沪教版 (五四制)24.5 相似三角形的性质精品测试题

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（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学24.5 相似三角形的性质 同步测试
一、单选题
1．（2022九上·福建竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（　　）

A．6152 B．8552 C．6126 D．8513
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设 BC=a ，则 AB=2a ， DM=MC=a .
作 MH⊥AB 于 H ，
则 ∠EMH=90°−∠MEA=∠FAB .

所以 Rt△EMH∽Rt△FAB .
所以 MHHE=ABBF ，
即 aa−2=2a1 ，
解得 a=52 .
于是 BC=52 ， AB=5 .
所以 AF=AB2+BF2=52+12=26 ，
S△ABF=12AB×BF=12×5×1=52 .
又 Rt△AEG∽Rt△AFB ，
所以 S△AEGS△AFB=(AEAF)2=(5−226)2=926 .
因此 S△AEG=926S△AFB=926×52=4552 .
所以 S四边形BFGE=S△AFB−S△AEC=52−4552=8552 .
故答案为：B.
【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.
2．（2021九上·舟山期末）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与ΔOAB的位似比为 13 的位似图形ΔOCD.若点C的坐标为 (−1,−23) ,则点A的坐标为(　　)

A．(23,2) B．（23，2） C．(3,23) D．(3,2)
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意得，xCxA=yCyA=13
∴-1xA=-23yA=13
∵xA>0，yA>0
∴xA=3，yA=2
∴A（3，2）
故答案为：D.
【分析】由位似可以得出，C点和A点的横坐标绝对值之比，等于纵坐标绝对值之比，等于位似比，从而得出结果。
3．（2021九上·海曙期末）如图, A、B 在圆形方格网横线上, 点 C、D 是直径 AB 与网格横线的交点, 则 BC:CD:DA 为(　　)

A．3:4:5 B．1:3:2 C．1:4:2 D．3:6:5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图，过点C作CE⊥BE于点E，过点B作BF⊥CF于点F，过点A作AG⊥DG于点G，

∴∠BEC=∠CFD=∠AGD=90°，
∴BE∥CF∥DG，
∴∠B=∠FCD=∠ADG，
∴△BEC∽△CFD∽△DGA，
∴BC：CD：AD=EC：FD：GA=1：3：2.
故答案为：B.

【分析】过点C作CE⊥BE于点E，过点B作BF⊥CF于点F，过点A作AG⊥DG于点G，利用垂直的定义和平行线的性质可证得∠BEC=∠CFD=∠AGD=90°，∠B=∠FCD=∠ADG，EC：FD：GA=1：3：2.；由此可证得△BEC∽△CFD∽△DGA，利用相似三角形的对应边成比例可证得BC：CD：AD=EC：FD：GA，即可求解.
4．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（　　）

A．8 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= 12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DEBC= 12，
∴SΔADESΔABC=14，
∵S△ABC=16，
∴SΔADE=14SΔABC=14×16=4，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE= 12BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得s△ADEs△ABC=DEBC2=14，则S△ADE=14S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
5．（2021九上·镇平县期末） 如图，平行四边形OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点B的坐标为（　　）

A．（25，2）
B．（23，2）
C．（23＋1，2）
D．（25＋1，2）
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，

∴∠CD'O=90°， OD=OD'，
∵∠DOA+∠D'OC=∠D'CO+∠D'OC，
∴∠DOA=∠D'CO，
∵∠ODA=∠OD'C=90°，
∴△ADO∽△OD'C，
∴ADAO=OD'OC，
∵A(1,2)，
∴AD=1,OD=2，
∴AO=12+22=5， OD=OD'=2，
∴OC=25，
∴AB=OC=25，
∴DB=AD+AB=1+25，
∴点B的坐标为： (1+25,2)，
故答案为：D.
【分析】连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，由同角的余角相等可得∠DOA=∠D'CO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADO∽△OD'C，则可得比例式 ADAO=OD'OC，根据比例式求出CO，由平行四边形的性质得OC=AB，由线段的构成DB=AD+AB求得DB的值，则点B的坐标可求解.
6．（2021九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，将 △OAB 以原点O为位似中心放大后得到 △OCD ，若 B(0,1) ， D(0,3) ，则 △OAB 与 △OCD 的面积的比是（　　）

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵B(0,1) ， D(0,3) ，
则 △OAB 与 △OCD 的位似比为 OB:OD=1:3 ，
∴△OAB 与 △OCD 的相似比为 1:3
则 △OAB 与 △OCD 的面积比为 1:9
故答案为：D.
【分析】根据点B、D的坐标可得△OAB、△OCD的位似比，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
7．（2021九上·宜宾期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 DE=60 cm， EF=30 cm，测得边DF离地面的高度 AC=1.5 m， CD=10 m，则树高AB为（　　）

