2022-2023学年安徽省淮北市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省淮北市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省淮北市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中与2 3是同类二次根式的是(    )
A. 8 B. 13 C. 18 D. 9
2. 若一组数据2，3，x，5，7的众数为3，则这组数据的中位数和平均数分别为(    )
A. 2、5 B. 5、4 C. 3、4 D. 7、5
3. 正八边形的每一个外角的度数是(    )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
4. 若关于x的一元二次方程x2−4x+mx+2m=0的常数项是6，则一次项是(    )
A. −x B. −1 C. x D. 1
5. 下列判断中正确的是(    )
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 四角相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6. 一元二次方程x2−4x−1=0配方后正确的是(    )
A. (x−2)2=1 B. (x−2)2=5 C. (x−4)2=1 D. (x−4)2=5
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为(    )

A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 4
8. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(    )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两个队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请个球队参加比赛．(    )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
10. 定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=4，CD=2，则边BC的长是(    )
A. 4 3−2 B. 4 3−4
C. 4 3−4或4 3−3 D. 4 3−4或4 3−2
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
11. 若代数式 6−3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
12. 某校规定期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩.该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的学期数学总成绩为______ 分.
13. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD的面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
14. 解方程：(1)3x(x−1)=2(x−1)；
(2)x2−6x+6=0。
四、解答题（本大题共9小题，共87.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．
(1)四边形DEBF是______ (从“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”中选择一个填写)；
(2)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，AP+12DP的最小值是______ ．

16. (本小题8.0分)
计算： 24+( 5+ 2)( 5− 2)−( 3+ 2)2．
17. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0.(m为实数)
(1)求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
(2)该方程的两个实数根为x1、x2(x1>x2)，若x1−x2=2，求正数m的值．
18. (本小题8.0分)
正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形顶点叫做格点，以格点为顶点画图．
(1)在图①中，画一个面积为5的正方形ABCD；
(2)在图②中，画一个三角形A1B1C1，使它的三边长分别为A1B1=3，A1C1= 10，B1C1= 13．

19. (本小题10.0分)
如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．

20. (本小题10.0分)
小刚根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
以下是小刚的探究过程，请补充完整；
(1)具体运算，发现规律．
特例1： 12−14=12；特例2： 13−19= 23；特例3： 14−116= 34；特例4：______(举一个符合上述运算特征的例子)
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；______．
(3)证明猜想，确认猜想的正确性．
21. (本小题12.0分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为r(r>0)．
(1)求月增长率r；
(2)经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22. (本小题12.0分)
我校在七、八年级举行了“防溺水安全教育”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛(百分制).测试成绩整理、描述和分析如下：
成绩得分(整数)用x表示，共分成四组：
A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
s2
八年级
91
93
100
50.4
根据抽取学生竞赛成绩统计表和扇形统计图的信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由；
(3)我校八年级共800人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀(x≥90)的八年级学生人数是多少？
23. (本小题14.0分)
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，BC=2．
(1)求菱形ABCD的面积．
(2)如图，点E在线段AC上运动，以DE为边做等边三角形DEF．
①求证：AF=BE．
②点E在线段AC上运动时，点F的位置随之发生变化，试探究点F的运动轨迹，并说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、 8=2 2，与2 3不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、 13= 33，与2 3是同类二次根式，故B符合题意；
C、 18=3 2，与2 3不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、 9=3，与2 3不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，可得答案．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

2.【答案】C 
【解析】解：∵一组数据2，3，x，5，7的众数为3，
∴x=3，
∴这组数据从小到大排序为2，3，3，5，7，
∴这组数据的中位数是3，平均数是2+3+3+5+75=4，
故选：C．
先根据众数的定义可得x=3，再根据中位数的定义和平均数的计算公式即可得．
本题考查了众数、中位数、平均数，熟记各定义和计算公式是解题关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵多边形的外角和为360°，
∴每个外角度数为：360°÷8=45°，
故选：B．
根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，是解题的基础．

4.【答案】A 
【解析】解：由题意得：2m=6，
解得m=3，
则一次项是−4x+3x=−x，
故选：A．
根据2m=6可得m=3，由此即可得．
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项．

