沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法学案-教师版(1)

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一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.
知识结构
模块一：一元二次方程的概念
知识精讲
一元二次方程的概念
1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．
一元二次方程一般式的概念
任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．
3一元二次方程的解
能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．
例题解析
下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）（为已知数）；
（7）； （8）．
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【答案】
【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方
程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7）
化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一
元二次方程．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
当________时，方程一元二次方程．
【难度】★
【答案】．
【解析】令二次项系数不为0，即，解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
方程的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________．
【难度】★
【答案】， 1， 0．
【解析】去括号，得：，
移项得：，所以二次项系数是1，常数项是0．
【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．
写出一个满足条件一次项系数是，且有一个根是的一元二次方程．
【难度】★
【答案】等．
【解析】一次项为，二次项系数任意定，再把代入用常数项配凑．
【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．
关于x方程有一个根是，求m的值．
【难度】★
【答案】．
【解析】将代入的：，
解得：．
【总结】本题考查了方程的解得概念．
当取何值时，关于的方程是一元二次方程．
【难度】★★
【答案】0或－1．
【解析】 整理得：
时，此时原方程为：，
由， 解得：；
当时，此时原方程为：，
由，解得：．
综上：．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．

若关于x的方程．
（1）方程为一元二次方程，的取值是？
（2）方程为一元一次方程，的取值是？
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）令， 解得：；
（2）令，解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
如果关于x方程有实数根，试确定a、b应满足的关系．
【难度】★★
【答案】异号或且．
【解析】（1）当时，原方程为一元二次方程，
当异号时，原方程有实数根；
（2）当时，原方程为等式，当时，原方程有无数解；
综上：当异号时或且时，原方程有实数根．
【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．
关于x方程满足下列两个等式成立
，试求方程的解．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，，
得：原方程的解为：．
【总结】本题考查了方程的解得概念．
已知方程和有共同的根2，试求n的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】把代入得： ，
②×5－①得：
解得：．
【总结】本题考查了方程的解得概念．
若两个方程和只有一个公共根，写出与之间的关系．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设这个公共根是，则，
将两个方程相减得：，
解得：，
将代入原方程得：．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
若a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】由已知，得：，
移项，得：．
【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．
已知关于x的方程是一元二次方程，求a、b的值．
【难度】★★★
【答案】；；；；．
【解析】由已知得：
；；；；；
解得：；；；；．
【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．
已知是方程的一个根，求代数式的值，用含a的式子表示．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由已知，得：，
两边同时除以，得：，
．
．
【总结】本题考查了方程的根的概念．
模块二：特殊的一元二次方程的解法
知识精讲
1、特殊的一元二次方程的解法
1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解．
1.2、因式分解法的一般步骤：
将方程右边化为零；
将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
例题解析
填空：
方程的根是____________；
方程的根是____________；
如果方程有解，那么_________；其解=________；=________．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3），．
【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解

② ① ②
； ；
（3）由原方程有解得：．
直接开平方：
②
∴．
【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．
如果n是方程的根，且的值是（）
A．B．C．1D．
【难度】★
【答案】D
【解析】将代入方程得：，即：
∵，
∴，
∴，
故选择D．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
方程：的较小的根是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】A
【解析】提公因式，得：，
整理得：，
∴，
∵ ，故选择D．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
解关于的方程（用直接开平方方法）：
（1）；
（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1） （2）


∴； ∴．
【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．
解关于的方程（因式分解方法）：
（1）；
（2）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1） （2）
① ②
∴；
②
∴．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
解关于的方程（合适的方法 ）：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法

① ②
∴； ∴．
【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！
解关于的方程（合适的方法）：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）把看作一个整体，因式分解

① ②
∴；
②
∴．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．
解关于的方程：．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】直接开平方：
②
解得：， ．
【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．
解关于的方程：
（1）；
（2）
（3）．
【难度】★★★
【答案】 （1），；
（2）当时，，；
当时， ；
当，原方程有无数解；
（3）当时，，；
当时，；
当时，．
【解析】（1），
，
∴，；
①当即时，原方程是一元二次方程


∴，；
②当且时，即时，原方程是一元一次方程；
③当，等式恒成立，原方程有无数解；
综上：当时，，；
当时， ；
当，原方程有无数解；
（3）整理得：
① 当即时，原方程是一元二次方程


