沪教版（五四学制）初中数学八年级上册第6讲：一元二次方程的判别式及应用学案-教师版(1)

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根的判别式及其应用
内容分析

根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围等．
知识结构

模块一：判别式的值与根的关系

知识精讲

1．一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根
的判别式，通常用符号“”表示，记作．
2．一元二次方程，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
反之，也成立．

例题解析

【例1】 .填空题：
（1）的判别式的值是_________________；
（2）判别式的值是___________________；
（3）判别式的值是_____________ ．
【难度】★
【答案】（1）1；（2）；（3）．.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................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【解析】（1），，，；
（2）整理成一般形式即为，，，，；
（3），，，
则．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数．

【例2】填空题：
（1）若没有实数根，则a的取值范围是_________________；
（2）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是___________________；
（3）已知关于x的方程的根的判别式等于0，且是方程的根，则_____________ ．
【难度】★
【答案】（1）；（2）且；（3）【答案】【答案】
【解析】（1）方程没有实数根，可知，则方程为一元二次方程，，得；
（2）方程有实数根，且为一元二次方程，则有且，
即得：且；
（3）方程根的判别式为0，即，是方程的根，代入即得：，整理，得：，所以，则，．
【总结】考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意题目隐含条件．

【例3】如果a、c异号，那么一元二次方程的根的情况是（）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定　
【难度】★
【答案】A【答案】【答案】
【解析】a、c异号，则有恒成立，可知方程有两不等实根，故选A．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用．

【例4】不解方程，判定下列方程的根的情况：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）无实数根；（3）略．【答案】【答案】
【解析】（1）因为，，，则有，所以方程有两个不相等的实数根；
（2）整理即为，则，，，则有，所以原方程无实数根；
（3），可知当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
【总结】考查根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．

【例5】已知关于x的一元二次方程一定有实数根吗？为什么？
【难度】★
【答案】一定有实数根．【答案】【答案】
【解析】因为，，，则有恒成立，由此可知方程一定有实数根．
【总结】方程一定有实数根，恒成立即可．

【例6】若关于x的方程没有实数根，求m的最小整数值的情况．
【难度】★★
【答案】2．【答案】【答案】
【解析】方程整理成一般式即为，方程没有实数根，则，
即方程必为一元二次方程，且有，即得，则的最小整数值为2．
【总结】考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围．

【例7】关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
【难度】★★
【答案】且．【答案】【答案】
【解析】方程整理成一般式即为，方程有两个实数根，则，即方程必为一元二次方程，且有，
即得：且．
【总结】考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围，注意有两个相等实数根也属于有两个实数根的情形．

【例8】判断关于x的方程根的情况．
【难度】★★
【答案】时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根．
【解析】方程整理成一般式即为，则恒成立，
由此可得当时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的分类讨论，根据字母取值范围讨论．

【例9】已知关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实根，求a的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实根，求a的值，并求出此时方程的根；
（3）若方程有实根，求a的最大整数值．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2），方程根为；（3）0．【答案】【答案】
【解析】（1）方程有两个不等实数根，则有，即得：；
（2）方程有两个相等实数根，则有，即得，此时方程即为，解得:；
（3）方程有实数根，则有，即得，则的最大整数值为0．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定字母取值范围题型，根据题目要求得出结论．

【例10】已知是方程的两个实数根，且，求q的最大值
【难度】★★★
【答案】【答案】【答案】
【解析】因为是方程的两个实数根，根据韦达定理可得：，
，由，即得，则有，
同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得，得，
即的最大值为．
【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．

模块二：根的判别式的应用

知识精讲

（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．

例题解析

【例11】填空：
（1）方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_________；
（2）当k =_________，方程有两个相等的实数根；
（3）关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m =_______．
【难度】★
【答案】（1）且；（2）；（3）2或0【答案】【答案】
【解析】（1）方程有两个不等实根，则有且二次项系数，
即得：且；
（2）因为方程有两个相等实根，则有，
即得：；
（3）因为原式是完全平方式，即方程有两个相等实根，
则有，即得：或．
【总结】考查一元二次方程根的判别式与方程根的关系．

【例12】要使一元二次方程有两个相等实数根，则a的值为（）
A．2 B． C． D．
【难度】★
【答案】B【答案】【答案】
【解析】方程有两个相等实根，则有，即得，故选B．
【总结】方程有两个相等实根，即．

