资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩18页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
数学九年级上册25.3 解直角三角形精品当堂达标检测题
展开
这是一份数学九年级上册25.3 解直角三角形精品当堂达标检测题，文件包含沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学253解直角三角形同步测试学生版docx、沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学253解直角三角形同步测试教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学25.3 解直角三角形 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·海曙期末）如图是一段索道的示意图. 若 AB=1000 米， ∠BAC=a ， 则洗车从 A 点到 B 点上升的高度 BC 的长为( )
A．1000sina 米 B．1000sinα 米
C．1000cosα 米 D．1000cosα 米
2．（2021九上·泰山期末）如图，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，则AC的长为（ ）
A．2+1 B．2 C．6 D．2+3
3．（2021九上·门头沟期末）在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，则sinA的值是（ ）
A．23 B．13 C．255 D．55
4．（2021九上·宝山期末）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．CD=AB⋅tanB B．CD=AD⋅cotA C．CD=AC⋅sinB D．CD=BC⋅cosA
5．（2021九上·嘉定期末）在△ABC中，AB=AC=10，cosB=25，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C．221 D．421
6．（2021九上·运城期末）某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB=12，S△ABC=7，下列结论中：①主视图中m=3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图∠C的正切值为23．其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2021九上·杨浦期末）在 Rt △ABC 中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么AB等于（ ）
A．sinα B．cosα C．1sinα D．1cosα
8．（2021九上·运城期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，点E是BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在矩形ABCD的内部点F处，若tan∠DAF=34，则BE的长为（ ）
A．52 B．32 C．2 D．94
9．（2021九上·通州期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到AB的位置．已知AO=4米，若栏杆的旋转角∠AOA=47°，则栏杆端点A上升的垂直距离AH为（ ）
A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．4sin47°米
10．（2021九上·宽城期末）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，则tan∠BOC的值为（ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．1sinα
二、填空题
11．（2021九上·普陀期末）如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴 AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变．已知支脚 DE=AB ，底座 CD⊥AB，BG⊥AB ，且 CD=BG ，F是 DE 上的固定点，且 EF：DF=2：3 ．当点B，G，E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得 tan∠BED=2 ；若将点C向下移动 24cm ，则点B，G，F三点在同一直线上（如图2），此时点A离地面的高度是 cm ．
12．（2021九上·虹口期末）如图，在△ABC中，AB=AC=15，sin∠A=45．点D、E分别在AB和AC边上，AD=2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE= ．
13．（2021九上·青浦期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ．
14．（2021九上·运城期末）如图，在△ABC中，AB=14，AC=10，点D是BC上一点，点M是BA延长线上一点，已知tan∠CAM=43，∠DAB=45°，则AD的长为 ．
15．（2021九上·浦东期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，则∠B= ．
三、解答题
16．（2021九上·静安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，BC=14，cos∠ACD=34，求AB、CH的长．
17．（2021九上·密云期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，sinA=35，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．
18．（2021九上·石景山期末）如图，在△ABC中，∠B=45°，tanC=23，AC=213，求BC的长．
19．（2021九上·金山期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC=34．求∠ABE的正切值．
20．（2021九上·北京月考）如图， △ABC 中， ∠A=30° ， AC=23 ， tanB=32 ，求 AB 的长．
21．（2021九上·沂源期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 513 ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
22．（2020九上·天长期末）如图，在 △ABC 中 ∠C=90° ， ∠B=30° ， AD 是 ∠BAC 的平分线，与 BC 相交于点D，且 AB=43 ，求 AD 的长．
23．（2021九上·覃塘期末）将一副直角三角板如图所示放置，点 C,D,F 在同一直线上， AB//CF,∠ACB=∠F=90°, ∠A=60° ， ∠E=45° ，若 AB=20 ，求 CD 的长.
24．（2020九上·郓城期末）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A＝90°，∠ABD＝60°，∠CBD＝54°，AB＝200 m，BC＝300 m．请你计算出这片水田的面积．(参考数据：sin 54°≈0.809，cos 54°≈0.588，tan 54°≈1.376， 3 ＝1.732)
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中
sin∠BAC=BCAB
∴BC=1000sinα.
故答案为：A.
