为__________，定义域为__________，b=____________；
（2） 请再举一些对应值，猜想该函数的图像关于_________对称．
【难度】★
【答案】（1），全体实数，8；（2）轴．
【解析】（1）函数过点，即得：，则函数解析式为，对应定义域 为全体实数，令，即得；
（2）互为相反数，对应值相等，可知函数图像关于轴对称．
【总结】考查根据函数图像上一点确定相应函数解析式并适当猜想应用．







【例14】 某商店有铅笔出售，铅笔的总售价与所售铅笔的数量之间的数量关系如下表:
所售铅笔的数量x(支)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
售价y(元)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
（1）上表反映的变量是_____和____，_______是自变量， _____随_____的变化而变化，_____ 是______的函数；
（2）若出售10支铅笔，售价应为_____元；
（3）根据你的预测，付款20元，可买_________支铅笔；
（4）请写出售价y与所售铅笔数量x的函数关系式________________．
【难度】★
【答案】（1）铅笔的数量，售价，铅笔的数量，售价，铅笔的数量，售价，铅笔的数量；
（2）5；（3）40；（4）．
【解析】（1）略（函数相关基本概念）；
（2） 根据表格可知，售价与所售铅笔支数成正比，即可得每支铅笔单价为0.5元，
出售10支铅笔，售价为10×0.5=5元；
（3） 可买铅笔支数为20÷0.5=40支；
（4） 根据总价=单价×数量，即得．
【总结】考查函数的基本定义和判定，总价=单价×数量的关系应用．


【例15】 如果函数y=ax+b的部分对应值如下表：
x
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
根据表格回答：
（1）求方程ax+b=0的解?
（2）不等式ax+b<0的解集又是多少?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据表格可知，时，，即得方程的解为；
（2）由表格可知，随着的增大而减小，时，，，即值从0开始 逐渐减小，对应的值从1开始逐渐增大，即可得的解集为．
【总结】考查根据表格确定相应自变量取值范围，注意相应函数的增减性即可，不需要求解代值计算．


【例16】 在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：
观察图形，填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
......
n（奇数）
黑色小正方形个数







正方形边长
2
4
6
8
......
n（偶数）
黑色小正方形个数






【难度】★★
【答案】1，5，9，13，；4，8，12，16，．
【解析】观察相应图形可知，分别从n为奇数和偶数观察，边长每增加2，黑色小正方形个 数增加4个，n为奇数，小正方形个数从1开始增长，即得黑色小正方形个数为 ；n为偶数，小正方形个数从4开始增长，即得黑色小正方形个 数为，即可得到对应表格中的数字．
【总结】考查找规律方法的应用，注意数字之间的变化．


【例17】 某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只拿出10元就可以享受合作医疗：
住院费（元）
报销费（%）
不超过3000元部分
15
3000~4000
25
4000~5000
30
5000~10000
35
100000~20000
40
超过20000
45
设报销的费用是y元
（1） 求住院费不超过3000元时，报销费y与住院费x元之间的关系；
（2） 求住院费不超过4000时，报销费y与住院费x之间的关系；
（3） 某人住院费报销了805元，求花费的总费用．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）4350元．
【解析】（1）住院费不超过3000元，报销费用y与住院费x成正比，则有；
（2） 住院费不超过4000元，需根据费用是否超过3000元进行分类讨论，即：
当时，；
当时，；
（3） 由（2）可知费用不超过4000元时，最高报销费用为元，
由表格知费用不超过5000元时，最高报销费用为元， 现报销费用为805元，在700与1000之间，可知住院费用在4000与5000之间，
令，解得：，即住院费用为4350元．
【总结】考查分段函数的应用，注意是整体讨论还是分段进行讨论，是否进行分段计算．





模块三：图像法



知识精讲



1、 图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的
对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．
2、 三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、
连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．



例题解析



【例18】 一辆客车从上海出发开往北京，设客车发t小时后与北京的距离为S千米，下列图像能大致反应S和t的函数关系的是（ ）
A
B
C
D






【难度】★
【答案】A
【解析】客车发车时，与北京距离最远，即对应y值最大；客车到达北京时，与北京距离最 近为0，符合条件的图像为A选项．
【总结】考查图像法表达函数关系，注意相应函数图像上的点的意义．