【例13】　填空：
（1）一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为__________；
（2）若一元二次方程有两个相等的实数根，则m =__________．
【难度】★
【答案】（1）（应排除的情形）；（2）．【答案】【答案】
【解析】（1）方程有两个相等实根，则有，即得：，则；
（2）因为方程有两个相等实根，则有，方程为
一元二次方程，可得：，则有，．
【总结】方程有两个相等实根，即，注意题目隐含条件．

【例14】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围．
【难度】★
【答案】且．【答案】【答案】
【解析】方程有两个实数根，则有，方程必为一元二次方程，且
，即得：且．
【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意有两个相等实根的情况和二次项系数不为0的隐含条件．

【例15】说明不论m取何值，关于x的方程总有两个不相等的实数根．
【难度】★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】方程整理为一般形式即，恒成
立，即证方程总有两个不相等的实数根．
【总结】方程总有不等实根，恒成立即可，注意先整理成一般形式再说明．

【例16】已知关于x的一元二次方程，其中m为实数．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）且．【答案】【答案】
【解析】（1）方程整理为一般形式即，方程有两个相等实根，
则有，即得：；
（2）方程有两个不等实根，则有且二次项系数，
即得：且．
【总结】考查一元二次方程根的判别式讨论方程根的情况，注意二次项系数不为0．

【例17】关于的方程有实数根，则关于x的方程的根的情况又如何？写出判断的过程．
【难度】★★
【答案】方程有两不相等的实数根．【答案】【答案】
【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根，此时另一方程
为，，即得方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有实数根，可得，
得且，则，又，
所以方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有两个不相等的实数根．
【总结】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论．

【例18】关于x方程：两根的平方和比两根的积大21，求m的值．
【难度】★★
【答案】．
..........【答案】【答案】【解析】设方程两根分别为，，根据一元二次方程韦达定理，可得：，
，，即，
整理得：，解得：，，同时韦达定理成立的前提是方
程有实数根，即得，得，所以．
【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．

【例19】已知关于x的方程有两个相等的实数根，求证：．
【难度】★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】证明：因为方程有两个相等的实数根，则方程为一元
二次方程，即得且，
即，得且．
【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．

【例20】恰有一实数满足方程，求k的值．
【难度】★★
【答案】或或【答案】【答案】
【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，符合题意；
（2）当时，方程为一元二次方程，则有，
解得：，；综上所述：或或．
【总结】未明确说明是一元二次方程的前提下，注意分类讨论．
【例21】已知a、b、c是三角形ABC的三边：且关于x的方程
有两个相等的实数根，试判定三角形ABC的形状．
【难度】★★
【答案】等边三角形．【答案】【答案】
【解析】因为方程有两相等实根，得，
即，
化简得：，，，因为a、b、c是三角形三边，
可得，，，故有，即得三角形ABC是等边三角形．
【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．

【例22】已知关于x的方程有两个不相等的正整数根，求m的值．
【难度】★★
【答案】【答案】【答案】
【解析】设方程两根分别为，，根据一元二次方程韦达定理，可得，
，得，同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得
，得：．
【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．

【例23】求证：关于x的方程一定有实数根，且一个大于a，一个小于a．
【难度】★★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】方程整理成一般形式即为，则有
恒成立，即证方程一定有实数根，设方程两根分
别为，，根据一元二次方程韦达定理，可得：，，
则有，
即得和一正一负，证得方程有一根大于a，一根小于a．
【总结】考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用，注意首先整理成一元二次方程的一般形式．

【例24】已知实数a、b满足且，求t的取值范围．
【难度】★★★
【答案】．【答案】【答案】
【解析】由，可得：，则有，令、是一元二次
方程的两根，则有，得，
即得．
【总结】考查一元二次方程韦达定理和根的判别式的综合应用，转化为方程的根的问题即可求解．

【例25】要使关于x的方程的根以及系数m都是整数，求满足这样的条件的m的值．
【难度】★★★
【答案】1．【答案】【答案】
【解析】当时，方程是一元一次方程，根为是整数，此时另一方
程为，方程根不为整数；当时，两个方程都有根，则有
，，
得且，方程根为整数，则值为完全平方数，取整数，此时两方
程根均为整数，符合题意．所以m的值为1．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的综合应用．

【例26】若k为正整数，且关于的方程有两个不相等的正整数根，求k的值．
【难度】★★★
【答案】2．【答案】【答案】
【解析】因为方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程，所以，得，
对方称因式分解得，解得：，，方程
有两根为正整数且不相等，则有，2，3，4，6，12，，2，3，6，当
或时同时成立．又方程有两个不相等的实数根，则
，即，所以．
综上，k的值为2．
【总结】本题一方面考查因式分解法解方程，另一方面考查了根的判别式的应用，同时注意方程的根为正整数时对应求值的方法．

