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22.3 实际问题与二次函数（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷）
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这是一份22.3 实际问题与二次函数（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷），文件包含九年级数学上册223实际问题与二次函数原卷版-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx、九年级数学上册223实际问题与二次函数解析版-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
22.3 实际问题与二次函数
题型导航
实际
问题
与
二次
函数
图形问题
题型1
图形运动问题
题型2
拱桥问题
题型3
销售问题
题型4
投球问题
题型5
喷水问题
题型6
题型变式
【题型1】图形问题
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
【解析】
【分析】
设围栏的宽为x米，则长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】
解：设围栏的宽为x米，则长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2021·河南南阳·九年级期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边的长为米（要求），矩形的面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？
【答案】(1)S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
(2)AB边的长为9米
【解析】
【分析】
（1）因为AB=x米，所以BC为（36-2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=h时，取得最大值．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，
∴BC=36-2x（米）．
∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．
∵0＜x＜36-2x,
∴自变量x的取值范围是0＜x＜12．
(2)
∵S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，且x=9在0＜x＜12的范围内，
∴当x=9时，S取最大值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便．
【题型2】图形运动问题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）如图，矩形中，，，点从点出发，沿边向点以1cm/s的速度移动；点从点出发，沿边向点以2cm/s的速度移动．，同时出发，分别到，后停止移动，则的最小面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
假设经过t秒后最小，利用，用含t的式子表示三角形面积，计算即可．
【详解】
解：假设经过t秒后最小，
结合图形可知：，，，
∴
化简得：
∴当时，有最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形运动问题，结合二次函数求三角形面积的最小值．该题的关键是找出等量关系，将转变成关于t的二次函数，求最值．
【变式2-1】
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，动点P从A点出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，同时，动点Q从A点出发，沿AD向点D运动，P，Q两点同时到达点D，设点P的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象如图2，当△APQ与△CBE全等时，DP的长为 __________________cm．
【答案】##
【解析】
【分析】
首先根据图2中的信息推断出点P的速度是点Q的三倍，然后结合△APQ的面积公式求出正方形的边长以及BE、CE的长度等，从而确定出P、Q两点的具体速度，最后根据点P的不同位置进行分类讨论求解即可．
【详解】
解：由图2 可知，从出发到停止，共用时3s，
此过程中，Q点走了AD，P点走了AB+BC+CD，
∵四边形ABCD为正方形，AB+BC+CD=3AD，
∴相同时间内P点走过的路程是Q点走过路程的3倍，
∴点P的速度是点Q的三倍，
当点P到C点时，，
∵点P的速度是点Q的三倍，
∴，
∴，
解得CD＝3（﹣3舍去），
∴正方形的边长为3cm，BE＝1.5cm，
∴cm，
∴点P的速度是3cm/s，点Q的速度是1cm/s，
设t秒时△APQ与△CBE全等，
若点P在AB上，则AP＝3AQ，但BC＝2BE，不满足题意，
若点P在BC上，则∠AQP＝90°，
∴BC＝QP，AQ＝BE，
∴，此时点P为BC的中点，
∴cm，
当P在CD上时，△APQ不可能是直角三角形，
故答案为：．
【点睛】
本题考查动点问题与函数图象，掌握正方形的基本性质，理解函数图象中的基本信息，熟练运用分了讨论的思想是解题关键．
【题型3】拱桥问题
1．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米
【答案】0.64
【解析】
【分析】
根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．
【详解】
解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为，
由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，
代入，
有，，
点A的纵坐标即为OC的长，
∴0.36a＋0.28＝0.64a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为，
，
故OC的长为：0.64m．
【点睛】
本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·四川绵阳·三模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面上升1m，水面宽度减少_____m．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意可得：点在此抛物线上，
则：，
解得：，
∴，
当，即时，
解得：，
∴此时水面的的宽度为m．
∴水面宽度减少了（）m．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
【题型4】销售问题
1．（2022·湖北·老河口市教学研究室一模）超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，每天销售该商品获利最大．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据利润=单件利润×销售量可得W=（x-10）（-5x+150），再根据二次函数的性质，用配方法算出售价即可；
【详解】
设获利W元，则W=（x-10）·y
∴W=（x-10）（-5x+150）
=-5x2+200x-1500
当x===20时，W的值最大
∴当x=20时，每天销售该商品获利最大．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握配方法和二次函数的性质是解决本题的关键．
【变式4-1】
2．（2021·河北保定·九年级期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天
售价（元/件）
日销售量件
（1）y与x的函数解析式为_______________；
（2）日销售的最大利润为_________元．
【答案】 2450
【解析】
【分析】
（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意，得，
即 ．
故答案为：；
（2），
当x=15时，y有最大值，最大值为2450，
即当x=15时，日销售利润有最大值为2450元．
故答案为：2450．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，掌握销售问题的关系：销售利润=单件利润×销售量是解题的关键．
【题型5】投球问题
1．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．
【答案】2
【解析】
【分析】
把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】
