2022-2023学年山东省菏泽市郓城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市郓城县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省菏泽市郓城县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 等腰三角形两边长分别是2cm和3cm，则周长是(    )
A. 7cm B. 8cm
C. 7cm或8cm D. 条件不足，无法求出
3. 下列说法不一定成立的是(    )
A. 若a>b，则a−c>b−c B. 若a−c>b−c，则a>b
C. 若a>b，则ac2>bc2 D. 若ac2>bc2，则a>b
4. 不等式组x<4x≥3的解集在数轴上表示为(    )
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于(    )


A. 8° B. 9° C. 10° D. 11°
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE//BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°，则∠BAC的度数为(    )


A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
7. 如图，直线y=−x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为−2，则关于x的不等式−x+m>nx+4n>0的整数解为(    )
A. −1
B. −3
C. −4
D. −5
8. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0).将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x−6上时，线段BC扫过的面积为(    )


A. 4 B. 8 C. 16 D. 8 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D.若BD=1，则AB= ______ ．


10. 如图，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC于H，OH=5cm，点O到AB的距离为______ cm．


11. 关于x的不等式组2x+1>3a−x>1的解集为1 12. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k<0；②a>0；③当x<3时，y1>y2中，正确的序号是______ ．


13. 如图所示，将一个三角板绕着它的直角顶点旋转一定的角度，此时∠AOB′与∠A′OB的度数和是______ ．


14. 如图第一象限内有两点P(m−4,n)，Q(m,n−3)，将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15. 解不等式组2x−7<3(x−1)43x+3≥1−23x，并把解集表示在数轴上表示出来．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
解不等式：2(2x−1)>3x−1．
17. (本小题10.0分)
为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元，已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元．
(1)求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元？
(2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个A类足球？
18. (本小题8.0分)
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示．
(1)把△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
(2)在网格中作△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)连接BB1，BC1，求△B1BC1的面积．

19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，OA=2，OB=3，现同时将点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
(1)写出点A，B，C，D的坐标；
(2)在线段CO上是否存在一点P，使得S△CDP=S△PBO，如果存在，试求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

20. (本小题6.0分)
如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠D=40°，∠C=60°，AB//DE，求∠DAC的度数．

21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且满足AD=BD=BC.点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
(1)求∠BAC和∠ACB的度数；
(2)求证：△ACF是等腰三角形．

22. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB上，连接CD.作∠CDE=30°，DE交AC于点E.当DE//BC时，求证：△ACD为直角三角形．

23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE//AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
(1)求证：AE=ED；
(2)Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．

24. (本小题10.0分)
如图△ABC为等边三角形，直线a//AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)若D为直线BC上任一点(如图2)，其他条件不变，上述(1)的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：①当腰是2cm，底边是3cm时，能构成三角形，
则其周长=2+2+3=7cm；
②当底边是2cm，腰长是3cm时，能构成三角形，
则其周长=2+3+3=8cm．
故选：C．
等腰三角形两边的长分别为2cm和3cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知条件没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．

3.【答案】C 
【解析】解：∵a>b，
∴a−c>b−c一定成立，
∴选项A不符合题意；

∵a−c>b−c，
∴a>b一定成立，
∴选项B不符合题意；

∵a>b且c=0时，ac2>bc2不成立，
∴选项C符合题意；

∵若ac2>bc2，则a>b一定成立，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知：“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
直接把各不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：不等式组x<4x≥3的解集在数轴上表示为：
．
故选B．  
5.【答案】A 
【解析】解：连接OA，
∵∠BAC=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−82°=98°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB=OA，OC=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB=98°−(∠OBA+∠OCA)=16°，
∴∠OBC=8°，
故选：A．
连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵AE//BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°−70°×2=40°．
故选：A．
根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的定义可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．