【分析】将图形补充完整，在Rt△ABC中，利用直角三角形可求出BC的长.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．
设AC＝x，则AB＝2x．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sinC＝22x，
CD＝AC•cosC＝22x；
在Rt△ABD中，AB＝2x，AD＝22x，
∴BD＝AB2−AD2=62x ，
∴BC＝BD＋CD＝62x+22x=6+2，
∴x＝2．
故答案为：B．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝2x．利用解直角三角形求出
AD＝AC•sinC＝22x，CD＝AC•cosC＝22x，再利用勾股定理求出BD=62x，由BC＝BD＋CD建立方程并求解即可.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：由tanA=BCAC=2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=BC2+AC2=(2x)2+x2=5x，
因此，sinA=BCAB=2x5x=255，
故答案为：C．
【分析】根据tanA=2，设BC=2x，则AC=x， 再利用勾股定理求出AB的长，最后利用正弦的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：A．CD=DB⋅tanB，故A错；
Ｂ．CD=AD⋅tanA，故Ｂ错；
Ｃ．CD=AC⋅sinA，故Ｃ错；
Ｄ．CD=BC⋅cos∠DCB=BC⋅cosA，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用解直角三角形性质逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D．
∵AB=AC=10，cosB=25，
∴BD＝AB•cosB＝10×25＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数先求出BD=4，再计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC与D，
∵BD=4，tanB=12，
∴AD=BDtanB=4×12=2，
∵S△ABC=7，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC×2=7，
∴BC=7，
∴DC=BC-BD=7-4=3，
∴①主视图中m=3符合题意；
∴左视图矩形的面积为3×6=18，
∴②符合题意；
∴tanC=ADCD=23，
∴③符合题意；
其中正确的个数为为3个．
故答案为：A．
【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为6，BD=4，CD=m，由tanB=12，S△ABC=7，求出m的值，进而确定CD，再分别对各个结论进行判断即可。
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
cosα＝ACAB=1AB，
故AB＝1cosα．
故答案为：D
【分析】先求出∠A＝α，AC＝1，再利用锐角三角函数求解即可。
8．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F分别作AD，BC的垂线交于N，M，如下图：
根据翻折的性质，
∴AB=AF=5，
∵tan∠DAF=NFAN=34，
∴NF=3，AN=4，
∴MF=MN−NF=5−3=2，
∵∠DAF+∠NFA=∠NFA+∠MFE，
∴∠DAF=∠MFE，
∴tan∠MFE=MEMF=34，
∴ME=32，
由勾股定理得：EF2=ME2+MF2，
解得：EF=52，
∴BE=EF=52，
故答案为：A．
【分析】过点F分别作AD，BC的垂线交于N，M，根据折叠的性质可得AB=AF=5，再根据tan∠DAF=34可得NF=3，AN=4，再利用线段的和差求出MF的长，再利用tan∠MFE=MEMF=34求出ME的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥AB于H，
由题意得OA′=OA=4米，
在Rt△OA′H中，∠A′OH＝47°，sin∠AOH=AHOA，
∴栏杆端点A上升的垂直距离AH=sin∠AOH⋅OA=4sin47°米，
故答案为：A．
【分析】过点A′作A′H⊥AB于H，根据题意得出OA′=OA=4米，∠A′OH＝47°，sin∠AOH=AHOA，即可得出栏杆端点A上升的垂直距离。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1，
在Rt△OAB中，sinα=ABOB，
∴OB=1sinα，
在Rt△OBC中，tan∠BOC=BCOB=11sinα=sinα.
故答案为：A．
【分析】在Rt△OAB中，由sinα=ABOB求出OB=1sinα，在Rt△OBC中，利用tan∠BOC=BCOB即可求解.
