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专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）
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这是一份专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版），文件包含九年级数学上册专题242点和圆直线和圆的位置关系基础原卷版docx、九年级数学上册专题242点和圆直线和圆的位置关系基础解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116602306" 点和圆的位置关系 PAGEREF _Tc116602306 \h 1
\l "_Tc116602307" 取值范围 PAGEREF _Tc116602307 \h 4
\l "_Tc116602308" 最值问题 PAGEREF _Tc116602308 \h 6
\l "_Tc116602309" 直线和圆的位置关系 PAGEREF _Tc116602309 \h 8
\l "_Tc116602310" 取值范围 PAGEREF _Tc116602310 \h 10
\l "_Tc116602311" 切线求角度 PAGEREF _Tc116602311 \h 11
\l "_Tc116602312" 切线求长度 PAGEREF _Tc116602312 \h 13
\l "_Tc116602313" 切线的判定 PAGEREF _Tc116602313 \h 16
\l "_Tc116602314" 切线长定理 PAGEREF _Tc116602314 \h 19
\l "_Tc116602315" 三角形的内切圆 PAGEREF _Tc116602315 \h 21
\l "_Tc116602316" 证明综合 PAGEREF _Tc116602316 \h 24
点和圆的位置关系
① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径
已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
【解答】解：∵OA＝4＜5，
∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内，
故选：A．
已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在（ ）
A．⊙O内B．⊙O外
C．⊙O上D．以上都有可能
【解答】解：∵⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5＞
∴该点在圆外，
故选：B．
已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．2.5C．3D．2或3
【解答】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，
∴当点A在圆外时，⊙O的半径=12×（5﹣1）＝2，
当点A在圆内时，⊙O的半径=12×（5+1）＝3，
故选：D．
已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA长度可能是（ ）
A．2.5B．4C．5D．7
【解答】解：∵点A在⊙O外，⊙O的半径为5，
∴OA＞5
故选：D．
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，∠A＝90°，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵CD＝6＜8，BD＝10＞8，AD＝8，
∴点A在⊙D上，点B在⊙D外，点C在⊙D内．
故选：B．
如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP＝2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外B．点B在⊙P外C．点C在⊙P外D．点D在⊙P内
【解答】解：连接PB，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝6cm，
∴AD=AB2−BD2=8cm，
∴PA＝AD＝DP＝8﹣2＝6cm，
在Rt△PBD中，BD＝6cm，PD＝2cm，
∴PB=PD2+BD2=210cm，
∵PB＝PC＝210＞6，PD＝2＜6，AP＝6，
∴点A在⊙P上，点B、C在⊙P外，点D在⊙P内．
故选：A．
矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝35，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝35，
∴PD=AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝35，
∴PC=PB2+BC2=9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为底边上的高，BC＝6，AC＝5，以A为圆心，AD为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．点C在⊙A内B．点C在⊙A上C．点C在⊙A外D．不能确定
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AC＞AD，即AC＞⊙A的半径r，
∴点C与⊙A的位置关系为点C在⊙A外．
故选：C．
取值范围
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5B．3＜r＜4C．3＜r＜5D．1＜r＜7
【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，
∴AD=AC2+CD2=42+32=
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4
∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴r的范围是4＜r＜5，
故选：A．
如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 6＜r＜10 ．
【解答】解：如图，连结AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，
∴r＞6，
∵至少有一点在圆外，
∴r＜10，
∴⊙A半径r的取值范围是：6＜r＜10
故答案为：6＜r＜10
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 6＜r＜10 ．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝8，AD＝6，
则BD=62+82=10
由图可知6＜r＜10
故答案为：6＜r＜10
在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＜3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3
【解答】解：∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
则﹣2＜a﹣1＜2，
解得﹣1＜a＜3，
故选：C．
最值问题
如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB=12BC＝12，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE=12PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD＝12，AD＝5，
∴AB=122+52=13，
∵⊙A的半径为3，
∴PB的最大值为13+3＝16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A．8B．221C．10D．726161
【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值．
矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，
∴OD=AO2+AD2=52+122=13，
∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，
即PD的最小值为8
故选：A．
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD=12BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故答案为：B．
如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴r＝6，
∵d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
取值范围
已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 0≤d＜10 ．