7.【答案】B 
【解析】解：当y=0时，nx+4n=0，解得x=−4，所以直线y=nx+4n与x轴的交点坐标为(−4,0)，
当x>−4时，nx+4n>0；
当x<−2时，−x+m>nx+4n，
所以当−4nx+4n>0，
所以不等式−x+m>nx+4n>0的整数解为x=−3．
故选：B．
先解方程nx+4n=0得到直线y=nx+4n与x轴的交点坐标为(−4,0)，然后利用函数图象写出在x轴上方且直线y=nx+4n在直线y=−x+m的下方所对应的自变量的范围，再找出此范围内的整数即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解决本题的关键是求出直线y=nx+4n与x轴的交点坐标．

8.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积．
根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x−6上时的横坐标即可．
【解答】
解：如图所示．

∵点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，
∴AB=3．
∵∠CAB=90°，BC=5，
∴AC=4．
∴A′C′=4．
∵点C′在直线y=2x−6上，
∴2x−6=4，解得：x=5．
即OA′=5．
∴CC′=5−1=4．
∴S▱BCC′B′=4×4=16．
即线段BC扫过的面积为16．
故选：C．  
9.【答案】4 
【解析】解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，
∴∠B=90°−∠A=60°，
∵CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°−∠B=30°
∴AB=2BC，BC=2BD，
∴AB=4BD=4．
故答案为：4．
先根据∠ACB为直角，∠A=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用∠ACB为直角和CD⊥AB于D，求出∠DCB=90°−∠B=30°，以后的问题即可迎刃而解了．

10.【答案】5 
【解析】解：如图所示，作OM⊥AB交AB于点M，

∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，OH⊥BC，
∴OM=OH=5．
故答案为：5．
作OM⊥AB交AB于点M，根据角平分线的性质求解即可．
此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．

11.【答案】4 
【解析】解：2x+1>3 ①a−x>1 ②
∵解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x ∵不等式组2x+1>3a−x>1的解集为1 ∴a−1=3，
∴a=4
故答案为：4．
求出不等式组的解集，根据已知得出a−1=3，从而求出a的值．
本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出a−1=3．

12.【答案】①③ 
【解析】解：∵一次函数y1=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k<0，故①正确；
∵一次函数y2=x+a的图象经过一、三、四象限，
∴a<0，故②错误．
∵由函数图象可知，当x<3时，一次函数y1=kx+b的图象在函数y2=x+a图象的上方，
∴当x<3时，y1>y2，故③正确．
故答案为：①③．
先根据一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象所经过的象限判断出a、b的符号，由两函数图象的交点即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能根据数形结合求出不等式的解是解答此题的关键．

13.【答案】180° 
【解析】解：由题意可知∠AOB=∠A′OB′=90°，
∵∠A′OB=∠AOB+∠A′OB′−∠AOB′=90°+90°−∠AOB′，
∴∠A′OB+∠AOB′=180°，
故答案为：180°．
观察题目∠A′OB=∠AOB+∠A′OB′−∠AOB′，再根据旋转的性质∠AOB=∠A′OB′=90°，代入等式进行移项即可求得∠AOB′与∠A′OB的度数和．
本题考查旋转的性质，熟练旋转的性质特点将要求的角度和进行转换是解题关键．

14.【答案】(0,3)或(−4,0) 
【解析】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0−(n−3)=−n+3，
∴n−n+2=3=3，
∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3)；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0−m=−m，
∴m−4−m=−4，
∴点P平移后的对应点的坐标是(−4,0)；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(−4,0)．
故答案为：(0,3)或(−4,0)．
设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′.分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

15.【答案】解：2x−7<3(x−1)  ①43x+3≥1−23x  ②，
由①得：x>−4，
由②得：x≥−1，
∴不等式组的解集是x≥−1．
在数轴上表示不等式组的解集是：
． 
【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式(组)，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

16.【答案】解：2(2x−1)>3x−1，
去括号得：4x−2>3x−1，
移项得：4x−3x>2−1，
解得：x>1． 
【解析】先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，
本题考查的是解一元一次不等式，解答此题时要注意当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向要改变．