11．【答案】19+195
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，连接DG，EG，过点F作FH⊥EG于点H，
∴四边形GBCD是矩形，
在Rt△DEG中，tan∠BED=2=DGEG，
设EG=xcm，BC=DG=2xcm，
∴ED=DG2+EG2=4x2+x2=5x；
∵FH∥DG，
EFDF=EHHG=23
∴5x-DFDF=23
解之：DF=355x
∴EF=DE-DF=5x-355x=255x
同理可得EH=25x，HG=35x
∴FH=EF2-EH2=45x，
∴FG=FH2+HG2=x；
如图2，连接DG，
∵ 将点C向下移动 24cm ，
∴DG=2x-24，
∵DF2=DG2+FG2即355x2=x2+（2x-24）2
解之：x1=15+35，x2=15-35（舍去）；
∴AB=DE=5x=15+155；
作EJ⊥BF交BF的延长线于点J，
∴EJ=EFsin∠EFJ=（4+45）
∴点A到底面的高度为AB+EJ=15+155+4+45=19+195
【分析】如图1，连接DG，EG，过点F作FH⊥EG于点H，易证四边形GBCD是矩形，在Rt△DEG中，设EG=xcm，利用解直角三角形可表示出BC，DG的长，利用勾股定理表示出ED的长；再利用平行线分线段成比例定理可表示出DF，EF的长，同时可表示出EH，HG的长；再利用勾股定理表示出FH，FG的长；如图2，连接DG，利用已知条件可表示出DG的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值可得到AB，DE的长；作EJ⊥BF交BF的延长线于点J，利用解直角三角形求出EJ的长，然后求出点A到底面的高度AB+EJ的长.
12．【答案】85−10
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H
∵AB=AC=15，sin∠A=45，AD=2DB
∴AD=10，DM=8，AM=6，BH=12，AH=9
∴CH=AC−AH=6
∴tan∠C=BHCH=2，BC=BH2+CH2=65
过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G
∵把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF
∴DE平分∠AEF，
∴DM=DN=8，EM=EN
∵EF⊥BC
∴DG∥BC
∴DGBC=ADAB=23，∠C=∠NGE
∴DG=23BC=45
∴NG=DG−DN=45−8
∵tan∠C=tan∠NGE=2=ENNG
∴EM=EN=2NG=85−16
∴AE=AM+EM=85−10
故答案为：85−10
【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H，过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G，利用翻折的性质及平行线分线段成比例即可得出答案。
13．【答案】6
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=2，
∴BC=2AC=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】先求出tanA=BCAC=2，再计算求解即可。
14．【答案】42
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过C作CE//AD交射线AM于点E，并过C作CF⊥AM，垂足为F，
∵AC=10，tan∠CAM=43，CF⊥AM，
∴tan∠CAM=CFAF=43，
设CF=4m，AF=3m，
由勾股定理可知：CF2+AF2=AC2，即16m2+9m2=100，
解得：m=2，m=−2（舍去），
∴CF=8，AF=6，
∵CE//AD，∠DAB=45°，
∴∠CEF=∠DAB=45°，
∴EF=CF=8，CE=82，
∵∠CEF=∠DAB=45°，∠B=∠B，
∴△DBA∽△CBE，
∴ABBE=ADCE，即14AF+EF+AB=1428=AD82，
∴AD=42.
故答案为：42.
【分析】过C作CE//AD交射线AM于点E，并过C作CF⊥AM，先利用∠CAM的正切和勾股定理求出CM、AM的长，再利用∠B的正切求出DN、AN的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
15．【答案】30°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，
∴ tanB=ACBC=26=33，
∴∠B=30° ，
故答案为：30°
【分析】根据题意知∠C=90°，AC=2，BC=6，得出tanB的值，即可得出∠B的度数。
16．【答案】过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE//BC，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴CE=AE，即AC=2CE
∵BC=14，
∴DE=12BC=142，
∵cos∠ACD=CECD=34
∴设CE=3x，CD=4x，
由勾股定理得：DE=CD2−CE2=(4x)2−(3x)2=7x
∴7x=142，即x=22
∴AE=CE=3x=322
∴AC=AE+CE=32
∵cos∠ACD=ACAB=34，即32AB=34
∴AB=42
∵SΔABC=12×AC×BC=12×AB×CH
∴12×32×14=12×42×CH，解得：CH=3414．
∴CH的长为3414，AB的长为42．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°， 求出AE=CE，求出DE解直角三角形求出CE，求出AC，再根据勾股定理求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可。
