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22.1.5待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）（解析+原卷）
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这是一份22.1.5待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）（解析+原卷），文件包含九年级数学上册2215待定系数法求二次函数解析式讲+练7种题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、九年级数学上册2215待定系数法求二次函数解析式讲+练7种题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
22.1.5待定系数法求二次函数解析式
二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知
1.若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
【变式1-1】已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式.
【答案】解： ∵二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），
∴4a+c=8a+c=5，解得：a=1c=4.
∴二次函数的表达式为y=x2+4.
【解析】【分析】根据已知的两点坐标分别代入二次函数y=ax2+c ，得出关于a、c的二元一次方程组，求解即可得出a、c的值，从而即可求二次函数解析式即可.
【变式1-2】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）。求抛物线的表达式及点B的坐标。
【答案】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），C（0，-3）
∴1−b+c=0，c=−3.解得b=−2c=−3
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
当x2-2x-3=0时，解得x1=-1，x2=3，
∵点A的坐标为（-1.0），
∴点B的坐标为（3，0）.
【解析】【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案.
题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知
2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．
【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得
a−b+c=84a+2b+c=−1c=3 ，
解得 a=1b=−4c=3 ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
【解析】【分析】把三个点的坐标分别代入解析式得三元一次方程组，解方程组便可得出a、b、c的值，进而得解析式．
【变式2-1】已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函数表达式．
【答案】解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，
把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则
a−b+c=09a+3b+c=0c=3 ，
解得： a=−1b=2c=3 ，
∴二次函数的表达式为： y=−x2+2x+3 .
【解析】【分析】设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即可求出表达式.
【变式2-2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
a+b+c=0c=−54a+2b+c=3
解得 a=−1b=6c=−5
所以，所求函数的解析式为 y=−x2+6x−5 ．
y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4 ．
所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【解析】【分析】利用待定系数法将A、B、C的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x2+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.
题型3：顶点式求二次函数解析式
3.已知抛物线的顶点是 A（2，﹣3），且交 y 轴于点 B（0，5），求此抛物线的解析式.
【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），
∴可设抛物线解析式为 y=a（x﹣2）2﹣3， 将 B（0，5）代入，得 4a﹣3=5，
解得 a=2，
∴抛物线的解析式为 y=2（x﹣2）2﹣3 化为一般式为
y=2x2﹣8x+5
【解析】【分析】 利用抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），可设抛物线顶点式y=a（x﹣2）2﹣3，将 B（0，5）代入解析式中，求出a值即可.
【变式3-1】已知二次函数的顶点坐标为 (1,4) ，且经过点 (−1,0) ，设二次函数图象与y轴交于点A，求点A的坐标.
【答案】解：∵二次函数的顶点坐标为 (1,4)
∴设其解析式为： y=a(x−1)2+4 .
∵函数经过点 (−1,0) ，
∴0=4a+4 ，
∴a=−1 ，
∴y=−(x−1)2+4 .
令 x=0 得： y=−1+4=3
∴点A的坐标为： (0,3) .
【解析】【分析】设函数的顶点式，将点 (−1,0) 代入，求出二次函数解析式，再令 x=0 ，求得对应的y值，则可得点A的坐标.
【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0 ，
解得 x1=3 ， x2=−1 .
所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.
【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.
题型4：交点式求二次函数解析式
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3
【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
【变式4-1】已知抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0），与y轴的交点为（0,2），求此抛物线的解析式．并说出此抛物线的开口方向，对称轴，和顶点坐标．
【答案】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5）
把（0，2）代入得a= −25
∴抛物线的解析式为 y=−25(x+1)(x−5)=−25x2+85x+2
∴y=−25x2+85x+2=−25(x2−4x)+2=−25(x−2)2+185
∴抛物线开口向下，对称轴x=2，顶点坐标（2， 185 ）．
【解析】【分析】利用待定系数法求抛物线解析式即可，再将一般式化为顶点式，根据解析式求解即可。
【变式4-2】如图所示，已知二次函数的图象经过点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) .当 x=4 时，求函数值.
【答案】解：设该二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c ，
把点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) 代入解析式，可得：
a−b+c=025a+5b+c=0c=−1 ，
解得 a=15b=−45c=−1 ，
∴该二次函数的解析式为 y=15x2−45x−1 ，
当 x=4 时， y=15×42−45×4−1=−1 .
【解析】【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将（-1，0）、（5，0）、（0，-1）代入求出a、b、c，据此可得二次函数的解析式，然后令x=4，求出y的值即可.