【例19】 图中是某水池有水Q(万吨)与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答下列问题：
（1） 水池内有水________万吨；
（2） 向水池内注水_____小时；每小时注水_________万吨；
（3） ______小时把水排完，每小时排水____万吨．
【难度】★
【答案】（1）100；（2）3，； （3）5，60．
【解析】（1）时，，
可知水池内原有水100万吨；
（2） 时，水池内水量达到最多，
可知注水时间为，
注水速度为万吨；
（3） 时，水池内水排空，可知排水时间为，排水速度为万吨．
【总结】考查函数图像的应用，注意函数上相应特殊点的意义和相应的状态．

【例20】 已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝，AE＝，则能反映与之间函数关系的大致图像是（ ）

A B C D
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据题意可得，即得：，图像为反比例函数的 一段，同时易得的取值范围为，故选C．
【总结】考查与平行四边形相关的图形面积的综合应用，两个变量之积不变成反比例．




10
20
30
40
50
60
70
t(min)
1
3
S（千米）
5
7
【例21】 如图是一位同学骑自行车出行时，所行路程S（km）和时间t（min）的函数关系图像，从中得到正确的信息是（ ）
A．整个行程的平均速度是
B．前20分钟的速度比后半个小时的速度慢
C．前20分钟的速度比后半个小时的速度快
D．从起点到达终点，该同学共用了50分钟
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据函数图像，可知这位同学行程为，行车时间为，得平均速度为 ，故A、D错误，同时根据图像的倾斜程度，即可确定相应的平均速度快慢， 直线越陡峭，速度越快，可知前20分钟比后半个小时速度快，B错误，C正确．
【总结】考查对函数图像上点的意义的理解应用．




【例22】 折线表示一辆电瓶车的行程图，骑车者7:30离开家，14时回到家，根据图像中提供的有关信息，解答下列问题：
8
9
10
14
2
4
6
10
x（小时）
y（千米）
13.2
（1） 离家最远的地方离家____________千米；
（2） 在目的地游玩并午餐用了________分钟；
（3） 回家所用的时间是___________；
（4） 回家的平均速度____________．
【难度】★★
【答案】（1）10；（2）192；（3）；
（4）．
【解析】（1）根据图像y的最大值为10，即离家最 远距离为10千米；
（2）10——13.2期间图像y值保持不变，在此期间即为游玩并午餐时间，
共用时分钟；
（3）回家时间为；
（4）回家平均速度为．
【总结】考查对函数图像上点的意义的理解应用．


【例23】 小华、爸爸、爷爷同时从家中出发，到达同一目的地后立即返回，小华去时骑自行车，返回时步行，爷爷去时步行，返回时骑自行车，爸爸往返都步行，三人步行速度不等，小华与爷爷骑车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系可用下面三个图象分别表示，根据图象回答下列问题：
t/min
S/m
0
20
26
t/min
S/m
t/min
S/m
0
0
24
6
21
12
1200
1200
1200





（1）说说三个图象中对应小华、爸爸、爷爷的分别是哪个?
（2）小华家距离目的地多远?
（3）小华和爷爷骑车的速度是多少?三人的步行速度分别是多少?
【难度】★★
【答案】（1）第一个图像对应爷爷，第二个图像对应爸爸，第三个图像对应小华；
（2）；（3）小华和爷爷骑车速度为，爷爷步行速度为，
爸爸步行速度为，小华步行速度为．
【解析】（1）根据图像的倾斜程度，即可确定相应的平均速度快慢，直线越陡峭，速度越快， 可知第一个图为先步行后骑车，表示爷爷，第二个图为来回都步行，表示爸爸，第三个 图为先骑车后步行，表示小华；
（2） 根据图像可知小华到达的最远距离为，即小华家与目的地距离为；
（3） 根据图像，小华与爷爷骑车到达目的地，骑车速度为；
图像一，爷爷步行到达目的地，步行速度为；爸爸步行 到达目的地，步行速度为；小华步行到家， 步行速度为．
【总结】考查对函数图像法的观察分析，根据直线的倾斜程度即可判断相应的速度大小解决问题．