17．【答案】解：在△BDC中，∠C=90°，
∵∠BDC=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，sinA=35，
∴BCAB=6AB=35，
∴AB=10，
∴AC=8，
∴AD=AC-CD=8-6=2．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据已知条件求出BC的值，再根据正弦的定义求出AB，再根据勾股定理求出AC，再根据AD=AC-DC求出AD的长。
18．【答案】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图：
∴△ABD，△ACD都是直角三角形，
∵tanC=ADCD=23，
设AD=2x，CD=3x，
∴AC=(2x)2+(3x)2=213，
解得：x=2（负值已舍去），
∴AD=4，CD=6，
∵∠B=45°，
∴BD=AD=4，
∴BC=4+6=10；
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，证出△ABD，△ACD都是直角三角形，设AD=2x，CD=3x，利用勾股定理得出AC的值，求出BD即可得出答案。
19．【答案】解：Rt△EBC中，∠ECB=90°，
∴tan∠EBC=CEBC=34．
设CE=3k，BC=4k，则BE=5k．
∵D是AB的中点，ED⊥AB，
∴AE=BE=5k，
∴∠ABE=∠BAE，AC=8k，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴tan∠CAB=BCAC=4k8k=12．
∴∠ABE的正切值为12．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】设CE=3k，BC=4k，则BE=5k．根据D是AB的中点，ED⊥AB，得出AE=BE=5k，根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，即可得出∠ABE的正切值。
20．【答案】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠A=30°， AC=23 ，
∴CD=12AC=3 ，
∴AD=AC2−CD2=3
∵tanB=CDBD=32 ，
∴BD＝2，
∴AB=AD+BD=5 ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D ，在△ACD中利用∠A=30°求出AD的长，在△BCD中利用 tanB=32 ， 可求出BD的长，进而得到答案。
21．【答案】解：∵∠C=90°，∠ADC="45°，AC=5，
∴ AC=CD=5， AD= 52
∵ SinB= 513 ，
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5，
∴ BC=12，
∴ BD=7，
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴ BE=DE=7÷ 2 = 722 ，
∴ AE=AD+DE= 52+722=1722 ，
∴tan ∠BAD = 717 ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出 AB=AC/(sinB)=13，再利用勾股定理求出BC，利用线段的和差求出BD的长，过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，再利用AE=AD+DE求出AE的长，最后利用正切的定义求解即可。
22．【答案】解：∵∠C=90°，∠B=30° ， AB=43 ，
∴AC=23 ，
∵AD 平分 ∠BAC ， ∠BAC=60° ，
∴∠CAD=30° ，
∴cos30°=ACAD ，
AD=ACcos30°=2332=4 ，
∴AD 的长为4．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC，再根据角平分线的定义求出∠CAD，再利用解直角三角形求出AD即可。
23．【答案】解：如图，作 BH⊥CF 于点 H,
∵ 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90∘ ， ∠A=60° ，
∴∠ABC=30°,
∵AB//CF,
∴∠BCH=∠ABC=30°,
∵AB=20,
∴BC=AB×sin60°=20×32=103 ，
又在 Rt△BCH 中， BH=BC×sin30°=53 ，
CH=BC×cos30∘=15 ，
∵ 在 Rt△DEF 中， ∠EDF=∠E=45∘ ，
∴ 在 Rt△BDH 中， DH=BH=53 ，
∴ CD=CH−DH=15−53 .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】作BH⊥CF于H，在直角三角形ABC中，用三角形的内角和可求得∠ABC=30°，由平行线的性质可得∠BCH=∠ABC，再根据锐角三角函数的定义sin∠A=BCAB可求得BC的值；在直角三角形BCH中，根据锐角三角函数的定义sin∠BCH=BHBC、cos∠BCH=CHBC分别求出BH和CH的值；在等腰直角三角形DEF中，∠FDE=∠E=45°，在等腰直角三角形BDH中，DH=BH，最后根据线段的构成CD=CH-DH可求解.
24．【答案】解：作CM⊥BD于点M，如图所示．
∵∠A＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝400 m，
∴AD＝ 3 AB＝200 3 m，
∴△ABD的面积＝ 12 ×200×200 3 ＝20000 3 m2.
∵∠CMB＝90°，∠CBD＝54°，
∴CM＝BC·sin 54°＝300×0.809＝242.7m.
∴△BCD的面积＝ 12 ×400×242.7＝48540m2.