【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜10；
故答案为：0≤d＜10
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 r=3或2＜r≤23． ．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC=AB2−AC2=42−22=23，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=2×234=3，
当圆与时AB相切时，r=3，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤23，
综上所述：r的取值范围是r=3或2＜r≤23，
故答案为：r=3或2＜r≤23．
切线求角度
如图，AB是⊙O的切线，切点为B，CD是⊙O的直径，连接BD，BO，BC，若∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠OBD+∠OBC＝90°，∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝∠ABC＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠OBD＝50°．
故选：B．
如图，AB为⊙O直径，直线CD为⊙O的切线，C为切点，CD交AB的延长线于点D，且AC＝CD，则∠BAC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．36°
【解答】解：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠CAD，
∴∠COD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
故选：C．
如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，点B为切点，BD与线段AC的延长线相交于点D，若∠ABC＝65°，则∠D等于（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
【解答】解：∵BD是⊙O的切线，点B为切点，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∵∠A+∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABC＝65°．
故选：A．
切线求长度
如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，M为PB上一点，连接MO交⊙O于点D，若MO∥PA，PA＝9，MD＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．3B．4C．22D．23
【解答】解：连接OP、OB，如图，设⊙O的半径为r，则OM＝MD+OD＝2+r，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PB＝PA＝9，OP平分∠APB，OB⊥PB，
∴∠AOP＝∠BOP，∠OBP＝90°，
∵MO∥PA，
∴∠MOP＝∠APO，
∴∠BPO＝∠MOP，
∴MP＝MO＝2+r，
∴BM＝PB﹣PM＝9﹣（2+r）＝7﹣r，
在Rt△OBM中，r2+（7﹣r）2＝（2+r）2，
解得r1＝3，r2＝15（舍去），
即⊙O的半径长是3
故选：A．
如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，若⊙O的半径长为1，AB=3，则线段BC的长是（ ）
A．1B．2C．2D．3
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
在Rt△OAB中，OB=OA2+AB2=12+(3)2=2，
∴BC＝OB﹣OC＝2﹣1＝1
故选：A．
如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【解答】解：连接BD交OE于F点，如图，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵PQ切圆O于点E，
∴OE⊥PQ，
∴∠OEC＝90°，
∵AC⊥PQ于点C，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形CDFE为矩形，
∴DF＝CE＝4，∠DFE＝90°，
∴OF⊥BD，
∴BF＝DF＝4，
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=102−82=4
故选：C．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，过点O作BC的平行线交AC于点M，若AB＝6，AC＝8，则OM的长度为（ ）
A．7B．5C．13D．34
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABC，
∴OMBC=AOAB，即OM10=12，
解得：OM＝5，
故选：B．
切线的判定
如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线．
【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DBC，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，
∴AB⊥BC，
∵BC为⊙O的直径，
∴AB是⊙O的切线．
已知，如图：AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于D，DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
又∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°=60°，
∵CD=DB，
∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
切线长定理
如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4
故选：B．
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16
故选：C．
如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11
故选：D．
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 48 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48
三角形的内切圆
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是（ ）
A．60B．13C．133D．30
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，
∴AB＝AF+BF＝13，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
故（x+3）2+（x+10）2＝132，
解得：x1＝2，x2＝﹣15（舍去），
∴BC＝5，AC＝12，
∴S△ABC=12×5×12＝30，
故选：D．
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．3C．2D．23
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，
∴AB=BC2−AC2=3，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则AF＝AD＝4﹣x，BD＝BE＝3﹣x，
∵AF+CF＝5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
∴x＝1，
则圆O的半径为1
故选：A．
如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【解答】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选：B．
证明综合
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在DC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝8，AF＝CF=12AC，
在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=45，
∴CF=BC⋅CDBD=8×445=855，
∴AC＝2CF=1655．
如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）连结OC，如果PD＝23，∠P＝30°，求OC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵OA＝OD，
∴∠BAE＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BEA，
