沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第1讲：二次根式的概念及性质教师版

这是一份沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第1讲：二次根式的概念及性质教师版，共22页。试卷主要包含了二次根式的概念等内容，欢迎下载使用。

二次根式的概念及性质

内容分析



二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．
知识结构





模块一：二次根式的概念


知识精讲




1、二次根式的概念
（1）代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．
（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．





例题解析


【例1】 下列各式中，二次根式的个数有 （ ）
；；；；；．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【难度】★
【答案】B．
【解析】、、是二次根式，、、不一定是二次
根式，当时就不是．
【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．

【例2】 添加什么条件时，下列式子是二次根式？
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．
【解析】（1）由，得； （2）由，得；
（3）由，得；（4）由，得或．
【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．

【例3】 对于下列说法中正确的是（ ）
A． 对于任意实数，它表示的是的算术平方根
B． 对于任意的正实数，它表示的是的算术平方根
C． 对于任意的正实数，它表示的是的平方根
D． 对于任意的非负实数，它表示的是的算术平方根
【难度】★
【答案】D．
【解析】表示a的算术平方根．
【总结】本题考查算术平方根的概念．
【例4】 等式成立的条件是（）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D．
【解析】由，，得，，∴．
【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．



【例5】 求使下列二次根式有意义的实数的取值范围．
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）或；（2）且．
【解析】（1）由，得或； （2）由，得且．
【总结】二次根式有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．



【例6】 实数x、y满足，．
【难度】★★
【答案】3．
【解析】由，，得；∴；∴．
【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．



【例7】 已知，求的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由题意得：，解得：，∴．
【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零．

【例8】 如果代数式有意义，那么在平面直角坐标系中的位置在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【难度】★★
【答案】C．
【解析】，且，，．
， ．故点P在第三象限．
【总结】二次根式的被开方数为非负数．

【例9】 如果，求的值．
【难度】★★
【答案】6．
【解析】， ，， ．
【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．

【例10】 已知．
【难度】★★★
【答案】， ，．
【解析】由题意得：，
∴， 即，
∴， ，．
【总结】本题主要考查利用配方将原式化为几个非负数和为零的形式．
【例11】 若的值．
【难度】★★★
【答案】30．
【解析】，，．

=
=
=
=30．
【总结】本题主要考查三项完全平方式的运用以及二次根式的计算．

【例12】 若z适合，
求z的值．
【难度】★★★
【答案】3358．
【解析】 ， ∴．
又 ， ， ．
．
即， 解得：．
【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．
1、 二次根式有意义的条件是什么？
师生总结






模块二：二次根式的性质


知识精讲



1、二次根式的性质
（1）二次根式的性质：
性质1：；
性质2：；
性质3：（，）；
性质4：（，）．
（2）与的关系：．

例题解析



【例13】 计算下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1） 3； （2） 3； （3） -3； （4）3； （5）；（6）．
【解析】根据二次根式性质2即可得出结果．
【总结】考查二次根式性质2的运用．




【例14】 化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）（）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3） ；（4）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=；
（4） ，，原式=．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．


【例15】 化简：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2） ；（3）；（4）3．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【例16】 化简：
（1）；
（2）．．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2），．
∴原式==．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．



【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．


【例18】 化简：
（1）；
（2）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】考查二次根式的化简，注意被开方出来的结果一定非负．


【例19】 已知，求的值．
【难度】★★
【答案】9．
【解析】由题意得：， ．
．
【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．


【例20】 已知是实数，且的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意得：，；∴．
【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．


【例21】 已知，求x的取值范围．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意得：；零点分段法分类讨论即可．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．



【例22】 如果成立，求的值．
【难度】★★
【答案】30．
【解析】由题意得：，，∴．
【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．



【例23】 已知，求代数式的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵，又∵，∴．
∴原式=．
【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．


【例24】 已知的个位数字．
【难度】★★
【答案】7．
【解析】∵， ∴．
∴，
∴，
∴个位数字为7．
【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．



【例25】 （1）在△中，为三边，且满足，求最大边的取值范围；
（2）已知实数，满足互为相反数，求的平方根．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据题意，即为，由此，，解得：，
，根据三角形三边关系，且为最大边，可知，即．
（2）由题意得：，∴，解得：，
∴．
【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．



【例26】 已知：，试比较a、b、c的大小．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：，
∵， ∴，
∴；
又∵，
∴，
∴．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．



【例27】 已知的值（结果用含b的式子表示）．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ∴，
∴原式==．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．



【例28】 化简：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=
=
=，
又∵，∴原式==．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．


【例29】 已知：m=，求的值．
【难度】★★★
【答案】8．
【解析】由题意得：；∴，∴，∴，
把代入原式，合并同类项得：原式=8．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

师生总结
1、 二次根式具有哪些性质？












随堂检测



【习题1】 下列计算中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】A．
【解析】根据二次根式性质1即可得出结果．
【总结】考查二次根式的性质1．

【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1）是； （2）不是 ； （3）是； （4）是； （5）是；（6）是．
【解析】二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．
【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．


【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）； （3）为任意实数；（4）；（5）；
（6）．
【解析】（1）由得：； （2）由得：；
（3）为任意实数； （4）由得：；
（5）； （6）．
【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．
【习题4】 化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．


【习题5】 化简下列二次根式：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．


【习题6】 已知的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是多少?
【难度】★★
【答案】5．
【解析】∵，∴，∴，
∴，，
∴．
【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．


【习题7】 已知的值是多少？
【难度】★★
【答案】1．
【解析】 =，
代入 原式==1．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．


【习题8】 已知的值．
【难度】★★
【答案】40．
【解析】∵， ∴．
∴代入得：=．
【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．


【习题9】 已知非零实数、满足条件，求的
值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】∵，∴，即，∴，
∴，即，
∴， 解得：．
∴．
【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．



【习题10】 设等式在实数范围内成立，且 是两两不同的实数，则值等于 __________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意知： ， 解得：．
∴．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．




【习题11】 求满足的自然数的值．
【难度】★★★
【答案】或．
【解析】由题意得：
∵是无理数，假设是有理数，则是有理数，这与（1）式矛盾，
∴为无理数，∴，
又∵， ∴．
∴或．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．





课后作业



【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）是．
【解析】根据二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，即可判断出来．
【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．



【作业2】 将x移到根号内，不改变原来的式子的值：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）1．
【解析】（1）；（2）．
【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．


【作业3】 若有意义，则的取值范围是______．
【难度】★
【答案】．
【解析】∵，
∴．
【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．



【作业4】 计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】=．
【总结】当碰到次数较大的时候，想到去用公式，本题运用平方差公式和二次根式的计算即可．


【作业5】 化简：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式，∴．
【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．


【作业6】 已知为非零实数，且=________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵， ∴， ∴，
∴， ∴．
【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．


【作业7】 若代数式的立方根．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意得：，∴．
【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．
【作业8】 是的小数部分，求的值．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】由题意得：，∴．
【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．



【作业9】 已知为有理数，且等式成立，
的值．
【难度】★★★
【答案】2000．
【解析】∵，∴，
∴， ∴．
【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．



【作业10】 已知的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，
∵，∴，∴．
【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．



【作业11】 已知的值．
【难度】★★★
【答案】1．
【解析】由题意得：，解得：，代入得．
【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．


【作业12】 化简：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）
=
=
=．
【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．