∴这片水田的面积＝20000 3 ＋48 540≈83180m2
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学25.3 解直角三角形 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·海曙期末）如图是一段索道的示意图. 若 AB=1000 米， ∠BAC=a ， 则洗车从 A 点到 B 点上升的高度 BC 的长为( )
A．1000sina 米 B．1000sinα 米
C．1000cosα 米 D．1000cosα 米
2．（2021九上·泰山期末）如图，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，则AC的长为（ ）
A．2+1 B．2 C．6 D．2+3
3．（2021九上·门头沟期末）在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，则sinA的值是（ ）
A．23 B．13 C．255 D．55
4．（2021九上·宝山期末）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．CD=AB⋅tanB B．CD=AD⋅cotA C．CD=AC⋅sinB D．CD=BC⋅cosA
5．（2021九上·嘉定期末）在△ABC中，AB=AC=10，cosB=25，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C．221 D．421
6．（2021九上·运城期末）某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB=12，S△ABC=7，下列结论中：①主视图中m=3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图∠C的正切值为23．其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2021九上·杨浦期末）在 Rt △ABC 中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么AB等于（ ）
A．sinα B．cosα C．1sinα D．1cosα
8．（2021九上·运城期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，点E是BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在矩形ABCD的内部点F处，若tan∠DAF=34，则BE的长为（ ）
A．52 B．32 C．2 D．94
9．（2021九上·通州期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到AB的位置．已知AO=4米，若栏杆的旋转角∠AOA=47°，则栏杆端点A上升的垂直距离AH为（ ）
A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．4sin47°米
10．（2021九上·宽城期末）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，则tan∠BOC的值为（ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．1sinα
二、填空题
11．（2021九上·普陀期末）如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴 AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变．已知支脚 DE=AB ，底座 CD⊥AB，BG⊥AB ，且 CD=BG ，F是 DE 上的固定点，且 EF：DF=2：3 ．当点B，G，E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得 tan∠BED=2 ；若将点C向下移动 24cm ，则点B，G，F三点在同一直线上（如图2），此时点A离地面的高度是 cm ．
12．（2021九上·虹口期末）如图，在△ABC中，AB=AC=15，sin∠A=45．点D、E分别在AB和AC边上，AD=2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE= ．
13．（2021九上·青浦期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ．
14．（2021九上·运城期末）如图，在△ABC中，AB=14，AC=10，点D是BC上一点，点M是BA延长线上一点，已知tan∠CAM=43，∠DAB=45°，则AD的长为 ．
15．（2021九上·浦东期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，则∠B= ．
三、解答题
16．（2021九上·静安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，BC=14，cos∠ACD=34，求AB、CH的长．
17．（2021九上·密云期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，sinA=35，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．
18．（2021九上·石景山期末）如图，在△ABC中，∠B=45°，tanC=23，AC=213，求BC的长．
19．（2021九上·金山期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC=34．求∠ABE的正切值．
20．（2021九上·北京月考）如图， △ABC 中， ∠A=30° ， AC=23 ， tanB=32 ，求 AB 的长．
21．（2021九上·沂源期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 513 ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
22．（2020九上·天长期末）如图，在 △ABC 中 ∠C=90° ， ∠B=30° ， AD 是 ∠BAC 的平分线，与 BC 相交于点D，且 AB=43 ，求 AD 的长．
23．（2021九上·覃塘期末）将一副直角三角板如图所示放置，点 C,D,F 在同一直线上， AB//CF,∠ACB=∠F=90°, ∠A=60° ， ∠E=45° ，若 AB=20 ，求 CD 的长.
24．（2020九上·郓城期末）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A＝90°，∠ABD＝60°，∠CBD＝54°，AB＝200 m，BC＝300 m．请你计算出这片水田的面积．(参考数据：sin 54°≈0.809，cos 54°≈0.588，tan 54°≈1.376， 3 ＝1.732)
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中
sin∠BAC=BCAB
∴BC=1000sinα.
故答案为：A.