A．4m B．5m C．5.5m D．6.5m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意∠EDF=∠CDB ， FE⊥DE,BC⊥DC
∴∠DEF=∠DCB
∴△DEF∽△DCB
∴DEDC=EFBC
∵DE=60 cm， EF=30 cm， CD=10 m， AC=1.5 m，
∴BC=DC⋅EFDE=10×3060=5 m
∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5 m
故答案为：D.
【分析】依题意可得∠EDF=∠CDB，根据垂直的概念可得∠DEF=∠DCB，证明△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质求出BC，然后根据AB=AC+BC进行计算.
8．（2021九上·内江期末）如图， △ ABC与 △ DEF位似，点O是位似中心，若OE=3OB， S△ABC =4，则 S△DEF =（　　）

A．9 B．12 C．16 D．36
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴BCEF=OBOE=13 ，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
即 S△ABCS△DEF=19 ，
∴S△DEF=36.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得△ABC∽△DEF，BC∥EF，则△OBC∽△OEF，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
9．（2021九上·邗江期末）已知 △ABC∽△DEF ，且相似比为 1:2 ，则 △ABC 与 △DEF 的周长比为（　　）
A．1:4 B．4:1 C．1:2 D．2:1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可.
10．（2021九上·邗江期末）如图，在 △ ABC中，DE ∥ BC，EF ∥ AB，下列等式成立的是（　　）

A．ADDB=BFFC B．ADDB=ECAE C．ADDB=DEBC D．ADDB=EFAB
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，
∴ADDB=BFFC ，所以A选项的等式成立；
B、∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC ，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC ，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC ，
∴BDAD≠EFAB ，所以D选项的等式不成立.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A、B；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断C；根据DE∥BC结合平行线分线段成比例的性质可得 ADDB=AEEC，证明△CEF∽△CAB，然后结合相似三角形的性质可判断D.
二、填空题
11．（2021九上·内江期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD =2：3，CD=2，则AF的长为　 　.

【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴AEDE=AFCD ，
∵AE：AD=2：3，CD=2，
∴21=AF2 ，
∴AF=4.
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，证明△AFE∽△DCE，然后根据相似三角形的性质以及已知条件进行计算.
12．（2021九上·海州期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为　 　.

【答案】1：4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图：

∵AD ∥ BC，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AODS△COB=(ADBC)2
∵BC＝2AD，
∴S△AODS△COB=(AD2AD)2=(12)2=14 ，
故答案为：1：4.
【分析】易证△AOD∽△COB，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行计算即可.
13．（2021九上·海州期末）如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝　 　时，△ABC∽△AMN.

【答案】254
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ΔABC∽ΔAMN ，
∴ABAM=ACAN ，
∵M 是 AC 的中点， AB=8 ， AC=10 ，
∴AM=MC=5 ，
∴85=10AN ，
解得 AN=254.
故答案为： 254.
【分析】根据相似三角形的性质可得 ABAM=ACAN，根据中点的概念可得AM=MC=5，然后代入计算即可.
14．（2021九上·长沙期末）如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边 AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为　 　.

【答案】3或 247
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
若 ∠DEA=90° 时，则 ∠BED=90°=∠C ， CD=ED ，

连接AD，由折叠可得： Rt△BCD≌Rt△BED ，
由勾股定理可得： BC=AB2−AC2=6 ，
∴BE=BC=6 ， AE=10−6=4 ，
设 CD=DE=x ，则 AD=8−x ，
在 Rt△ADE 中，
DE2+AE2=AD2 ，
即： x2+42=(8−x)2 ，
解得： x=3 ，
∴CD=3 ；
②若 ∠ADE=90° ，则 ∠CDE=∠DEF=∠C=90° ， CD=DE ，

∴四边形CDEF是正方形，
∴∠BFE=∠EDA=90° ， ∠BEF=∠A ，
∴△BEF∽△EAD ，
∴BFED=EFAD ，
设 CD=x ，则 EF=CF=x ， BF=6−x ， AD=8−x ，
∴6−xx=x8−x ，
解得：x= 247 ，
综上所述，CD的长为3或 247 .
故答案为：3或 247 .
【分析】若∠DEA=90°，则∠BED=90°=∠C，CD=ED，连接AD，由折叠得△BCD≌△BED，由勾股定理求出BC，得BE=BC=6，AE=4，设CD=DE=x，则AD=8-x，由勾股定理求出x，据此得CD；若∠ADE=90°，则∠CDE=∠DEF=∠C=90°，CD=DE，由正方形性质∠BFE=∠EDA=90°，∠BEF=∠A，证明△BEF∽△EAD，设CD=x，则EF=CF=x，BF=6-x，AD=8-x，利用相似三角形的性质求出x，据此可得CD.
15．（2021九上·准格尔旗期末）已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE，CD=6，则BC的长为　 　．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，