【例24】 某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图(甲)所示，出水口出水量与时间的关系如图(乙)所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示，根据图像说明：
（1）进水口单位时间内进水量是多少?出水口单位时间内出水量是多少?
（2）求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域；
（3）试说明3到4点和4点到6点这个时间段内进出水口的开放情况．
【难度】★★
【答案】（1）1万立方米/时，2万立方米/时；（2）；（3）3点到4点开
放1个进水口，1个出水口；4点到6点开放2个进水口，1个出水口．
【解析】（1）根据（甲）图像可知，1小时进水1万立方米，即单位时间进水量为1万立方米/时；根据（乙）图像可知，1小时出水2万立方米，即单位时间出水量为2万立方米/时；
（2） 根据图像可知，0点到3点函数为正比例函数，设函数解析式为，函数过点，则有，解得：，即相应函数解析式为；
（3）根据图像可知3点到4点之间1小时减少1立方米，至少开放1个进水口，则为开放 1个进水口，1个出水口；4点到6点之间2小时内水量保持不变，至少开放1个进水 口，则为开放2个进水口，1个出水口．
【总结】考查进出口问题，注意观察函数图像体现的单位时间内水量变化情况，确定相应的进水口和出水口的开放情况．



【例25】 小刚从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A，再走上坡路到达B，最后走下坡路到达单位，所用的时间和路程的关系如图所示，下班后，如果他按照原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和上班的时候一致，求他从单位到家的时间．
1
2
3
4
8
12
路程（千米）
家
单位
时间（分）
【难度】★★
【答案】15分．
【解析】根据图像可知，小刚走上坡路骑车
速度为，小刚走下坡路
骑车速度为，从单位
到家的过程中，先走上坡路，
再走下坡路，最后走平路，
则到家所需时间为分钟．
【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，根据一定时间内的行程即可确定相应行车速度．



A
x=1
B
C
x
y


【例26】 函数的图像如图所示，则结论：①两函数图像的交点A的坐标为（2，2）；②当；③当；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小 ．其中正确的结论的序号是
______________________．
【难度】★★
【答案】①③④


【解析】令，解得：，由，则有，此时，
即得交点坐标（2，2），①正确；对同一值而言，函数图像在上方即相应函数值越大， 时在上方，即，②错误；令，得，，则有， ③正确；根据正比例函数和反比例函数的增减性，时，，正比例函数随 x增大而增大，，反比例函数随x增大而减小，可知④正确；
综上，①③④正确．
【总结】考查正反比例函数性质和交点的结合应用．





【例27】 在四边形ABCD中，动点P从A开始沿A-B-C-D的路径匀速运动到D为止，在这个过程中，设△APD的面积是S，运动的时间为t，则S关于t的函数图像为
P
A
B
C
D
（ ）．





【难度】★★
【答案】D
【解析】根据题意，点P在移动过程中，S先从0增大，然后保持不变，最后减小为0，由 此排除A、C选项，同时，由，可知点P在上运动时间长于在上运动 时间，即图形面积变化相对慢，排除B，故选D．
【总结】考查动点问题，根据点的移动确定相应的图形面积表示，同时注意相应线段的倾斜程度表示面积变化的快慢．


【例28】 如图，表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点钟离开家，15点回到家，请根据图像回答下列的问题：
30
距离（km）
（1） 玲玲到达离家最远的地方是什么时间，离家多远?
（2） 她何时开始第一次休息?休息了多长时间?
17
（3） 第一次休息时，离家多远?
（4） 11：00~12:00她骑了多远?
15
（5） 她在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度是多少?
（6） 她在何时至何时停止休息用午餐?
10
11
12
13
15
9
时间（h）
（7） 她在停止前进后返回，骑了多少千米?
（8） 返回时的平均速度是多少?
【难度】★★★
【答案】略
【解析】（1）根据图像可知玲玲到达离家最远的地方时间是12：00，离家；
（2）10:30开始休息，休息时间为30分钟；
（3） 第一次休息时离家；
（4） 11:00~12:00行程为；
（5）9:00~10:00平均速度，10:00~10:30平均速度；
（6）12:00~13:00停止休息用午餐；
（7） 停止前进后返回骑了；
（8） 返回时平均速度为．
【总结】考查对函数图像的观察，注意函数上各个节点的意义．








