沪科版 初中数学 八年级上册 15.4.1　角平分线的性质

沪科版数学八年级上册同步学案

第15章　轴对称图形与等腰三角形

15.4　角的平分线

第1课时　角平分线的性质

要  点  讲  解

要点一　用尺规作角的平分线

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．作已知角的平分线的方法有很多，经常用到的是折叠法和尺规作图法，尺规作图一定要保留作图痕迹， 并且要写出结论．

经典例题1　如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规作一个∠γ，使得∠γ＝∠α－∠β.(只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法)

解：如图所示，∠BCD即为所求作的∠γ.

要点二　角平分线的性质

1. 角平分线上的点到角两边的距离相等．

如图所示，角平分线性质定理的应用格式为：

∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴PE＝PF.其条件中包含了“一个平分，两个垂直”，这些条件缺一不可．

2. 角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法.

3. 当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段．

经典例题2　在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若DC＝5，则D点到AB的距离是________．

解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则线段DE的长就是D点到AB的距离．因为∠C＝90°，所以DC⊥AC.因为AD是∠BAC的平分线，所以DC＝DE.又因为DC＝5，所以DE＝5，即D点到AB的距离为5.

答案：5

易错易混警示　在条件不满足的情况下，误用角平分线定理

经典例题3　如图所示，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F.试说明BP平分∠ABC.

解析：过点P作PE⊥AC于点E，已知AP平分∠MAC，PD⊥BM，根据角平分线的性质定理可得PD＝PE，同理PE＝PF，则PD＝PF.再通过求证△BDP≌△BFP即可．

解：过点P作PE⊥AC于点E.

∵AP，CP分别是∠MAC，∠NCA的平分线，PD⊥AM，PE⊥AC，PF⊥BN，

∴PD＝PE，PE＝PF.(角平分线上的点到角两边的距离相等)

∴PD＝PF.(等量代换)

又∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴∠BDP＝∠BFP＝90°，

在Rt△BDP和Rt△BFP中，

∴Rt△BDP≌Rt△BFP，

∴∠DBP＝∠FBP，即BP平分∠ABC.

当  堂  检  测

1. 利用尺规作∠AOB的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P，作射线OP.此作法的依据是(　　)

A. SAS                  B.ASA              C. AAS             D. SSS

第1题                                 第2题

2. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(　　)

A. 6                      B. 5                C. 4               D. 3

3. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论不一定成立的是(　　)

A. PA＝PB                                    B. PO平分∠APB

C. OA＝OB                                    D. AB垂直平分OP

第3题                                     第4题

4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是(　　)

A. AD是∠BAC的平分线                          B. ∠ADC＝60°

C. 点D在AB的中垂线上                         D. S△DAC∶S△ABD＝1∶3

5. 如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝4，则两平行线间的距离为         .

第5题                                第6题

6. 如图，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C＝       .

7. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是         .

8. 已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.

9. 如图，BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.

求证：PM＝PN.

当堂检测参考答案

1. D  2. A  3. D  4. D

5. 8 

6. 30° 

7. 4 

8. 解： 如图，分别作∠A，∠B的平分线交于点P，则点P到△ABC三边的距离相等.

9. 证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB＝∠CDB.∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.