题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质
5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)代入，
得0=a−b+c−3=c12=9a+3b+c，解得：a=2b=−1c=−3，
∴抛物线解析式为y=2x2−x−3，
∵y=2x2−x−3=2(x−14)2−258，
∴顶点D的坐标为(14，−258)
（2）解：∵抛物线y=2x2−x−3的对称轴为直线x=−−12×2=14，
∴N(1，y2)关于直线x=14的对称点为(−12，−2)，
∵M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，且y1≤y2，
∴−12≤x1≤1．
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入可得a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式，将抛物线解析式化为顶点式可得顶点D的坐标；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=14，求出点N关于对称轴的对称点，结合抛物线的增减性可得x1的范围.
【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
【答案】（1）解：（2，﹣2）
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2，即抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+2．
【解析】【解答】（1）把x=2代入y=﹣2x+2得：y=﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
【分析】（1）先求出y=﹣2，再求点的坐标即可；
（2）根据顶点坐标先求出 抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2， 再求函数解析式即可。
【变式5-2】已知抛物线的顶点坐标为（－1，2），与y轴交于点（0， 32 ）
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点P（2，－ 52 ）是否落在抛物线上，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（－1，2），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+2，
将（0， 32 ）代入得，a=- 12 ，
∴抛物线的解析式为y=- 12 （x+1）2+2；
（2）解：将P的横坐标x=2代入抛物线，则y=- 52 ，
所以P点落在抛物线上.
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+2，将点（0，32）代入可得a，据此可得抛物线的解析式；
（2）将x=2代入抛物线中求出y，据此判断.
题型6：综合-待定系数法求最短距离
6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【答案】（1）解：将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：1a(−2−2)(−2+a)=−2，
解得：a=4．
（2）解：①由（1）抛物线解析式y=14(x−2)(x+4)，
当y=0时，得：14(x−2)(x+4)=0，解得：x1=2，x2=−4．
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0）．
当x=0时，得：y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
∴S△BCE=12×6×2=6．
②∵y=14(x−2)(x+4)=14x2+12x−2=14(x+1)2−94，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．
连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：
−4k+b=0b=−2，解得：k=−12b=−2．
∴直线BE解析式为y=−12x−2．
将x=﹣1代入得：y=12−2=−32，
∴H（﹣1，−32）．
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入函数解析式求出a的值即可；
（2）①先求出 B（﹣4，0），C（2，0），再利用三角形的面积公式求解即可；
②先求出抛物线对称轴为直线x=﹣1，再求出直线BE解析式为y=−12x−2，最后求出H点的坐标即可。
【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得， 1−b+c=0b2=2 ，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3
（2）解：∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
3k+b=0b=3 ，
解得，k=﹣1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【解析】【分析】（1）由图像过点A（1，0）、对称轴是x=2，列出b、c的方程组即可求解；
（2）先根据抛物线的对称性可知点A关于对称轴的对称点C（3，0），连接BC与对称轴的交点即为P点，再运用待定系数法求出直线BC的解析式，即可求出P点坐标。
题型7：综合-三角形面积
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积。
【答案】（1）解：把B（-2，6），C（2，2）两点坐标代入得 4a−2b+2＝64a+2b+2＝2 ，
解这个方程组，得 a＝12b＝−1 ，
∴抛物线的解析式为y= 12 x2-x+2
（2）解：令x=0，则y=2
∴D(0，2)
∴△BCD的面积= 12 ×4×2=4
【解析】【分析】（1）将B点和C点两点的坐标代入到函数的解析式中即可求得二次函数的解析式；
（2）由已知可知点B与点C在同一条直线上，且与x轴平行，过点B做出CD的垂线，求出垂线段的长度即为三角形BCD的高，就可以求出三角形BCD的面积。
【变式7-1】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)根据题意，得a−b+3=09a+3b+3=0，解得a=−1b=2∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积＝S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=12AO·BO+12(BO+DF)·OF+12EF·DF=12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4=9；
【解析】【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．
【变式7-2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： a+k=04a+k=6 ，
解得： a=2k=−2 ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝ 12×2×2+12×2×6 ＝8.