5.【答案】D 
【解析】解：A错误，四边相等的四边形是菱形；
B错误，四角相等的四边形是矩形；
C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
故选：D．
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析．
此题主要考查正方形、矩形、菱形的判定．

6.【答案】B 
【解析】解：∵x2−4x−1=0，
∴x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，
∴(x−2)2=5．
故选：B．
本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

7.【答案】C 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为边AC的中点，BD=2，
∴AC=2BD=4，
∵∠C=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=12AC=2，
故选：C．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= 62+82=10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴CE=12AC=5,DE=12BC=4,DE//BC，
∴∠CFE=∠FCM，
∵CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，
∴∠ECF=∠FCM，
∴∠CFE=∠ECF，
∴EF=CE=5，
∴DF=DE+EF=9，
故选：D．
先利用勾股定理可得AC=10，再根据三角形中位线定理可得CE=12AC=5，DE=12BC=4,DE//BC，然后根据平行线的性质可得∠CFE=∠FCM，根据角平分线的定义可得∠ECF=∠FCM，从而可得∠CFE=∠ECF，最后根据等腰三角形的判定可得EF=CE=5，由此即可得．
本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．

9.【答案】C 
【解析】解：设有x个队，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，
x(x−1)÷2=28，
解得x=8或−7(舍去)．
故应邀请8个球队参加比赛．
故选：C．
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2.即可列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

10.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，
∴∠ABC=∠ADC=90°或∠DAB=∠DCB=60°．
①当∠ABC=∠ADC=90°时，延长AD，BC交于点E，如图，

∵四边形的内角和为360°，
∴∠BCD=360°−∠A−∠ABC−∠ADC=120°，
∴∠DCE=60°，
∴∠E=30°，
∴EC=2CD=4，AE=2AB=8，
∴BE= AE2−AB2= 82−42=4 3，
∴BC=BE−EC=4 3−4．
②当∠DAB=∠DCB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，如图，

∵∠ABC=90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴DF=BE，DE=BF．
设AE=x，则BE=DF=4−x．
∵∠DAB=∠DCB=60°，
∴∠ADE=∠CDF=30°，
∴AD=2AE=2x，CF=12CD=1．
∴DF= CD2−CF2= 22−12= 3．
∴4−x= 3，
∴x=4− 3．
∴AD=2AE=8−2 3，
∴DE= AD2−AE2=4 3−3，
∴BF=DE=4 3−3，
∴BC=BF+CF=4 3−2．
综上，边BC的长是4 3−4或4 3−2．
故选：D．
利用“等对角四边形”的定义得到：∠ABC=∠ADC=90°或∠DAB=∠DCB=60°，利用分类讨论的方法分两种情形解答：①当∠ABC=∠ADC=90°时，延长AD，BC交于点E，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理分别求得EC，BE的长度即可；②当∠DAB=∠DCB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，利用矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得线段BF，CF的长度即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练应用是解题的关键．

11.【答案】x≤2 
【解析】解：∵代数式 6−3x在实数范围内有意义，
∴6−3x≥0，即x≤2．
故答案为：x≤2．
根据二次根式有意义的条件列不等式解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式成为解答本题的关键．

12.【答案】86 
【解析】解：设小红的学期数学总成绩为x分，
由题意得：x=80×40%+90×60%，
解得：x=86，
即小红的学期数学总成绩为86分，
故答案为：86．
设小红的学期数学总成绩为x分，根据期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

13.【答案】4 2 
【解析】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC⋅AF=CD⋅AE．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=1，BO=DO，AC⊥BD，
∴AC=2AO=2，BO= AB2−AO2= 32−12=2 2，
∴BD=2BO=4 2，
∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×2×4 2=4 2，
故答案为：4 2．
先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．

14.【答案】解：(1)方程移项分解因式得：(x−1)(3x−2)=0，
可得x−1=0或3x−2=0，
解得：x1=1，x2=23；
(2)方程移项得：x2−6x=−6，
配方得：x2−6x+9=3，即(x−3)2=3，
开方得：x−3=± 3，
解得：x1=3+ 3，x2=3− 3． 
【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
(1)方程移项分解法，利用因式分解法求出解即可；
(2)方程利用配方法求出解即可．