∴，；
②当时，原方程为：，解得：；
③当时，原方程为：，解得：；
综上：当时，，；
当时，；
当时，；
【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．
已知关于x的一元二次方程的一个根为0，求m的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，即；
将代入，得：
解得：．
又，
∴．
【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．
解关于的方程：
（1）；
（2）．
【难度】★★★
【答案】（1）当同号时，；
当异号时，原方程无解；
（2）．
【解析】（1）移项得： （2）把看成一个整体，则：
∵
∴
当同号时，； ∵ ∴
当异号时，原方程无解； ∴．
【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．
解关于的方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵，原方程是一元二次方程；


∴．
【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．
方程的较大的根是a，方程的较小的根为，求代数式的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】


∴；
∴；
∴．
【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．
随堂检测
下列方程中，是一元二次方程的是（）．
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】B
【解析】A选项是分式方程；C选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会
学到的无理方程；D选项化简后为是一元一次方程；故选择B选项．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
关于的方程是不是一元二次方程？
【难度】★
【答案】不一定．
【解析】当即时，原方程是一元二次方程；
当即时，原方程是一元一次方程．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
已知关于x的方程，当k________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________．
【难度】★
【答案】．
【解析】略．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．
若方程有解，则的范围是_______．
【难度】★
【答案】．
【解析】移项，得：， 由方程有解，得：，∴．
【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．
关于的方程两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是
（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】将代入，得：
当时，，与题意矛盾，
故，选择B．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
方程的解相同，求的值．
【难度】★★
【答案】12．
【解析】由已知得两个方程是同一个方程，
将左右两边同时乘以3，得：，
∴．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
用指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方）；
（2）（）（因式分解）．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） （2）∵,原方程为一元二次方程
整理得：

②
解得：； 解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法．
用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1） （2）
， ② ， ，
解得：； 解得：；
（3）整理得： （4）∵原方程是一元二次方程，
， ，
，
解得：； ，
解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．
已知方程有共同的根是，求a的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】将代入，得：，
×2+②，得：， 解得：．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
解关于的一元二次方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】移项，得：，
，
，
，
，
解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．
已知：若成立，求方程的解．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由已知，得：，∴．
则原方程为：，分解因式，得： ．
解得原方程的解为：．
【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．
已知关于的方程,和有一个公共根，求证：这个公共根只能是1．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】设这个公共根是，则
将三个方程相加得：，
则．
∵，
∴， 即，
∴这个公共根只能是1．
【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．
课后作业

下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】B
【解析】A、C、D选项均符合定义，B选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
（1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；
（2）关于的方程是恒等式，则=____________．
【难度】★
【答案】（1）； ；
（2）－10．
【解析】（1）根据题意得：
化简，得：；
（2）化简得：
由题意，得：，
∴．
【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．
方程是一元二次方程成立的条件是（）．
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】令，解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．
如果方程的两个根互为相反数，那么有（）．
A．B．C．D．以上结论都不对
【难度】★★
【答案】B
【解析】①当时，代入得：，此时方程为：，
方程的解为，前后矛盾；
设方程的根为，（）代入得：
将两个方程相减得：，∵， ∴．
解得：．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
若方程中，满足，则方程的根是（ ）．
A．1，0B．-1，0C．1，-1D．无法确定
【难度】★★
【答案】C
【解析】由已知得：，，故选择C．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
用合适的方法解下列关于的方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）， （2）整理得：，
， ，
解得：； 解得：；
（3） （4）

，
解得：； 解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法．
若是方程的一个根，求n的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】将代入得：， 解得：．
【总结】本题考查了方程的根的概念．
解关于x的方程：．
【难度】★★★
【答案】 ①当时，；
②当时，；
当时，；
④当时，原方程有无数解．
【解析】整理得：

；
①当时，即时，原方程为一二次方程，


解得：；
②当时，原方程为，解得：；
③当时，原方程为，解得：；
④当时，原方程有无数解；
综上：①当时，；
时，；
③当时，；
④当时，原方程有无数解．
【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．
设的两根，求的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】由已知得：，
原式=
=
=0．
【总结】本题考查了方程的解得概念．
已知实数，求代数式的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】将两个方程相加得：
整理得：


解得：．
【总结】本题考查了特殊方程的解法．
当m、n为何值时，关于x的方程是一元二次方程．
【难度】★★★
【答案】；；；．
【解析】由已知得：
；；；；；
解得：；；；；（第五个方程组无解）
【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．