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
【分析】根据二次函数的性质，把x＝﹣3，y＝﹣3分别代入x＝﹣与y＝中，计算a，b的值即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解二次函数解析式的方法进行计算是解决本题的关键．
2．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
【分析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解；
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k
3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2 D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y＝ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到：，
解得：，
则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：C．
【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．
4．已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【分析】】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
5．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣x2﹣x+2
C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2
【分析】设其解析式为交点式得到y＝a（x2﹣x﹣2），对比各个选项即可判断．
【解答】解：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到y＝a（x2﹣x﹣2）的形式，而D选项中a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是开放性题目．交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
二．填空题（共3小题）
6．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣5，0） ．
【分析】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
7．小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式： y＝﹣x2+4x+3 ．
【分析】从表格中找三组x，y的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可．
【解答】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x2+4x+3，
故答案为：y＝﹣x2+4x+3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．已知二次函数的图象如图所示．
（1）这个二次函数的解析式是 y＝x2﹣2x ；
（2）根据图象回答：当 x＜0或x＞2 时，y＞0．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合法结合二次函数的图象解答即可．
【解答】解：（1）由图象可知：抛物线的顶点为（1，﹣1），经过点（0，0），（2，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∴（2﹣1）2a﹣1＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
故答案为：y＝x2﹣2x；
（2）由图象可知：抛物线位于x轴上方的有两部分，对应的y＞0，此时x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时，y＞0．
故答案为：x＜0或x＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
9．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．已知一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝x2相同，它的顶点坐标是P（2，﹣2）．
（1）求出此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边），求△PAB的面积．
【分析】（1）由题意，一条抛物线的形状与抛物线y＝x2相同，它的顶点坐标是P（2﹣2），用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）先求得A、B的坐标，再得出AB的长，进而根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝x2相同，它的顶点坐标是P（2，﹣2），
∴这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2．
（2）令y＝0则（x﹣2）2﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
∴AB＝4．
∴△PAB的面积＝×4×2＝4．
【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了交点坐标和三角形的面积．
11．如图，已知抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当﹣1≤x≤t时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．
【分析】（1）将点（3，0），（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中得出b，c的值即可求出解析式，再用配方法将解析式配成顶点式即可求出顶点坐标，
（2）由函数的顶点坐标可求出当x＝1时有最小值，再根据函数的最大值与最小值的差为9，即可求出符合条件的t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
将（3，0）和（0，﹣3）代入得，
解得，
则抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
配成顶点式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＝1时，y最小值＝﹣4，
∴当﹣1＜t≤3时，
当x＝﹣1或3时，y最大值＝0，
∴此时最大值与最小值的差为：0﹣（﹣4）＝4＜9，
∴要满足条件必有t＞3，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，
当x＝t时，，
则有t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝9
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4，
∴t的值为4．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点及其性质，二次函数的最值问题．
12．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
【分析】（1）把（3，0）代入y＝x2﹣4x+c，利用待定系数法即可求得；
（2）平移后P'（4，n+2），代入二次函数解析式得到关于n的方程，解方程即可求得n．
【解答】解：（1）把点（3，0）代入y＝x2﹣4x+c得：9﹣12+c＝0，
解得c＝3，
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'（4，n+2），
把点P′代入y＝x2﹣4x+3中可得n+2＝16﹣16+3，
解得n＝1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求二次函数的解析式；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能用含n的代数式表示P′的坐标是解题的关键．
13．如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0），请回答下列问题．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标；
（3）求△ABD的面积？
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，然后把点A的坐标代入求a的值；
（2）根据点C的横坐标为零解答；
（3）由抛物线的轴对称性质得到点B的坐标，然后由三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2+4．
解得a＝﹣1．
故该抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是y＝﹣x2+2x+3．
令x＝0，则y＝3．
故C（0，3）；
（3）由抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）知，点A、B关于直线x＝1对称，故B（3，0）．
所以AB＝4．
所以S△ABD＝•AB•yD＝＝8．
即△ABD的面积是8．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法确定函数关系式等知识点，难度不大，解题的技巧性在于巧妙的设出抛物线的顶点式解析式．
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象过A（2，0），和C（4，5）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ACD的面积；如图，
【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣1，把A（2，0），和C（4，5）两点坐标代入解析式，解方程组即可．
（2）首先求出点D坐标，求出直线CD与二次函数的解析式的交点C（4，5），利用面积计算即可．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣1，
把A（2，0），和C（4，5）两点坐标代入解析式得到：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1．
（2）对于抛物线y＝x2﹣x﹣1，
令y＝0，得x2﹣x﹣1＝0，
解得x＝2或﹣1，
∴另一个交点为D坐标为（﹣1，0），AD＝3．
∵直线CD的解析式为y＝x+1，
联立方程组得，
解得：或（舍）．
则C（ 4，5）．
S△ACD＝×3×5＝．
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用好图象，解决实际问题，属于中考常考题型
22.1.5待定系数法求二次函数解析式
二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知
1.若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
【变式1-1】已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式.