【分析】将图形补充完整，在Rt△ABC中，利用直角三角形可求出BC的长.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．
设AC＝x，则AB＝2x．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sinC＝22x，
CD＝AC•cosC＝22x；
在Rt△ABD中，AB＝2x，AD＝22x，
∴BD＝AB2−AD2=62x ，
∴BC＝BD＋CD＝62x+22x=6+2，
∴x＝2．
故答案为：B．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝2x．利用解直角三角形求出
AD＝AC•sinC＝22x，CD＝AC•cosC＝22x，再利用勾股定理求出BD=62x，由BC＝BD＋CD建立方程并求解即可.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：由tanA=BCAC=2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=BC2+AC2=(2x)2+x2=5x，
因此，sinA=BCAB=2x5x=255，
故答案为：C．
【分析】根据tanA=2，设BC=2x，则AC=x， 再利用勾股定理求出AB的长，最后利用正弦的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：A．CD=DB⋅tanB，故A错；
Ｂ．CD=AD⋅tanA，故Ｂ错；
Ｃ．CD=AC⋅sinA，故Ｃ错；
Ｄ．CD=BC⋅cos∠DCB=BC⋅cosA，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用解直角三角形性质逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D．
∵AB=AC=10，cosB=25，
∴BD＝AB•cosB＝10×25＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数先求出BD=4，再计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC与D，
∵BD=4，tanB=12，
∴AD=BDtanB=4×12=2，
∵S△ABC=7，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC×2=7，
∴BC=7，
∴DC=BC-BD=7-4=3，
∴①主视图中m=3符合题意；
∴左视图矩形的面积为3×6=18，
∴②符合题意；
∴tanC=ADCD=23，
∴③符合题意；
其中正确的个数为为3个．
故答案为：A．
【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为6，BD=4，CD=m，由tanB=12，S△ABC=7，求出m的值，进而确定CD，再分别对各个结论进行判断即可。
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
cosα＝ACAB=1AB，
故AB＝1cosα．
故答案为：D
【分析】先求出∠A＝α，AC＝1，再利用锐角三角函数求解即可。
8．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F分别作AD，BC的垂线交于N，M，如下图：
根据翻折的性质，
∴AB=AF=5，
∵tan∠DAF=NFAN=34，
∴NF=3，AN=4，
∴MF=MN−NF=5−3=2，
∵∠DAF+∠NFA=∠NFA+∠MFE，
∴∠DAF=∠MFE，
∴tan∠MFE=MEMF=34，
∴ME=32，
由勾股定理得：EF2=ME2+MF2，
解得：EF=52，
∴BE=EF=52，
故答案为：A．
【分析】过点F分别作AD，BC的垂线交于N，M，根据折叠的性质可得AB=AF=5，再根据tan∠DAF=34可得NF=3，AN=4，再利用线段的和差求出MF的长，再利用tan∠MFE=MEMF=34求出ME的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥AB于H，
由题意得OA′=OA=4米，
在Rt△OA′H中，∠A′OH＝47°，sin∠AOH=AHOA，
∴栏杆端点A上升的垂直距离AH=sin∠AOH⋅OA=4sin47°米，
故答案为：A．
【分析】过点A′作A′H⊥AB于H，根据题意得出OA′=OA=4米，∠A′OH＝47°，sin∠AOH=AHOA，即可得出栏杆端点A上升的垂直距离。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1，
在Rt△OAB中，sinα=ABOB，
∴OB=1sinα，
在Rt△OBC中，tan∠BOC=BCOB=11sinα=sinα.
故答案为：A．
【分析】在Rt△OAB中，由sinα=ABOB求出OB=1sinα，在Rt△OBC中，利用tan∠BOC=BCOB即可求解.
11．【答案】19+195
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，连接DG，EG，过点F作FH⊥EG于点H，
∴四边形GBCD是矩形，
在Rt△DEG中，tan∠BED=2=DGEG，
设EG=xcm，BC=DG=2xcm，
∴ED=DG2+EG2=4x2+x2=5x；
∵FH∥DG，
EFDF=EHHG=23
∴5x-DFDF=23
解之：DF=355x
∴EF=DE-DF=5x-355x=255x
同理可得EH=25x，HG=35x
∴FH=EF2-EH2=45x，
∴FG=FH2+HG2=x；
如图2，连接DG，
∵ 将点C向下移动 24cm ，
∴DG=2x-24，
∵DF2=DG2+FG2即355x2=x2+（2x-24）2
解之：x1=15+35，x2=15-35（舍去）；
∴AB=DE=5x=15+155；
作EJ⊥BF交BF的延长线于点J，
∴EJ=EFsin∠EFJ=（4+45）
∴点A到底面的高度为AB+EJ=15+155+4+45=19+195
【分析】如图1，连接DG，EG，过点F作FH⊥EG于点H，易证四边形GBCD是矩形，在Rt△DEG中，设EG=xcm，利用解直角三角形可表示出BC，DG的长，利用勾股定理表示出ED的长；再利用平行线分线段成比例定理可表示出DF，EF的长，同时可表示出EH，HG的长；再利用勾股定理表示出FH，FG的长；如图2，连接DG，利用已知条件可表示出DG的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值可得到AB，DE的长；作EJ⊥BF交BF的延长线于点J，利用解直角三角形求出EJ的长，然后求出点A到底面的高度AB+EJ的长.