【例29】 在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图1）按一定方向运动.图2是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图3是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．
（1）s与t之间的函数关系式是______________；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是___________；P点出发______秒首次到达点B；
y
A
O
B
C
D
N
M
P
O
3
4
1
1
S（个单位）
y
S（个单位）
（3）补全图3中函数图象．
-1
8
7
5
t（秒）
2
O
1
x
【难度】★★★
【答案】（1）；（2），10；（3）如图．
【解析】（1）图像为正比例函数的一部分，过点，即得：；
（2） 根据纵坐标的变化，可知运动路线为，令，得：；
（3） 如图．
【总结】考查动点问题的应用，主要运动过程中的量的变化．


随堂检测



【习题1】 与函数的图像关于x轴对称的图像的函数解析式为________________．
【难度】★
【答案】．
【解析】函数图像关于轴对称，即对同一个x值而言，y值互为相反数，任取函数图像上一 点即可确定对称的函数解析式为．
【总结】根据题目条件在原函数上找一些相应的特殊点进行解题计算．


【习题2】 某水库在汛期当水库内贮满水时，泄洪闸会自动打开，到水库内剩下一半水量时停止排水，当水库再次注满水后，又一次自动将水量排剩一半，假设水库的进水量和排水量都是匀速的，这一过程中水库的存水量v与时间t之间函数关系的大致图像是
( )
v
v
v
v
t
t
t
t

【难度】★
【答案】D
【解析】依题意可得水库水量最低位为原水量一半，从全满到排到一半到全满，没有排空的 过程，即可排除A、B、C选项，D正确．
【总结】考查根据描述的情境题目确定相应的大致函数图像．




x
y
x
y
x
y
x
y
【习题3】 小张第一次离家到县城上学，假期回家写了一首小诗：“首次离家今日返,父亲 早早到车站，父子见面细端详，双双高兴把家还．”若用y表示小张和父亲行进中离开 家的距离，用x表示父亲离家的时间，则与诗意大致吻合的图像是（ ）
【难度】★
【答案】B
【解析】依小诗所表达的题意可知父亲比小张早到车站，小张再经过一段时间后才到达车站 与父亲碰面，两人在车站聊了一会才回家的，在函数图像上的反馈即为B选项．
【总结】考查根据描述的情境题目确定相应的大致函数图像．



【习题4】 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费，若每月用水不超过7m3，则按1元/m3收费；若每月用水超过7m3，则超过部分按2元/m3收费．如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为多少立方米?
【难度】★★
【答案】12．
【解析】设居民用水量为立方米，用水量不超过7m3时，最高收费为7元，现收费17元， 可知，则用费应该分段计算，依题意则有，解得：，
即这户居民5月用水量为12立方米．
【总结】考查函数的分段问题．





【习题5】 某市的空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元．（不足5公里的，按5公里计算）
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元．已知相邻的两个公共汽车站之间相距1公里，如果沿途（包括起点和终点）共有21个站点，请根据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析式，并画出函数图象．
【难度】★★
【答案】，图像略．
【解析】全程共有21个站点，每两个站点相距1公里，可知全程为20公里，每5公里票价 增加1元，可将函数分为4段，每段为5公里，由此即得：当时，；
当时，；当时，；当时，，图像略．
【总结】考查分段函数的应用，根据题意确定好分段标准即可．






【习题6】 夏日的一个星期六，小红全家上午8时自驾车从家出发，到距她家180km的一旅游景点去玩，若小红离家的距离s（km）与时间t（h）的关系可以用下图中的折线表示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小红全家是几点钟到达目的地?游玩了多少小时?
（2）求出返程途中，距离s（km）与时间t（h）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）小红全家是什么时间到家的?返回时小汽车的平均速度是多少?
8
10
15
90
180
t（小时）
S（千米）
14
【难度】★★
【答案】（1）10点钟到达，游玩了4小时；
（2）；（3）16点到家，
返程平均速度为．
【解析】（1）根据函数图像可知小红全家10
点钟到达目的地，时期间在旅游景 点，可知全家游玩时间为；
（2） 设函数解析式为，函数过点
，，则有， 解得：，，即得相应函数关系式为；
（3） 令，解得：，即小红全家16点到家，
返回时小汽车平均速度为．
【总结】考查根据函数图像确定相应的运动情况，根据横纵坐标轴表示的量确定相应的函数关系．