17.【答案】解：(1)设购买一个A类足球需要x元，购买一个B类足球需要y元，
依题意，得：50x+25y=7500y−x=30，
解得：x=90y=120．
答：购买一个A类足球需要90元，购买一个B类足球需要120元．
(2)设购买m个A类足球，则购买(50−m)个B类足球，
依题意，得：90m+120(50−m)≤4800，
解得：m≥40．
答：本次至少可以购买40个A类足球． 
【解析】(1)设购买一个A类足球需要x元，购买一个B类足球需要y元，根据“购买50个A类足球和25个B类足球共花费7500元，购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个A类足球，则购买(50−m)个B类足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)△B1BC1的面积=12×4×4=8．
 
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2；
(3)利用三角形面积公式求解．
本题考查作图−平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．

19.【答案】解：(1)根据题意得，OA=2，OB=3，
∴A(−2,0)，B(3,0)，
∵点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得对应点C，D，
∴C(0,2)，D(5,2)．
(2)存在．
理由：如图所示，

CD=5，OB=3，设P(0,a)，则CP=2−a，
∴S△CDP=12CD⋅CP=12×5×(2−a)=52(2−a)，S△PBO=12OB⋅OP=12×3a=32a，
∴52(2−a)=32a，解得，a=54．
∴点P存在，且坐标为(0,54)． 
【解析】(1)根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解；
(2)根据题意，设P(0,a)，则CP=2−a，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解．
本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键．

20.【答案】解：∵△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠E=60°，∠D=∠B=40°，
∵∠B=40°，
∴∠BAC=180°−40°−60°=80°，
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠D=40°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°，
∴∠DAC的度数为40°． 
【解析】根据旋转的性质得∠C=∠E=60°，∠D=∠B=40°，再根据平行线的性质的∠BAD=∠D=40°，从而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设∠BAC=x°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=x°，
∴∠BDC=2x°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°可得x+2x+2x=180，
解得：x=36，
则∠BAC=36°，∠ACB=72°；
(2)∵E是AB的中点，AD=BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
又∵∠ABD=∠BAD，
∴∠FAD=∠FBD=36°，
又∵∠ACB=72°，
∴∠AFC=∠ACB−∠CAF=36°，
∴∠CAF=∠AFC=36°，
∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形． 
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
(1)设∠BAC=x°，由AD=BD=BC知∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠BCD=2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°列方程求解可得；
(2)依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE=BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF=∠ABF，依据∠ABD=∠BAD，即可得到∠FAD=∠FBD=36°，再根据∠AFC=∠ACB−∠CAF=36°，可得∠CAF=∠AFC=36°，进而得到AC=CF．

22.【答案】证明：∵△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=180°−∠ACB2=180°−120°2=30°，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=30°，
又∵∠CDE=30°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，
∴∠ACD=180°−∠A−∠ADC=180°−30°−60°=90°，
∴△ACD是直角三角形． 
【解析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A=∠B=30°，然后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

23.【答案】证明：(1)∵DE//AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；
(2)∵AE=ED，EF⊥AD，AD平分∠BAC，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，
∴∠B=∠CA． 
【解析】(1)感觉平行线的性质和角平分线的定义即刻得到结论；
(2)根据线段的垂直平分线的性质证明FA=FD，得到∠FAD=∠FDA，根据三角形外角的性质得到∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，根据等量代换得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：∵a//AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠DOC=180°−∠EDC−∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC−∠ACE=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴EC=CD=DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，且∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形；

(2)在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，
∴∠DAF=∠DEC，
∴△ADF≌△EDC(AAS)，
∴AD=ED，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形． 
【解析】(1)根据题意得出EC=CD=DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论．
(2)在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论．
本题考查了等边三角形的判定及性质，难度较大，注意基本性质的掌握及熟练应用是解答本题的关键．