12．【答案】85−10
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H
∵AB=AC=15，sin∠A=45，AD=2DB
∴AD=10，DM=8，AM=6，BH=12，AH=9
∴CH=AC−AH=6
∴tan∠C=BHCH=2，BC=BH2+CH2=65
过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G
∵把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF
∴DE平分∠AEF，
∴DM=DN=8，EM=EN
∵EF⊥BC
∴DG∥BC
∴DGBC=ADAB=23，∠C=∠NGE
∴DG=23BC=45
∴NG=DG−DN=45−8
∵tan∠C=tan∠NGE=2=ENNG
∴EM=EN=2NG=85−16
∴AE=AM+EM=85−10
故答案为：85−10
【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H，过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G，利用翻折的性质及平行线分线段成比例即可得出答案。
13．【答案】6
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=2，
∴BC=2AC=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】先求出tanA=BCAC=2，再计算求解即可。
14．【答案】42
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过C作CE//AD交射线AM于点E，并过C作CF⊥AM，垂足为F，
∵AC=10，tan∠CAM=43，CF⊥AM，
∴tan∠CAM=CFAF=43，
设CF=4m，AF=3m，
由勾股定理可知：CF2+AF2=AC2，即16m2+9m2=100，
解得：m=2，m=−2（舍去），
∴CF=8，AF=6，
∵CE//AD，∠DAB=45°，
∴∠CEF=∠DAB=45°，
∴EF=CF=8，CE=82，
∵∠CEF=∠DAB=45°，∠B=∠B，
∴△DBA∽△CBE，
∴ABBE=ADCE，即14AF+EF+AB=1428=AD82，
∴AD=42.
故答案为：42.
【分析】过C作CE//AD交射线AM于点E，并过C作CF⊥AM，先利用∠CAM的正切和勾股定理求出CM、AM的长，再利用∠B的正切求出DN、AN的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
15．【答案】30°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，
∴ tanB=ACBC=26=33，
∴∠B=30° ，
故答案为：30°
【分析】根据题意知∠C=90°，AC=2，BC=6，得出tanB的值，即可得出∠B的度数。
16．【答案】过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE//BC，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴CE=AE，即AC=2CE
∵BC=14，
∴DE=12BC=142，
∵cos∠ACD=CECD=34
∴设CE=3x，CD=4x，
由勾股定理得：DE=CD2−CE2=(4x)2−(3x)2=7x
∴7x=142，即x=22
∴AE=CE=3x=322
∴AC=AE+CE=32
∵cos∠ACD=ACAB=34，即32AB=34
∴AB=42
∵SΔABC=12×AC×BC=12×AB×CH
∴12×32×14=12×42×CH，解得：CH=3414．
∴CH的长为3414，AB的长为42．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°， 求出AE=CE，求出DE解直角三角形求出CE，求出AC，再根据勾股定理求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可。
17．【答案】解：在△BDC中，∠C=90°，
∵∠BDC=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，sinA=35，
∴BCAB=6AB=35，
∴AB=10，
∴AC=8，
∴AD=AC-CD=8-6=2．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据已知条件求出BC的值，再根据正弦的定义求出AB，再根据勾股定理求出AC，再根据AD=AC-DC求出AD的长。
18．【答案】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图：
∴△ABD，△ACD都是直角三角形，
∵tanC=ADCD=23，
设AD=2x，CD=3x，
∴AC=(2x)2+(3x)2=213，
解得：x=2（负值已舍去），
∴AD=4，CD=6，
∵∠B=45°，
∴BD=AD=4，
∴BC=4+6=10；
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，证出△ABD，△ACD都是直角三角形，设AD=2x，CD=3x，利用勾股定理得出AC的值，求出BD即可得出答案。
19．【答案】解：Rt△EBC中，∠ECB=90°，
∴tan∠EBC=CEBC=34．
设CE=3k，BC=4k，则BE=5k．
∵D是AB的中点，ED⊥AB，
∴AE=BE=5k，
∴∠ABE=∠BAE，AC=8k，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴tan∠CAB=BCAC=4k8k=12．
∴∠ABE的正切值为12．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】设CE=3k，BC=4k，则BE=5k．根据D是AB的中点，ED⊥AB，得出AE=BE=5k，根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，即可得出∠ABE的正切值。