【习题7】 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么?
【难度】★★
【答案】（1）小红：，小敏：；（2）小敏．
【解析】（1）根据题意可分别设小红、小敏洗衣粉残留量与漂洗次数解析式为和 ，函数分别过和，即可得：，，即得相应函数解析式 分别为和；
（2）令，解得，小红漂洗干净至少用水；令，
解得：，小敏漂洗干净至少用水；，从节约用水来说，
可知小敏的漂洗方法值得提倡．
【总结】考查反比例函数的实际应用问题，根据题目条件解决问题．



【习题8】 依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过3500元，不需交税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：
级别
全月应纳税所得额
税率(%)
1
不超过1500元的
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
4
超过9000元至35000元的部分
25
…
…
…
（1）某工厂一名工人2016年5月的收入为4000元，问他应交税款多少元?
（2）设表示公民每月收入（单位：元），表示应交税款（单位：元），当时，请写出关于的函数关系式；
（3）某公司一名职员2016年8月应交税款600元，问该月他的收入是多少元?
【难度】★★
【答案】（1）15；（2）；（3）9275元．
【解析】（1）月收入4000元，则全月应纳所得税额为元，根据税率表， 则应交税款为元；
（2） 时，全月应纳所得税额，由此可得应交税款分 为两部分，则有；

（3） 若工资在8000元以下，最高税款为元，工资在12500元以下， 最高税款为元，可知该职工收入在
8000-12500之间，依题意有，解得：，
即这名职工该月收入为9275元．
【总结】考查分段函数的实际应用，纳税问题，注意先判断所处范围再进行计算．





【习题9】 如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：
（1）________先到达终点；
（2）第________秒时，_________追上__________；
（3）比赛全程中，____________的速度始终保持不变；
（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式

s（米）
t（秒）
400
300
200
100
O
40
50
55
A
B
C
甲
乙
35
25
10
__________．
【难度】★★★
【答案】（1）乙；（2）40，乙，甲；（3）乙；
（4）．
【解析】（1）根据图像可知，线段表示先到达 终点，即乙先到达终点；
（2） 两人相遇，即两者距离为0，由图像可知在 时两人相遇，甲在前，即乙追上甲；
（3） 乙的图像为一条直线，表示速度不变；
（4） 乙为优胜者，函数图像为正比例函数，可设函 数解析式为，时乙到达终点，即函数 过点，则有，解得：，即相应函数解析式为．
【总结】考查根据函数图像判断运动情况，函数图像倾斜程度表示速度大小．




【习题10】 如图，在长方形ABCD中，以对角线AC与BD的交点O为原点，建立直角坐标系，使x轴和y轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC和BD所对应的函数解析式．
【难度】★★★
【答案】，．
【解析】根据矩形的性质可知、两点关于轴对称，、 两点关于轴对称，矩形长为25，宽为16，
可得，，、为正比例函数， 可分别设、解析式为，，则有，，
解得：，，即得相应函数解析式．
【总结】考查根据正比例函数上的点确定相应正比例函数解析式，结合矩形性质的应用．


【习题11】 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0 < x ≤ 9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式 ．
【难度】★★★
【答案】
【解析】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此 可知题目需进行以下分类讨论：
当时，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：；
当时，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：；
当时，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变．
【总结】考查图形叠加性质的综合应用，注意叠加图形的形状和长度与相关变量的表示．

课后作业



【作业1】 某种灯的使用寿命是100小时，它可使用的天数y与平均每天使用的时间x之间的函数关系式是__________．
【难度】★
【答案】
【解析】使用总时间确定，依题意可得，即得相应函数关系式为．
【总结】考查函数解析式的确定，根据题目描述找准描述的两个量之间的关系．