15.【答案】菱形  3 
【解析】解：(1)菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC，
∴将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处，
∴△ADE≌△ODE，△CBF≌△OBF，∠A=∠DOE=90°，∠C=∠BOF=90°，∠ADE=∠ODE，∠CBF=∠OBF，
∴EF⊥BD，
∵点O是BD的中点，
∴EF是BD的垂直平分线，
∴DF=BF，
在Rt△DFO和Rt△BFO中，
BF=DFFO=FO，
∴Rt△DFO≌Rt△BFO(HL)，
∴∠FDO=∠FBO，
∴四边形ABCD是矩形，
∴DF//BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∴∠EBO=∠FBO，
∴BO平分∠EBF，
∵EF⊥BD，
∴BD是EF的垂直平分线，
∴BF=BE，
∴DF=BE，且DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BD与EF相互垂直平分，即对角线相互垂直平分，
∴四边形DEBF是菱形，
故答案为：菱形；
(2)如图所示，连接OP，OA，

点P在DE上运动时，根据折叠的性质可得，AP=OP，
∴AP+OP+PD=2AP+PD=2(AP+12PD)，
∴根据点到△ADO各顶点矩离最短，
∴AP=DP=OP时，AP+12DP的值最小，
由(1)可知，四边形DEBF是菱形，
∴∠DEO=∠ODF，
∵折叠，
∴∠ADE=∠EDO，
∴∠ADE=∠EDO=ODF=30°，
∵AD=2，
∵∠ADE=30°，
∴tan30°=AEAD= 33，
∴AE=2× 33=2 33，
cos30°=ADDE= 32，
∴DE=2 32=4 33，
∴PD=2 33，AP=2 33，
∴AP+OP+PD=2AP+PD=4 33+2 33=2 3，
∴AP+12PD= 3．
(1)根据菱形的判定方法即可求证；
(2)如图所示，连接OP，OA，点P在DE上运动时，根据折叠的性质可得，AP=OP，根据点到△ADO各顶点距离最小，可知，当AP=DP=OP时，AP+12DP的值最小，根据(1)中菱形的性质，可得∠ADE=∠EDO=∠ODF=30°，运用含30°的直角三角形的性质即可求解．
本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质、翻折变换、胡不归问题，解题的关键是掌握相关知识的运用．

16.【答案】解： 24+( 5+ 2)( 5− 2)−( 3+ 2)2
=2 6+5−2−(5+2 6)
=2 6+5−2−5−2 6
=−2． 
【解析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵Δ=(−4m)2−4×1×3m2=4m2≥0，
∴无论m取何值，该方程总有两个实数根；
(2)解：∵x2−4mx+3m2=0，即(x−m)(x−3m)=0，
解得：x=m或x=3m，
∵m>0，x1>x2，
∴x1=3m，x2=m，
∵x1−x2=2，
∴3m−m=2，
∴m=1． 
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为3m，m，然后利用x1−x2=2，即可求出m的值．
本题考查了根的判别式，解题的关键是表示出方程的两个根．

18.【答案】解：(1)如图，正方形ABCD即为所求．
．
(2)如图，三角形A1B1C1即为所求．
． 
【解析】(1)根据正方形的面积可得正方形的边长为 5，再利用勾股定理与网格特点即可得；
(2)利用勾股定理与网格特点可得A1C1、B1C1，由此即可得．
本题考查了勾股定理与网格特点，熟练掌握勾股定理是解题关键．

19.【答案】解：∵BE=FC，
∴BE+EC=FC+EC，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFBC=FEAC=DE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB//DF，
又∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形． 
【解析】依据等式的性质，即可得到BC=FE，再根据SSS即可判定△ABC≌△DFE，进而得出∠ABC=∠DFE，依据AB//DF，AB=DF，即可得到四边形ABDF是平行四边形．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