20．【答案】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠A=30°， AC=23 ，
∴CD=12AC=3 ，
∴AD=AC2−CD2=3
∵tanB=CDBD=32 ，
∴BD＝2，
∴AB=AD+BD=5 ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D ，在△ACD中利用∠A=30°求出AD的长，在△BCD中利用 tanB=32 ， 可求出BD的长，进而得到答案。
21．【答案】解：∵∠C=90°，∠ADC="45°，AC=5，
∴ AC=CD=5， AD= 52
∵ SinB= 513 ，
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5，
∴ BC=12，
∴ BD=7，
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴ BE=DE=7÷ 2 = 722 ，
∴ AE=AD+DE= 52+722=1722 ，
∴tan ∠BAD = 717 ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出 AB=AC/(sinB)=13，再利用勾股定理求出BC，利用线段的和差求出BD的长，过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，再利用AE=AD+DE求出AE的长，最后利用正切的定义求解即可。
22．【答案】解：∵∠C=90°，∠B=30° ， AB=43 ，
∴AC=23 ，
∵AD 平分 ∠BAC ， ∠BAC=60° ，
∴∠CAD=30° ，
∴cos30°=ACAD ，
AD=ACcos30°=2332=4 ，
∴AD 的长为4．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC，再根据角平分线的定义求出∠CAD，再利用解直角三角形求出AD即可。
23．【答案】解：如图，作 BH⊥CF 于点 H,
∵ 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90∘ ， ∠A=60° ，
∴∠ABC=30°,
∵AB//CF,
∴∠BCH=∠ABC=30°,
∵AB=20,
∴BC=AB×sin60°=20×32=103 ，
又在 Rt△BCH 中， BH=BC×sin30°=53 ，
CH=BC×cos30∘=15 ，
∵ 在 Rt△DEF 中， ∠EDF=∠E=45∘ ，
∴ 在 Rt△BDH 中， DH=BH=53 ，
∴ CD=CH−DH=15−53 .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】作BH⊥CF于H，在直角三角形ABC中，用三角形的内角和可求得∠ABC=30°，由平行线的性质可得∠BCH=∠ABC，再根据锐角三角函数的定义sin∠A=BCAB可求得BC的值；在直角三角形BCH中，根据锐角三角函数的定义sin∠BCH=BHBC、cos∠BCH=CHBC分别求出BH和CH的值；在等腰直角三角形DEF中，∠FDE=∠E=45°，在等腰直角三角形BDH中，DH=BH，最后根据线段的构成CD=CH-DH可求解.
24．【答案】解：作CM⊥BD于点M，如图所示．
∵∠A＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝400 m，
∴AD＝ 3 AB＝200 3 m，
∴△ABD的面积＝ 12 ×200×200 3 ＝20000 3 m2.
∵∠CMB＝90°，∠CBD＝54°，
∴CM＝BC·sin 54°＝300×0.809＝242.7m.
∴△BCD的面积＝ 12 ×400×242.7＝48540m2.
∴这片水田的面积＝20000 3 ＋48 540≈83180m2
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
相关试卷
初中数学沪教版 (五四制)九年级上册第二十六章 二次函数第一节 二次函数的概念优秀当堂达标检测题： 这是一份初中数学沪教版 (五四制)九年级上册第二十六章 二次函数第一节 二次函数的概念优秀当堂达标检测题，文件包含沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学261二次函数的概念同步测试学生版docx、沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学261二次函数的概念同步测试教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
初中25.3 解直角三角形精品当堂检测题： 这是一份初中25.3 解直角三角形精品当堂检测题，文件包含沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学254解直角三角形的应用同步测试学生版docx、沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学254解直角三角形的应用同步测试教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
初中数学沪教版 (五四制)九年级上册24.7 向量的线性运算优秀综合训练题： 这是一份初中数学沪教版 (五四制)九年级上册24.7 向量的线性运算优秀综合训练题，文件包含沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学247向量的线性运算同步测试学生版docx、沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学247向量的线性运算同步测试教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