【作业2】 如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD.设BC为x米，AB为y米.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长.
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据矩形面积计算公式，面积=长×宽，即为，
即得y与x的函数关系式为；
（2）面积增加16平方米，即矩形面积为16平方米，
依题意有，解得：，即长为．
【总结】考查函数与图形面积计算的结合应用．






【作业3】 根据图中显示的规律，完成表格并写出y和x的关系式______________．
x
．．．
-2
-1
0

3
5
6
7
．．．
y
．．．
5
2
1
2
10
26

50
．．．
【难度】★
【答案】1；37；．
【解析】根据表格所提供的数据，可知y始终为正数，考虑平方，再进一步观察即可得相应 关系式为，由此表格数据分别为1和37．
【总结】考查函数关系式的确定，通过数据找规律结合合理猜想解决问题．


【作业4】 某水产公司有一种海产品共2104千克，为寻找合适的销售价格，进行了8天试销，试销的情况如下：

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价x（元/千克）
400

250
240
200
150
125
120
销售量y（千克）
30
40
48

60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数表示这种海产品每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出．
【难度】★
【答案】（1），300，50；（2）20天．
【解析】（1）设反比例函数解析式为，任取一组数据，函数过点，则有， 解得：，即反比例函数解析式为；
令，则有，得，令，得；
（2）前8天海产品总销量为，，
对应销量，则还需的销售天数为天．
【总结】考查反比例函数的实际应用，根据题目描述解决实际问题．

【作业5】 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事；领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程；t为时间，则下列图像中与故事相吻合的是（ ）
A
B
C
D
s
t
s
t
s
t
s
t
S1
S2
S2
S2
S2
S1
S1
S1





【难度】★★
【答案】D
【解析】根据“龟兔赛跑”描述的情境，乌龟的行进路程为一条直线，兔子行进路程则为折 线，乌龟比兔子先到达终点，即乌龟到达终点时兔子还未到，即兔子在同等时间行程短， 可知排除A、C选项，同时，在乌龟到达之前，兔子已经醒来开始继续奔跑，不是静止 不动的状态，可知B错误，故选D．
【总结】考查根据题目描述确定相应的函数图像．


【作业6】 李丹家距学校m千米，一天她从家上学先以a千米／时的速度跑步锻炼前进，后以匀速b千米／时步行到达学校，共用n小时,下面能够反映李丹同学距学校的距离s（千米）与上学的时间t(小时)之间的大致图象是 （ ）

S（千米）
S（千米）
S（千米）
S（千米）
t（小时）
A
B
C
D
n
m
m
m
m
n
n
n
t（小时）
t（小时）
t（小时）





【难度】★★
【答案】C
【解析】表示李丹离学校的距离，可知刚出发时离学校最远，最终抵达学校，B、D错误， 同时根据直线的倾斜程度表示李丹的速度大小，可知前段李丹速度较快，则相应的线段 更为倾斜，满足条件的选项为C．
【总结】考查根据题目描述确定相应的函数图像，直线倾斜程度表示相应速度大小．

【作业7】 若用（1）（2）（3）（4）四幅图像分别表示下面四个函数的关系，请根据图像所给顺序，将下面（a）（b）（c）（d）四个函数关系对应排序：






（a）静止的小车从光滑的斜面上滑下，小车的速度y与时间x的关系；
（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度y与所挂重物x的关系；
（c）运动员推出去的铅球，铅球的高度y与时间x的关系；
（d）小明从A到B后，停留一段时间，然后按原速度原路返回，小明到A的距离y与时间x的关系．正确的顺序是（ ）
（A）（c）（d）（a）（b） （B）（a）（b）（c）（d）
（C）（c）（b）（a）（d） （D）（d）（a）（c）（b）
【难度】★★
【答案】A
【解析】根据（a）的情境，小车起始速度为0，然后下滑过程中速度逐渐增大，对应图像 为（3）；根据（b）的情境，弹簧初始有一定的长度，然后随着重物质量的增加弹簧逐 渐拉长，对应图像为（4）；根据（c）的情境，铅球起始有一定高度，运动路径抛物线 的一段，对应图像为（1）；根据（d）的情境，小明到A的距离先增大，后保持不变， 最后回到A，对应图像为（2），故选A．
【总结】考查根据物理情景得到相应的函数图像，可根据自己所学公式，更多的可以根据自己对运动情况的理解进行解题．