解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
【变式5-1】
2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【详解】
解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
【题型6】喷水问题
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
【答案】5.5
【解析】
【分析】
设原抛物线的解析式为， 当向上移动1.5米到4米高度时，抛物线解析式为：，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上平移k个单位后， ，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可得出结果．
【详解】
解：设原抛物线的解析式为，根据题意可得，与x轴交于点（2.5,0）代入得：
①，
当向上移动1.5米到4米高度时，
抛物线解析式为：，与x轴交于点（4,0），代入得
②，
联立①②求解可得：
，
∴将其代入②解得，
∴原抛物线的解析式为，
设向上平移k个单位后，
∴
与x轴交点为（4,0），代入得：
解得：k=3，
∴原抛物线向上移动3个单位，
即喷头高3+2.5=5.5米，
故答案为：5.5．
【点睛】
题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待定系数法求解是解题关键．
【变式6-1】
2．（2022·四川成都·模拟预测）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是__________米．
【答案】4
【解析】
【分析】
将一般式写成顶点式，求出顶点坐标即可得出结果．
【详解】
∵，
∴顶点坐标是(2，4)，
∴最大高度是4米．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数图象顶点坐标的方法．
专项训练
一．选择题
1．（2021·全国·九年级专题练习）某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】B
【解析】
【分析】
设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可．
【详解】
设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24时，y有最大值．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．
2．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】
将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
4．（2019·山西·中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
5．（2021·全国·九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【详解】
解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，
，
解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．
6．（2021·河北保定·九年级期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.
详解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为，每千克赚的钱为
则.
故选C.
点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.
二、填空题
7．（2021·四川广安·九年级期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可．
【详解】
解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级单元测试）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面的高度为则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度为______．
【答案】2.56
【解析】
【分析】
先根据题意抽象出数学模型，设球的运动轨迹y=ax2+c，代入函数图象经过的点，求出函数解析式，再计算当x=-2.4时y的值即可求解．
【详解】
解：设球的运动轨迹y=ax2+c，
4.4-2.4=2，
∴y=ax2+c经过点（0，4），（2，3），
代入可得：，
解得：，
∴，
当x=-2.4时，，
即球出手处距离地面的高度为2.56m，
故答案为：2.56m．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
9．（2019·全国·九年级课时练习）如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意抛物线过点（40，0），顶点坐标为（20,10），设抛物线的解析式为，从而求出a的值，然后确定抛物线的解析式．
【详解】
解:依题意得此函数解析式顶点为,
∴设解析式为,
又函数图象经过,
,
,
.
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查用待定系数法确定二次函数的解析式,解题时应根据情况设抛物线的解析式从而使解题简单,此题设为顶点式比较简单.
10．（2021·全国·九年级课时练习）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为______________．
【答案】x＜1或x＞3
【解析】
【分析】
利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集.
【详解】
数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3.
【点睛】
利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式：
形如式不等式，构造函数=，，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值.
11．（2018·四川绵阳·中考真题）某桥梁的桥洞可视为抛物线，，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
在y＝﹣x2+x中，令y＝3可得xD﹣xA＝9，以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，将A（﹣9，﹣3）代入即得抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x．
【详解】
解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，
解得x＝3或x＝9，
∵点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，
∴xD﹣xA＝9，
以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，如图：
根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），
设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，
将A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，
故答案为：y＝﹣x2﹣x．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，求出A、C坐标，利用顶点式求函数解析式是解题关键．
12．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】
根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：
∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
三、解答题
13．（2018·福建·中考真题）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【解析】
【分析】
（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a
【详解】
（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程及二次函数的应用.解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点.
