沪科版 初中数学 八年级上册 13.2.3　三角形内角和定理的证明及推论1、2

沪科版数学八年级上册同步学案

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明

13.2　命题与证明

13.2.3　三角形内角和定理的证明及推论1、2

要  点  讲  解

要点一　三角形内角和定理的证明

1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.

2. 证明三角形内角和定理时，主要借助辅助线将三角形的三个内角转化成平角或同旁内角，从而得出证明结论．在几何证明当中，常常需借助辅助线，使零散的条件集中起来，为结论的证明做准备．

经典例题1　(1)三角形内角和等于________．

(2)请证明以上命题．

解析：(1)直接根据三角形内角和定理得出结论即可；(2)画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出相关角相等，再通过等量代换即可得出结论．

解：(1)180°

(2)已知：如图所示的△ABC.

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

证明：过点C作CF∥AB，

∵CF∥AB，

∴∠2＝∠A，∠B＋∠BCF＝180°.

∵∠1＋∠2＝∠BCF，

∴∠B＋∠1＋∠2＝180°，

∴∠B＋∠1＋∠A＝180°，即三角形内角和等于180°.

要点二　三角形内角和定理的推论1、2

1. 如果三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另两个角的和应为90°，于是得：

推论1：直角三角形的两锐角互余．

2. 根据三角形内角和定理，还可以得到：

推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．

经典例题2　如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1的度数是(　　　)

A．35°　　　B．45°　　　C．55°　　　D．65°

解析：根据BC⊥AE于点C可知△ABC是直角三角形，所以∠A＋∠B＝90°，又因为∠B＝55°，所以∠A＝35°，再由CD∥AB得∠1＝∠A＝35°.

答案：A

当  堂  检  测

1. 在△ABC中，∠B＝40°，∠A是∠C的3倍，则∠A的度数为(　　)

A. 30°               B. 35°             C. 105°             D. 120°

2. 如图，已知D，E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为(　　)

A. 90°               B. 80°             C. 70°              D. 60°

第2题                                   第3题

3. 如图，三直线两两相交于A，B，C，CA⊥CB，∠1＝30°，则∠2的度数为(　　)

A. 50°                 B. 60°              C. 70°               D. 80°

4. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB.若∠BCE＝35°，则∠A的度数为(　　)

A. 35°                  B. 45°              C. 55°                D. 65°

5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)

A. ∠A＋∠B＝∠C                          B. ∠A＝∠B＝∠C

C. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3                 D. ∠A＝2∠B＝3∠C

6. 在△ABC中，满足下两条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A－∠B＝∠C；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④∠A＝90°－∠C，能确定△ABC是直角三角形的有(　　)

A. 1个                  B. 2个             C. 3个               D. 4个

7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC的度数为       .

8. 在△ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B.求∠A，∠B，∠C的度数.

9. 如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？

当堂检测参考答案

1. C  2. B  3. B  4. C  5. D  6. C

7. 65° 

8. 解：设∠B＝x，则∠A＝30°＋x，∠C＝4x，则有30°＋x＋x＋4x＝180°，即可得x＝25°，故∠B＝25°，于是可求出∠A＝30°＋25°＝55°，∠C＝4×25°＝100°.

9. 解：△ABC是直角三角形.理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形.∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形.