∴OD∥BE，
∵PC⊥BE，
∴PC⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠P＝30°，
∴OD＝PD•tanP＝2，OP=PDcsP=4，
∴PB＝OP+OB＝4+2＝6，
∴PC＝PB•csP＝33，
∴CD＝PC﹣PD＝23−3=3，
∴OC=OD2+CD2=22+(3)2=7．
一．选择题（共8小题）
1．已知的直径为10，点到点的距离大于8，那么点的位置
A．一定在的内部B．一定在的外部
C．一定在上D．不能确定
【解答】解：，
，
点一定在的外部．
故选：．
2．如图，在中，，，．点为射线上一动点，过点作于，交于，是的中点，则长度的最小值是
A．B．C．1D．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
的最小值为1，
故选：．
3．已知点在半径为8的外，则
A．B．C．D．
【解答】解：点在圆的外部，
点到圆心的距离大于8，
故选：．
4．下列叙述正确的是
A．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．方差越大，说明数据就越稳定
【解答】解：、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项不符合题意；
、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
、不在同一直线上的三点确定一个圆，本选项符合题意；
、方差越大，越不稳定，故本选项不符合题意．
故选：．
5．如图，内接于圆，弦交于点，连接．下列角中，是所对圆周角的是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：所对的圆周角为和，
故选：．
6．的半径为4，直线上一点与点的距离为1，则直线与的位置关系为
A．相离B．相交C．相切D．无法判断
【解答】解：直线上一点与点的距离为1，
圆心到直线的距离小于或等于1，
而的半径为4，
圆心到直线的距离小于圆的半径，
直线与相交．
故选：．
7．的半径为5，若直线与该圆相交，则圆心到直线的距离可能是
A．3B．5C．6D．10
【解答】解：的半径为5，直线与相交，
圆心到直线的距离的取值范围是，
故选：．
8．如图，是的切线，，则
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
，
，
，
是的切线，
，
，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 2.5 ．
【解答】解：如图：
当点在圆外时，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径．
故答案为：2.5．
10．已知的半径为5，圆心，坐标原点与的位置关系是 在上 ．
【解答】解：点的坐标为，
，
半径为5，
，
点在上．
故答案为：在上．
11．如图，为上一点，，，是半径为的上两点，且，若的最小值为，则半径的最小值是 ．
【解答】解：如图，过点作，使，
，
，
又，
△，
，
，
当、、三点共线时，的最小值，
作，
当时，最小，
在△中，，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
【解答】解：，，不在同一直线上
经过点，，可以确定一个圆
该圆圆心必在线段的垂直平分线上
设圆心坐标为
则点在线段的垂直平分线上
由勾股定理得：
圆心坐标为
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
13．在矩形中，，．
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
【解答】解：（1）连接，
，，
，
的半径为长，
点在上，点在外，点在外；
（2）以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径的取值范围是．
故答案为：．
14．如图，中，，，，点是的中点．
（1）若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值；
（2）若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围．
【解答】解：连接．
，，，
，
（1）点，，都在上，
．
（2）点，，中有两个点在内，有一个点在外，
．
15．已知：如图，是菱形内一点，，，垂足为点，且，联结．
（1）求证：菱形是正方形；
（2）当是线段的中点时，求证：点在以为半径的上．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
菱形为正方形；
（2）连接，，
四边形为正方形，
，，
为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点在以为半径的上．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116602306" 点和圆的位置关系 PAGEREF _Tc116602306 \h 1
\l "_Tc116602307" 取值范围 PAGEREF _Tc116602307 \h 4
\l "_Tc116602308" 最值问题 PAGEREF _Tc116602308 \h 6
\l "_Tc116602309" 直线和圆的位置关系 PAGEREF _Tc116602309 \h 8
\l "_Tc116602310" 取值范围 PAGEREF _Tc116602310 \h 10
\l "_Tc116602311" 切线求角度 PAGEREF _Tc116602311 \h 11
\l "_Tc116602312" 切线求长度 PAGEREF _Tc116602312 \h 13
\l "_Tc116602313" 切线的判定 PAGEREF _Tc116602313 \h 16
\l "_Tc116602314" 切线长定理 PAGEREF _Tc116602314 \h 19
\l "_Tc116602315" 三角形的内切圆 PAGEREF _Tc116602315 \h 21
\l "_Tc116602316" 证明综合 PAGEREF _Tc116602316 \h 24
点和圆的位置关系
① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径
已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
【解答】解：∵OA＝4＜5，
∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内，
故选：A．
已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在（ ）
A．⊙O内B．⊙O外
C．⊙O上D．以上都有可能
【解答】解：∵⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5＞
∴该点在圆外，
故选：B．
已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．2.5C．3D．2或3
【解答】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，
∴当点A在圆外时，⊙O的半径=12×（5﹣1）＝2，
当点A在圆内时，⊙O的半径=12×（5+1）＝3，
故选：D．
已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA长度可能是（ ）
A．2.5B．4C．5D．7
【解答】解：∵点A在⊙O外，⊙O的半径为5，
∴OA＞5
故选：D．
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，∠A＝90°，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵CD＝6＜8，BD＝10＞8，AD＝8，
∴点A在⊙D上，点B在⊙D外，点C在⊙D内．
故选：B．
如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP＝2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外B．点B在⊙P外C．点C在⊙P外D．点D在⊙P内
【解答】解：连接PB，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝6cm，
∴AD=AB2−BD2=8cm，
∴PA＝AD＝DP＝8﹣2＝6cm，
在Rt△PBD中，BD＝6cm，PD＝2cm，
∴PB=PD2+BD2=210cm，
∵PB＝PC＝210＞6，PD＝2＜6，AP＝6，
∴点A在⊙P上，点B、C在⊙P外，点D在⊙P内．
故选：A．
矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝35，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝35，
∴PD=AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝35，