14．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】(1)（，且x为整数）
(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【解析】
【分析】
（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
(1)
解：∵∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
(2)
解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
15．（2021·江苏徐州·二模）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠．
（1）求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；
（2）应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？
【答案】（1）z＝﹣x+122（x≥168）；（2）应将房间定价确定为260元时，获得利润最大，最大利润为8767元
【解析】
【分析】
（1）入住房间z（间）等于80减去每天的房间空闲数，列式并化简即可；
（2）设利润为w元，由题意得w关于x的二次函数关系式，根据二次函数的对称性及问题实际可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
z＝80﹣（x﹣42）
＝﹣x+122，
∴入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式为z＝﹣x+122（x≥168）；
（2）设利润为w元，由题意得：
w＝（﹣x+122）x﹣36（﹣x+122）﹣4000
＝﹣x2+131x﹣8392，
当x＝﹣＝262时，w最大，此时z＝56.5非整数，不合题意，
∴x＝260或264时，w最大，
∵让客人得到实惠，
∴x＝260，
∴w最大＝＝﹣×2602+131×260﹣8392＝8767，
∴应将房间定价确定为260元时，获得利润最大，最大利润为8767元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2021·河南·济水第一中学九年级期末）每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价(元/个)与时间第天(为整数)的数量关系如图所示，日销量(个)与时间第天(为整数)的函数关系式为:
直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
设日销售额为(元) ，求(元)关于(天)的函数解析式;在这天中，哪一天销售额(元)达到最大，最大销售额是多少元；
由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
【答案】（1）y＝，（2）w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法可求与的函数关系式；
（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到(元)关于(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．
（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．
【详解】
解：（1）当 时，设直线的表达式为
将 代入到表达式中得
解得
∴当时，直线的表达式为
∴ y＝，
（2）由已知得：w＝py．
当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700
＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880，
当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800，
∵x是整数，200＞0，
∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，
∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝3600，
当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000，
∵－600＜0，∴w随x的增大而减小，
又∵x＝9时，w＝－600×9＋9000＝3600．
∴当9＜x≤15时，W的最大值小于3600
综合得：w＝，
在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元．
（3）当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
解得
∵x为正整数
∴
∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
17．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
(1)
解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
(2)
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
(3)
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
22.3 实际问题与二次函数
题型导航
实际
问题
与
二次
函数
图形问题
题型1
图形运动问题
题型2
拱桥问题
题型3
销售问题
题型4
投球问题
题型5
喷水问题
题型6
题型变式
【题型1】图形问题
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
【解析】
【分析】
设围栏的宽为x米，则长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】
解：设围栏的宽为x米，则长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2021·河南南阳·九年级期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边的长为米（要求），矩形的面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？
【答案】(1)S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
(2)AB边的长为9米
【解析】
【分析】
（1）因为AB=x米，所以BC为（36-2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=h时，取得最大值．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，
∴BC=36-2x（米）．
∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．
∵0＜x＜36-2x,
∴自变量x的取值范围是0＜x＜12．
(2)
∵S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，且x=9在0＜x＜12的范围内，
∴当x=9时，S取最大值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便．
【题型2】图形运动问题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）如图，矩形中，，，点从点出发，沿边向点以1cm/s的速度移动；点从点出发，沿边向点以2cm/s的速度移动．，同时出发，分别到，后停止移动，则的最小面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
假设经过t秒后最小，利用，用含t的式子表示三角形面积，计算即可．
【详解】
解：假设经过t秒后最小，
结合图形可知：，，，
∴
化简得：
∴当时，有最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形运动问题，结合二次函数求三角形面积的最小值．该题的关键是找出等量关系，将转变成关于t的二次函数，求最值．
【变式2-1】
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，动点P从A点出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，同时，动点Q从A点出发，沿AD向点D运动，P，Q两点同时到达点D，设点P的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象如图2，当△APQ与△CBE全等时，DP的长为 __________________cm．