【例27】已知是关于x的方程：的两个根：
（1）当k为何值时，成立，如果存在，求出k的值；不存在，说明理由？
（2）当的值为整数的实数k的值．
【难度】★★★
【答案】（1）不存在；（2）或或．
【解析】（1）因为是方程的两根，所以，且
，即得，根据韦达定理可得：，
，则有，
即，得：，与不符，所以不存在这样的k值；
（2）因为，式子值为整数，可得：，
，，结合，可得：或或．
【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．
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【习题1】已知关于x的方程，当时，它是一元二次方程．填空：
（1）当k_________时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当k_________时，方程有两个相等的实数根；
（3）当k_________时，方程没有实数根．
【难度】★
【答案】（1）且；（2）；（3）．【答案】【答案】
【解析】，
（1）方程有两个不等实根，且，即得且；
（2）方程有两个相等实根，则有，即得；
（3）方程没有实数根，则有且，即得．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．

【习题2】一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
【难度】★
【答案】且．【答案】【答案】
【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数，
且有，即得：且．
【总结】考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意二次项系数不为0的隐含条件．

【习题3】关于的方程无实数根，则的取值范围是___________．
【难度】★
【答案】．【答案】【答案】
【解析】方程无实根，则必有，即方程为一元二次方程，则有
，即得：．
【总结】方程无实根，注意排除二次项系数为0的情况．

【习题4】关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
【难度】★
【答案】且．........................................................【答案】【答案】
【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数，
且有，即得且．
【总结】考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意二次项系数不为0的隐含条件．

【习题5】对于一元二次方程给出下面4个条件：①；
②异号；③；④．使方程有实数根的条件有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】C【答案】【答案】
【解析】方程有实数根，只需要成立即可，由此可得：①，恒
成立，方程有实数根（方程必有一根为0）；②异号，则，恒
成立，方程有实数根；③，不能确定与0的大小关系，不能确
定是否有实数根；④，即得方程必有一根为，综上所述，故选C．
【总结】方程是否有实数根，只需判断在给定条件下是否恒成立即可．
【习题6】当k取何值时，方程有实数根．
【难度】★★
【答案】．【答案】【答案】
【解析】整理成一般形式即为，（1）当，即时，
此时，方程为一元一次方程，必有实数根；（2）当，即时，
方程有实数根，则有，即得且；
综上所述，当时，方程有实数根．
【总结】考查方程有实数根的问题，对二次项系数含有字母的注意分类讨论．

【习题7】求证：关于x的方程有两个不相等的实数根．
【难度】★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】证明：恒成立，
即可证得方程有两个不相等的实数根．
【总结】考查一元二次方程根的存在性问题，只需要根据题目条件判断相应与0的大小关系即可．

【习题8】要使关于x的方程有实根，整数a取得的最大值是多少？
【难度】★★
【答案】0【答案】【答案】
【解析】（1）当，此时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当时，方程有实数根，则有，
即得：且；综上所述，，则整数a取得的最大值为0．
【总结】考查方程有实数根的问题，由于本题没有说明是一元几次方程，因此要对二次项系数进行分类讨论．

【习题9】求证：不论m取何值，关于x的方程总有实数根．
【难度】★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】证明：（1）当，即时，此时，方程为一元一次方程，必有
实数根；（2）当时，方程有实数根，则恒
成立；综上所述，即证方程必有实数根．
【总结】考查方程有实数根的问题，对二次项系数含有字母的注意分类讨论．

【习题10】已知：方程没有实数根，求证：方程一定有两个不相等的实数根．
【难度】★★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】证明：方程整理成一般形式即为，方程没有实数根，
则有，即得：；方程整理成一般形式即为
，则有，由，则有
，，则，即证方程有两个不相等的实数根．
【总结】考查一元二次方程根的存在性问题，判断相应与0的大小关系即可．

【习题11】已知系数k是整数，方程有一个正根、一个负根，且负根的绝对值较大，求k的值．
【难度】★★★
【答案】．..........................................................................................................................................................................................................................................................