【作业8】 已知正方形ABCD的边长为5cm，在BC边上有一个动点G，联结AG，如果BG为x cm，的面积为，那么S是不是x的函数?如果是，请写出函数解析式．
【难度】★★
【答案】是，．
【解析】根据三角形面积计算公式，可得：．
【总结】考查根据图形面积公式进行相应的图形面积计算，表示出相应线段长度即可．
【作业9】 某商店销售一批小家电，进价为16元，售价为22元，前段时间平均每天可售出20件，商店扩大销售，尽量减少库存，准备适当的降价销售，经市场调查发现，如果每件降价1元，平均每天可多售出5件，记降价后每天售出y件，盈利z元．
（1） 设降价后每件的售价为x元，分别列出y与x、z与x之间的函数关系式；
（2） 设每件降价x元，分别列出y与x、z与x之间的函数关系式．
【难度】★★
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）根据题意可得，此时每件小家电利润为元， 则有；
（2）根据题意可得，此时每件小家电利润为元，
则有．
【总结】考查销售问题中的利润问题，根据题意表示出相应的销量和价格即可．


【作业10】 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕） 是气球体积V（）的反比例函数，其图象如右图所示（千帕是一种压强单位）．
（1）这个函数的解析式是怎样的?
（2）当气球的体积为0.6立方米时，气球内的气压是多少千帕?
（3）当气球内的气压大于148千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）140千帕；（3）．
【解析】（1）设反比例函数解析式为，
函数过点，则有，解得：，
即得相应函数解析式为；
（2） 令，得千帕；
（3） 令，得，即气球体积应不小于．
【总结】考查反比例函数在实际问题中的应用．
【作业11】 如图，李老师设计了一个杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况，实验数据记录如下表
（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少cm?
（4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码．
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10




【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）；（3）；（4）添加．
【解析】（1）函数图像略；
（2） 观察表格可知x、y乘积保持不变，函数图像为双曲线的一支，，
即得函数关系式为，代入数值即可验证；
（3） 令，得；
（4） ，根据反比例函数的增减性，x减小，相应y值增大，即应添加砝码．
【总结】考查反比例函数和其性质的结合应用．









【作业12】 如图，在等边三角形ABC中，边长为6，E是AB的中点，点P在边AC上，AP：PC＝2：1，EF垂直于BC，垂足为F，点Q是FC上的一个动点．设QC=x，四边形EFQP 的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
M
A
Q
B
C
P
E
F
N
【难度】★★★
【答案】．
【解析】作交于点，作交于点．
由E是AB中点，可得：，
由AP：PC＝2：1，可得：，，
因为是等边三角形，
则，，
，，，
， 即，
由，Q是BC上的一个动点，可得：．
【总结】考查根据特殊图像的割补进行相应的面积计算．















【作业13】 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中折线表示y与x之间的函数关系．根据下图进行研究：
（1） 甲、乙两地之间的距离是____________千米；
（2） 请解释图中B的实际意义；
（3） 求慢车和快车的速度；
y（千米）
900
4
12
x（小时）
O
A
B
C
D
（4） 若第二列快车从甲地出发驶向乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少时间?
【难度】★★★
【答案】（1）900；（2）快车与慢车行驶4小时时相遇；
（3），；（4）．
【解析】（1）根据图像可知两车刚开始相距900千米， 即甲乙两地距离为900千米；
（2） 两车距离为0，即表示两车相遇；
（3） 由（2）可得，同时根据图像可知
慢车到达甲地，即得，解得：，；
（4） 第一列快车与慢车相遇30分钟后第二列快车与慢车相遇，可知第一列快车与第二列快 车间的距离为，则第二列快车晚出发．
【总结】考查根据函数图像确定相应的两车运动情况，根据题目中各点的意义确定相应时间和距离等解决问题．