【答案】##
【解析】
【分析】
首先根据图2中的信息推断出点P的速度是点Q的三倍，然后结合△APQ的面积公式求出正方形的边长以及BE、CE的长度等，从而确定出P、Q两点的具体速度，最后根据点P的不同位置进行分类讨论求解即可．
【详解】
解：由图2 可知，从出发到停止，共用时3s，
此过程中，Q点走了AD，P点走了AB+BC+CD，
∵四边形ABCD为正方形，AB+BC+CD=3AD，
∴相同时间内P点走过的路程是Q点走过路程的3倍，
∴点P的速度是点Q的三倍，
当点P到C点时，，
∵点P的速度是点Q的三倍，
∴，
∴，
解得CD＝3（﹣3舍去），
∴正方形的边长为3cm，BE＝1.5cm，
∴cm，
∴点P的速度是3cm/s，点Q的速度是1cm/s，
设t秒时△APQ与△CBE全等，
若点P在AB上，则AP＝3AQ，但BC＝2BE，不满足题意，
若点P在BC上，则∠AQP＝90°，
∴BC＝QP，AQ＝BE，
∴，此时点P为BC的中点，
∴cm，
当P在CD上时，△APQ不可能是直角三角形，
故答案为：．
【点睛】
本题考查动点问题与函数图象，掌握正方形的基本性质，理解函数图象中的基本信息，熟练运用分了讨论的思想是解题关键．
【题型3】拱桥问题
1．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米
【答案】0.64
【解析】
【分析】
根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．
【详解】
解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为，
由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，
代入，
有，，
点A的纵坐标即为OC的长，
∴0.36a＋0.28＝0.64a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为，
，
故OC的长为：0.64m．
【点睛】
本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·四川绵阳·三模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面上升1m，水面宽度减少_____m．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意可得：点在此抛物线上，
则：，
解得：，
∴，
当，即时，
解得：，
∴此时水面的的宽度为m．
∴水面宽度减少了（）m．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
【题型4】销售问题
1．（2022·湖北·老河口市教学研究室一模）超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，每天销售该商品获利最大．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据利润=单件利润×销售量可得W=（x-10）（-5x+150），再根据二次函数的性质，用配方法算出售价即可；
【详解】
设获利W元，则W=（x-10）·y
∴W=（x-10）（-5x+150）
=-5x2+200x-1500
当x===20时，W的值最大
∴当x=20时，每天销售该商品获利最大．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握配方法和二次函数的性质是解决本题的关键．
【变式4-1】
2．（2021·河北保定·九年级期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天
售价（元/件）
日销售量件
（1）y与x的函数解析式为_______________；
（2）日销售的最大利润为_________元．
【答案】 2450
【解析】
【分析】
（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意，得，
即 ．
故答案为：；
（2），
当x=15时，y有最大值，最大值为2450，
即当x=15时，日销售利润有最大值为2450元．
故答案为：2450．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，掌握销售问题的关系：销售利润=单件利润×销售量是解题的关键．
【题型5】投球问题
1．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．
【答案】2
【解析】
【分析】
把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】
解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
【变式5-1】
2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【详解】
解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
【题型6】喷水问题
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
【答案】5.5
【解析】
【分析】
设原抛物线的解析式为， 当向上移动1.5米到4米高度时，抛物线解析式为：，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上平移k个单位后， ，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可得出结果．
【详解】
解：设原抛物线的解析式为，根据题意可得，与x轴交于点（2.5,0）代入得：
①，
当向上移动1.5米到4米高度时，
抛物线解析式为：，与x轴交于点（4,0），代入得
②，
联立①②求解可得：
，
∴将其代入②解得，
∴原抛物线的解析式为，
设向上平移k个单位后，
∴
与x轴交点为（4,0），代入得：
解得：k=3，
∴原抛物线向上移动3个单位，
即喷头高3+2.5=5.5米，
故答案为：5.5．
【点睛】
题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待定系数法求解是解题关键．
【变式6-1】
2．（2022·四川成都·模拟预测）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是__________米．
【答案】4
【解析】
【分析】
将一般式写成顶点式，求出顶点坐标即可得出结果．
【详解】
∵，
∴顶点坐标是(2，4)，
∴最大高度是4米．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数图象顶点坐标的方法．
专项训练
一．选择题
1．（2021·全国·九年级专题练习）某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】B
【解析】
【分析】
设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可．
【详解】
设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24时，y有最大值．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．
2．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】
将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
4．（2019·山西·中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
5．（2021·全国·九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【详解】
解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，
，
解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．
6．（2021·河北保定·九年级期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.
详解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为，每千克赚的钱为
则.