【答案】【答案】
【解析】设方程两根分别为，，根据一元二次方程韦达定理，可得：，
，因为方程有一个正根，一个负根，且负根绝对值大，则有，
解得：，同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得
恒成立，得．
所以，又因为k为整数，所以可得．
【习题12】　设m为有理数，是否存在实数k，使方程的根是有理数．
【难度】★★★
【答案】．【答案】【答案】
【解析】因为方程根为有理数，则有

为完全平方数，即为完全平方数即可，
所以，解得：．
【总结】一元二次方程的根为有理数，则说明根的判别式是完全平方数，即相应的方程即可．

课后作业

【作业1】求下列方程的判别式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
【难度】★
【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）．【答案】【答案】
【解析】（1）方程整理成一般形式即为，，，，
；
（2）方程整理成一般形式即为，，，，；
（3）方程整理成一般形式即为，，，，
；
（4），，，．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数．

【作业2】已知代数式是完全平方式，求m的值．
【难度】★
【答案】7或．【答案】【答案】
【解析】是完全平方式，即得关于的方程有两个
相等的实数根，则有，，解得：，．
【总结】考查完全平方式与方程根个数的转化，完全平方式即方程有两个相等实根．

【作业3】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，求k的值．　
【难度】★
【答案】．【答案】【答案】
【解析】方程有两个相等实根，则有，方程为一元二次方
程，可得，即得：．
【总结】考查一元二次方程的根的情况，方程有两个相等实根，即．

【作业4】已知关于的方程：
（1）若方程只有1个实数根，求k的值；
（2）若方程有实根，求k的取值范围；
（3）若方程有两实根，求k的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）或；（3）或或．【答案】【答案】
【解析】（1）方程只有1个不等实根，即方程为一元一次方程，二次项系数，
即得:；
（2）同（1），时，方程为一元一次方程，有实根；，即时，方程
为一元二次方程，方程有实根，则有，即得或
，则或或；综上所述，或；
（3）由（2）可知，方程有两实根，或或．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意分类讨论．

【作业5】已知关于x方程有实数根，求k的取值范围．
【难度】★★
【答案】．【答案】【答案】
【解析】方程有实数根，则有，即得，同时二次
根式下，，综上所述，可得．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意题目的隐含条件．

【作业6】已知关于x的方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
【难度】★★
【答案】1或4．【答案】【答案】
【解析】因为方程有两个相等的实数根，则有，
即，解得或，则或．
【总结】方程有两个相等实根，即，注意题目隐含条件．

【作业7】已知关于x的方程没有实数根，试判断方程的根的情况．
【难度】★★
【答案】两个不相等的实数根．【答案】【答案】
【解析】（1）当时，即时，方程为一元一次方程，必有实数根，不合题意；
（2）当时，方程没有实数根，可得，
得，则，，可知方程有两个不等实数
根，综上所述，方程有两个不相等的实数根．
【总结】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论．

【作业8】已知，且关于x的方程两根都是整数，求n的值．
【难度】★★★
【答案】，0，，4【答案】【答案】
【解析】，配方即得，方程两根为整数，则为平方数，
由，可得，即得，或，或，或，
即得，0，，4．
【总结】考查方程根为整数，则相应值为完全平方数．

【作业9】已知a、b、c是三角形ABC的三边：
求证：关于x的方程没有实数根．
【难度】★★★
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】因为，
化简，得，
因为a、b、c是三角形三边，可得，，，由三角形三边关系，可知，
，，则，，，，
由此可得，即证方程没有实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．

【作业10】已知关于x的方程：
（1）求证：无论n取何值，这个方程一定有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为，若，求n的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）．【答案】【答案】
【解析】（1）证明：因为恒成立，所以方程总有两个不相等
的实数根；
（2），解得：，，
因为，所以，即得：．
【总结】考查方程根的存在性问题，方程有两不等实根，即恒成立，同时考查对式子的分解因式．

【作业11】已知p、q是常数，有且只有三个不同的实数满足方程，试解答下面的问题：
（1）求证：；
（2）如果方程的三个解正好是一个直角三角形三边的长，求p、q的值．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2），．【答案】【答案】
【解析】（1）证明：因为方程有三个实根，则方程和方程必
为一个有两个不相等的实数根，一个方程有两个相等的实数根，
，，恒成立，
则为，，即得：；
（2）设方程两根分别为，，由，可得：，
方程即为，解得：，；方程
即为，解得：，方程三个解恰为直角三角形三边长，
由，可得：，即，整理得
，三边长为正数，可得：，解得：，则有．
【总结】考查分类讨论的思想，根据题目要求进行具体分析．