∵S△ADE：S△DEC=4：2，
∴AE：EC=2：1，
∵S△ADE：S△DEC：S△BCD =4：2：3，
∴S△ACD：S△BCD=6：3，
∴AD：BD=2：1，
∵AEEC=ADBD，
∴DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠ACD=∠ADE，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴BCCD=ABAC=ACAD，
同理可证：△ACD∽△ADE，
∴CDDE=ACAD=ADAE，
∴BCCD=CDDE，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴DEBC=ADAB，
∵AD：BD=2：1，
∴ADAB=23，
∴DEBC=23，
∴DE=23BC，
∴BC⋅23BC=CD2，
∵CD=6，
∴BC=3．
故答案为：3．

【分析】根据△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，可得出AE：EC=2:1，AD:BD=2:1，则可证明DE//BC，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE，根据相似三角形判定推出BCCD=CDDE，计算可得结论。
三、解答题
16．（2021九上·永定期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C ，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE ∥ BC.经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？

【答案】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD ，
又∵BC=25，BD=12，DE=35，
∴2535=ABAB+12 ，
解得：AB=30.
答：河的宽度AB为30米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
17．（2021九上·章丘期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED=∠B，AD=3，AB=8，AE=4．求AC的长度．

【答案】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴3AC=48，
∴AC＝6．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】证明△ADE∽△ACB，可得ADAC=AEAB，代入相应数据即可求出AC.
18．（2021九上·平阴期末）如图，AB//CD，AD、BC相交于点O，若OA=2，OD=4，AB=3．求CD的长度．

【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△OAB∽△ODC，
∴ABCD=OAOD，即3CD=24，
∴CD=6.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，从而证得△OAB∽△ODC，利用相似三角形的性质即可求解.
19．（2021九上·揭西期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：BDDC=BEED．

【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AC，
∴∠DAC=∠ADE，
即∠BAD=∠ADE，
∴AE=ED，
∵DE//AC，
∴ΔBDE∽ΔBCA，
∴BDDC=BEAE，
∴BDDC=BEED．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 ∠DAC=∠ADE， 再求出 ΔBDE∽ΔBCA， 最后证明即可。
20．（2021九上·揭西期末）碧桂园进驻揭西，一栋栋高楼拔地而起．如图，小明（线段AB）利用学到的知识，计算楼房（线段CD）的层数，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C，若小明身高1.5m，测得BE＝1m，ED＝58m，碧桂园层高为2.9m，求这栋楼房有多少层？

【答案】解：由已知可得：∠AEB=∠CED，
又∵∠ABE=∠CDE=90°，
∴ΔABE∽ΔCDE，
∴ABCD=BEDE，
即1.5CD=158，
解得：CD=87m，
∴87÷2.9=30（层)，
答：这栋楼房有30层．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可。
21．（2021九上·锦州期末）如图，一盏路灯（点O）距地面6.4m，身高1.6m的小明从距离路灯的底部（点P）9m的A处，沿AP所在的直线行走到点D处时，小明在路灯下的影子长度缩短了1.8m，求小明行走的距离．

【答案】解：由题意，得OP=64m，AB=DE=1.6m，AP=9m，DF=AC−1.8，
∵∠OPC=∠BAC，∠BCA=∠OCP，
∴△BCA∼△OCP，
∴BAOP=ACPC，即1.66.4=ACAC+9，
∴AC=3，
∴DF=AC−1.8=3−1.8=1.2(m)，
∵∠OPC=∠EDF=90∘,∠EFD=∠OFP，
∴△EFD∼△OFP，
∴DEOP=DFPF，即1.66.4=1.2PF，
∴PF=4.8，
∴AD=AP−PF+DF=9−4.8+1.2=5.4(m)，
答：小明行走的路程为5.4m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
22．（2021九上·秦都期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度.如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）.已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD.求大楼的高度CD.

【答案】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J.则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形.

∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，
∵AB=2.5米.
∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴AJCH=EJEH ，
∴1CH=225 ，
∴CH=12.5（米），
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）.
答：大楼的高度CD为14米.
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J，则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形，由矩形的性质可得EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，则AJ=AB-BJ=1米，证明△EAJ∽△ECH，利用相似三角形的性质求出CH，然后根据CD=CH+DH进行计算.
23．（2021九上·百色期末）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）.

【答案】解：如图，

设BM与AD相交于点H，CN与AD相交于点G，
由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，
∴AH=12(AD−BC)=15cm .
∵EF∥CD，∴△BEM∽△BAH.
∴EMAH=BMBH ，即 EM15=3240 ，解得：EM=12.
∴EF=EM＋NF＋BC=2EM＋BC=44（cm）.
答：横梁EF应为44cm.
【知识点】等腰梯形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 设BM与AD相交于点H，CN与AD相交于点G， 由等腰梯形性质得AH=DG，EM=NF，则可求出AH、GD的长度， 由EF∥CD，证明△BEM∽△BAH，列比例式求出EM长，最后根据线段的和差关系求EF的长度即可.
24．（2021九上·昌平期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长

【答案】解：∵DE⊥AB于点E，∠C=90°，
∴∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
35=AE4，
AE＝125．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】证明△ADE∽△ABC可得ADAB=AEAC，据此即可求解.