∴PC=PB2+BC2=9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为底边上的高，BC＝6，AC＝5，以A为圆心，AD为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．点C在⊙A内B．点C在⊙A上C．点C在⊙A外D．不能确定
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AC＞AD，即AC＞⊙A的半径r，
∴点C与⊙A的位置关系为点C在⊙A外．
故选：C．
取值范围
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5B．3＜r＜4C．3＜r＜5D．1＜r＜7
【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，
∴AD=AC2+CD2=42+32=
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4
∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴r的范围是4＜r＜5，
故选：A．
如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 6＜r＜10 ．
【解答】解：如图，连结AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，
∴r＞6，
∵至少有一点在圆外，
∴r＜10，
∴⊙A半径r的取值范围是：6＜r＜10
故答案为：6＜r＜10
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 6＜r＜10 ．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝8，AD＝6，
则BD=62+82=10
由图可知6＜r＜10
故答案为：6＜r＜10
在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＜3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3
【解答】解：∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
则﹣2＜a﹣1＜2，
解得﹣1＜a＜3，
故选：C．
最值问题
如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB=12BC＝12，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE=12PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD＝12，AD＝5，
∴AB=122+52=13，
∵⊙A的半径为3，
∴PB的最大值为13+3＝16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A．8B．221C．10D．726161
【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值．
矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，
∴OD=AO2+AD2=52+122=13，
∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，
即PD的最小值为8
故选：A．
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD=12BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故答案为：B．
如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴r＝6，
∵d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
取值范围
已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 0≤d＜10 ．
【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜10；
故答案为：0≤d＜10
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 r=3或2＜r≤23． ．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC=AB2−AC2=42−22=23，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=2×234=3，
当圆与时AB相切时，r=3，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤23，
综上所述：r的取值范围是r=3或2＜r≤23，
故答案为：r=3或2＜r≤23．
切线求角度
如图，AB是⊙O的切线，切点为B，CD是⊙O的直径，连接BD，BO，BC，若∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠OBD+∠OBC＝90°，∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝∠ABC＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠OBD＝50°．
故选：B．
如图，AB为⊙O直径，直线CD为⊙O的切线，C为切点，CD交AB的延长线于点D，且AC＝CD，则∠BAC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．36°
【解答】解：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠CAD，
∴∠COD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
故选：C．
如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，点B为切点，BD与线段AC的延长线相交于点D，若∠ABC＝65°，则∠D等于（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
【解答】解：∵BD是⊙O的切线，点B为切点，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∵∠A+∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABC＝65°．
故选：A．
切线求长度
如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，M为PB上一点，连接MO交⊙O于点D，若MO∥PA，PA＝9，MD＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．3B．4C．22D．23
【解答】解：连接OP、OB，如图，设⊙O的半径为r，则OM＝MD+OD＝2+r，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PB＝PA＝9，OP平分∠APB，OB⊥PB，
∴∠AOP＝∠BOP，∠OBP＝90°，
∵MO∥PA，
∴∠MOP＝∠APO，
∴∠BPO＝∠MOP，
∴MP＝MO＝2+r，
∴BM＝PB﹣PM＝9﹣（2+r）＝7﹣r，
在Rt△OBM中，r2+（7﹣r）2＝（2+r）2，
解得r1＝3，r2＝15（舍去），
即⊙O的半径长是3
故选：A．
如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，若⊙O的半径长为1，AB=3，则线段BC的长是（ ）
A．1B．2C．2D．3
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
在Rt△OAB中，OB=OA2+AB2=12+(3)2=2，
∴BC＝OB﹣OC＝2﹣1＝1
故选：A．
如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【解答】解：连接BD交OE于F点，如图，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵PQ切圆O于点E，
∴OE⊥PQ，
∴∠OEC＝90°，
∵AC⊥PQ于点C，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形CDFE为矩形，
∴DF＝CE＝4，∠DFE＝90°，
∴OF⊥BD，
∴BF＝DF＝4，
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=102−82=4
故选：C．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，过点O作BC的平行线交AC于点M，若AB＝6，AC＝8，则OM的长度为（ ）
A．7B．5C．13D．34