故选C.
点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.
二、填空题
7．（2021·四川广安·九年级期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可．
【详解】
解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级单元测试）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面的高度为则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度为______．
【答案】2.56
【解析】
【分析】
先根据题意抽象出数学模型，设球的运动轨迹y=ax2+c，代入函数图象经过的点，求出函数解析式，再计算当x=-2.4时y的值即可求解．
【详解】
解：设球的运动轨迹y=ax2+c，
4.4-2.4=2，
∴y=ax2+c经过点（0，4），（2，3），
代入可得：，
解得：，
∴，
当x=-2.4时，，
即球出手处距离地面的高度为2.56m，
故答案为：2.56m．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
9．（2019·全国·九年级课时练习）如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意抛物线过点（40，0），顶点坐标为（20,10），设抛物线的解析式为，从而求出a的值，然后确定抛物线的解析式．
【详解】
解:依题意得此函数解析式顶点为,
∴设解析式为,
又函数图象经过,
,
,
.
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查用待定系数法确定二次函数的解析式,解题时应根据情况设抛物线的解析式从而使解题简单,此题设为顶点式比较简单.
10．（2021·全国·九年级课时练习）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为______________．
【答案】x＜1或x＞3
【解析】
【分析】
利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集.
【详解】
数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3.
【点睛】
利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式：
形如式不等式，构造函数=，，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值.
11．（2018·四川绵阳·中考真题）某桥梁的桥洞可视为抛物线，，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
在y＝﹣x2+x中，令y＝3可得xD﹣xA＝9，以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，将A（﹣9，﹣3）代入即得抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x．
【详解】
解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，
解得x＝3或x＝9，
∵点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，
∴xD﹣xA＝9，
以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，如图：
根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），
设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，
将A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，
故答案为：y＝﹣x2﹣x．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，求出A、C坐标，利用顶点式求函数解析式是解题关键．
12．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】
根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：
∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
三、解答题
13．（2018·福建·中考真题）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【解析】
【分析】
（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a
【详解】
（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程及二次函数的应用.解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点.
14．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】(1)（，且x为整数）
(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【解析】
【分析】
（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
(1)
解：∵∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
(2)
解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
15．（2021·江苏徐州·二模）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠．
（1）求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；
（2）应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？
【答案】（1）z＝﹣x+122（x≥168）；（2）应将房间定价确定为260元时，获得利润最大，最大利润为8767元
【解析】
【分析】
（1）入住房间z（间）等于80减去每天的房间空闲数，列式并化简即可；
（2）设利润为w元，由题意得w关于x的二次函数关系式，根据二次函数的对称性及问题实际可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
z＝80﹣（x﹣42）
＝﹣x+122，
∴入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式为z＝﹣x+122（x≥168）；
（2）设利润为w元，由题意得：
w＝（﹣x+122）x﹣36（﹣x+122）﹣4000
＝﹣x2+131x﹣8392，
当x＝﹣＝262时，w最大，此时z＝56.5非整数，不合题意，
∴x＝260或264时，w最大，
∵让客人得到实惠，
∴x＝260，
∴w最大＝＝﹣×2602+131×260﹣8392＝8767，
∴应将房间定价确定为260元时，获得利润最大，最大利润为8767元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2021·河南·济水第一中学九年级期末）每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价(元/个)与时间第天(为整数)的数量关系如图所示，日销量(个)与时间第天(为整数)的函数关系式为:
直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
设日销售额为(元) ，求(元)关于(天)的函数解析式;在这天中，哪一天销售额(元)达到最大，最大销售额是多少元；
由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
【答案】（1）y＝，（2）w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法可求与的函数关系式；
（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到(元)关于(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．
（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．
【详解】
解：（1）当 时，设直线的表达式为
将 代入到表达式中得
解得
∴当时，直线的表达式为
∴ y＝，
（2）由已知得：w＝py．
当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700
＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880，
当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800，
∵x是整数，200＞0，
∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，
∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝3600，
当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000，
∵－600＜0，∴w随x的增大而减小，
又∵x＝9时，w＝－600×9＋9000＝3600．
∴当9＜x≤15时，W的最大值小于3600
综合得：w＝，
在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元．
（3）当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
解得
∵x为正整数
∴
∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
17．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
(1)
解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
(2)
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
(3)
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
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