20.【答案】解：(1) 15−125=25 (答案不唯一)；
(2) 1n−1n2= n−1n  ；
(3)证明：因为n是正整数，
所以 1n−1n2= n−1n2= n−1n．
即 1n−1n2= n−1n． 
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
(1)根据题目中的例子可以写出特例4；
(2)根据(1)中特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题．
【解答】
解：(1)观察可知等式左边被开方数为两个分数的差，分子均为1，后面的分母始终为前面分数的平方，等式右边分母为左边根号下第一个分数的分母，分子为右边分母少一的开方数，
所以特例4为： 15−125= 45=25，
故答案为： 15−125=25(答案不唯一)；
(2)由(1)分析可知如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律为 1n−1n2= n−1n，
故答案为： 1n−1n2= n−1n；
(3)见答案．  
21.【答案】解：(1)由题意得：256(1+r)2=400，
解得r=0.25=25%或r=−2.25<0(不符合题意，舍去)，
答：月增长率r为25%．
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，则月销售量为600−10(y−40)=(1000−10y)(个)，
由题意得：(y−30)(1000−10y)=10000，
解得y=50或y=80，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 
【解析】(1)根据5月份销售量=3月份销售量×(1+r)2建立方程，解方程即可得；
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，从而可得月销售量，再根据利润=(实际售价−进价)×月销售量建立方程，解方程即可得．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．

22.【答案】40  93  96 
【解析】解：(1)因为八年级A组有10×20%=2人，B组有10×10%=1人，C组有3人，
所以D组有4人，所以410=40%，即a=40．
∵七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
从小到大排列：82，86，86，89，90，96，96，96，99，100，
所以第5个，第6个数据为：90，96，
∴中位数为90+962=93，
因为七年级学生成绩中96分有3个，出现的次数最多，所以众数c=96，
故答案为：40，93，96；
(2)因为七八年级的平均数相等，根据已知条件可得，七年级成绩的方差为：
d=110[3×(96−92)2+2×(86−92)2+(99−92)2+(90−92)2+(100−92)2+(89−92)2+(82−92)2]=34.6，
七年级成绩的方差为34.6，
∴34.6<50.4，
七年级成绩的方差比八年级小，所以七年级的成绩更稳定．
(3)由题意得：八年级成绩大于或等于90分的有7人，
∴800×710=560(人)，
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为560人．
(1)先根据扇形统计图求解A，B组的学生人数，结合C组人数，求解D组人数，可得a的值，再根据八年级学生成绩的中位数落在C组，可得b的值，由七年级学生成绩中96分有3个，出现的次数最多，可得c的值；
(2)因为两个年级的平均数相同，计算七年级的方差分析可得结论；
(3)分别统计出七年级、八年级成绩大于或等于90分的人数，利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
本题考查的是扇形统计图，频数分布，平均数，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．

23.【答案】(1)解：如图所示，连接BD与AC交于O，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，BC=2，
∴AC⊥BD,AC=2OC,BD=2OB,∠CBO=12∠ABC=60°，
∴∠BCO=30°，
∴OB=12BC=1，
∴OC= BC2−OB2= 3，
∴AC=2 3,BD=2，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×2 3×2=2 3；

(2)①证明：如图所示，连接BE，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AD=AB，∠ABD=12∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ADB=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDF−∠ADE=∠ADB−∠ADE，即ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(SAS)，
∴AF=BE；
②解：点F在线段AD的垂直平分线上，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，∠EOB=∠EOD=90°，
∵EO=EO，
∴△EOB≌△EOD(SAS)，
∴BE=DE，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，
又∵AF=BE，
∴AF=DF，
∴点F在线段AD的垂直平分线上． 
【解析】(1)如图所示，连接BD与AC交于O，利用菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出OB=1，进而利用勾股定理求出OC= 3，则AC=2 3,BD=2，由此根据菱形面积公式求解即可；
(2)①如图所示，连接BE，先证明△ABD是等边三角形，得到BD=AD，∠ADB=60°，再由△DEF是等边三角形，得到DE=DF，∠EDF=60°，由此可证明△ADF≌△BDE，则AF=BE；
②证明△EOB≌△EOD，得到BE=DE，进而证明AF=DF，则点F在线段AD的垂直平分线上．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．