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABC，
∴OMBC=AOAB，即OM10=12，
解得：OM＝5，
故选：B．
切线的判定
如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线．
【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DBC，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，
∴AB⊥BC，
∵BC为⊙O的直径，
∴AB是⊙O的切线．
已知，如图：AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于D，DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
又∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°=60°，
∵CD=DB，
∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
切线长定理
如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4
故选：B．
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16
故选：C．
如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11
故选：D．
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 48 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48
三角形的内切圆
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是（ ）
A．60B．13C．133D．30
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，
∴AB＝AF+BF＝13，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
故（x+3）2+（x+10）2＝132，
解得：x1＝2，x2＝﹣15（舍去），
∴BC＝5，AC＝12，
∴S△ABC=12×5×12＝30，
故选：D．
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．3C．2D．23
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，
∴AB=BC2−AC2=3，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则AF＝AD＝4﹣x，BD＝BE＝3﹣x，
∵AF+CF＝5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
∴x＝1，
则圆O的半径为1
故选：A．
如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【解答】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选：B．
证明综合
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在DC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝8，AF＝CF=12AC，
在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=45，
∴CF=BC⋅CDBD=8×445=855，
∴AC＝2CF=1655．
如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）连结OC，如果PD＝23，∠P＝30°，求OC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵OA＝OD，
∴∠BAE＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BEA，
∴OD∥BE，
∵PC⊥BE，
∴PC⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠P＝30°，
∴OD＝PD•tanP＝2，OP=PDcsP=4，
∴PB＝OP+OB＝4+2＝6，
∴PC＝PB•csP＝33，
∴CD＝PC﹣PD＝23−3=3，
∴OC=OD2+CD2=22+(3)2=7．
一．选择题（共8小题）
1．已知的直径为10，点到点的距离大于8，那么点的位置
A．一定在的内部B．一定在的外部
C．一定在上D．不能确定
【解答】解：，
，
点一定在的外部．
故选：．
2．如图，在中，，，．点为射线上一动点，过点作于，交于，是的中点，则长度的最小值是
A．B．C．1D．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
的最小值为1，
故选：．
3．已知点在半径为8的外，则
A．B．C．D．
【解答】解：点在圆的外部，
点到圆心的距离大于8，
故选：．
4．下列叙述正确的是
A．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．方差越大，说明数据就越稳定
【解答】解：、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项不符合题意；
、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
、不在同一直线上的三点确定一个圆，本选项符合题意；
、方差越大，越不稳定，故本选项不符合题意．
故选：．
5．如图，内接于圆，弦交于点，连接．下列角中，是所对圆周角的是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：所对的圆周角为和，
故选：．
6．的半径为4，直线上一点与点的距离为1，则直线与的位置关系为
A．相离B．相交C．相切D．无法判断
【解答】解：直线上一点与点的距离为1，
圆心到直线的距离小于或等于1，
而的半径为4，
圆心到直线的距离小于圆的半径，
直线与相交．
故选：．
7．的半径为5，若直线与该圆相交，则圆心到直线的距离可能是
A．3B．5C．6D．10
【解答】解：的半径为5，直线与相交，
圆心到直线的距离的取值范围是，
故选：．
8．如图，是的切线，，则
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
，
，
，
是的切线，
，
，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 2.5 ．
【解答】解：如图：
当点在圆外时，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径．
故答案为：2.5．
10．已知的半径为5，圆心，坐标原点与的位置关系是 在上 ．
【解答】解：点的坐标为，
，
半径为5，
，
点在上．
故答案为：在上．
11．如图，为上一点，，，是半径为的上两点，且，若的最小值为，则半径的最小值是 ．
【解答】解：如图，过点作，使，
，
，
又，
△，
，
，
当、、三点共线时，的最小值，
作，
当时，最小，
在△中，，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
【解答】解：，，不在同一直线上
经过点，，可以确定一个圆
该圆圆心必在线段的垂直平分线上
设圆心坐标为
则点在线段的垂直平分线上
由勾股定理得：
圆心坐标为
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
13．在矩形中，，．
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
【解答】解：（1）连接，
，，
，
的半径为长，
点在上，点在外，点在外；
（2）以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径的取值范围是．
故答案为：．
14．如图，中，，，，点是的中点．
（1）若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值；
（2）若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围．
【解答】解：连接．
，，，
，
（1）点，，都在上，
．
（2）点，，中有两个点在内，有一个点在外，
．
15．已知：如图，是菱形内一点，，，垂足为点，且，联结．
（1）求证：菱形是正方形；
（2）当是线段的中点时，求证：点在以为半径的上．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
菱形为正方形；
（2）连接，，
四边形为正方形，
，，
为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点在以为半径的上．
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