【答案】解： ∵二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），
∴4a+c=8a+c=5，解得：a=1c=4.
∴二次函数的表达式为y=x2+4.
【解析】【分析】根据已知的两点坐标分别代入二次函数y=ax2+c ，得出关于a、c的二元一次方程组，求解即可得出a、c的值，从而即可求二次函数解析式即可.
【变式1-2】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）。求抛物线的表达式及点B的坐标。
【答案】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），C（0，-3）
∴1−b+c=0，c=−3.解得b=−2c=−3
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
当x2-2x-3=0时，解得x1=-1，x2=3，
∵点A的坐标为（-1.0），
∴点B的坐标为（3，0）.
【解析】【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案.
题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知
2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．
【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得
a−b+c=84a+2b+c=−1c=3 ，
解得 a=1b=−4c=3 ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
【解析】【分析】把三个点的坐标分别代入解析式得三元一次方程组，解方程组便可得出a、b、c的值，进而得解析式．
【变式2-1】已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函数表达式．
【答案】解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，
把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则
a−b+c=09a+3b+c=0c=3 ，
解得： a=−1b=2c=3 ，
∴二次函数的表达式为： y=−x2+2x+3 .
【解析】【分析】设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即可求出表达式.
【变式2-2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
a+b+c=0c=−54a+2b+c=3
解得 a=−1b=6c=−5
所以，所求函数的解析式为 y=−x2+6x−5 ．
y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4 ．
所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【解析】【分析】利用待定系数法将A、B、C的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x2+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.
题型3：顶点式求二次函数解析式
3.已知抛物线的顶点是 A（2，﹣3），且交 y 轴于点 B（0，5），求此抛物线的解析式.
【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），
∴可设抛物线解析式为 y=a（x﹣2）2﹣3， 将 B（0，5）代入，得 4a﹣3=5，
解得 a=2，
∴抛物线的解析式为 y=2（x﹣2）2﹣3 化为一般式为
y=2x2﹣8x+5
【解析】【分析】 利用抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），可设抛物线顶点式y=a（x﹣2）2﹣3，将 B（0，5）代入解析式中，求出a值即可.
【变式3-1】已知二次函数的顶点坐标为 (1,4) ，且经过点 (−1,0) ，设二次函数图象与y轴交于点A，求点A的坐标.
【答案】解：∵二次函数的顶点坐标为 (1,4)
∴设其解析式为： y=a(x−1)2+4 .
∵函数经过点 (−1,0) ，
∴0=4a+4 ，
∴a=−1 ，
∴y=−(x−1)2+4 .
令 x=0 得： y=−1+4=3
∴点A的坐标为： (0,3) .
【解析】【分析】设函数的顶点式，将点 (−1,0) 代入，求出二次函数解析式，再令 x=0 ，求得对应的y值，则可得点A的坐标.
【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0 ，
解得 x1=3 ， x2=−1 .
所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.
【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.
题型4：交点式求二次函数解析式
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3
【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
【变式4-1】已知抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0），与y轴的交点为（0,2），求此抛物线的解析式．并说出此抛物线的开口方向，对称轴，和顶点坐标．
【答案】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5）
把（0，2）代入得a= −25
∴抛物线的解析式为 y=−25(x+1)(x−5)=−25x2+85x+2
∴y=−25x2+85x+2=−25(x2−4x)+2=−25(x−2)2+185
∴抛物线开口向下，对称轴x=2，顶点坐标（2， 185 ）．
【解析】【分析】利用待定系数法求抛物线解析式即可，再将一般式化为顶点式，根据解析式求解即可。
【变式4-2】如图所示，已知二次函数的图象经过点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) .当 x=4 时，求函数值.
【答案】解：设该二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c ，
把点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) 代入解析式，可得：
a−b+c=025a+5b+c=0c=−1 ，
解得 a=15b=−45c=−1 ，
∴该二次函数的解析式为 y=15x2−45x−1 ，
当 x=4 时， y=15×42−45×4−1=−1 .
【解析】【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将（-1，0）、（5，0）、（0，-1）代入求出a、b、c，据此可得二次函数的解析式，然后令x=4，求出y的值即可.
题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质
5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)代入，
得0=a−b+c−3=c12=9a+3b+c，解得：a=2b=−1c=−3，
∴抛物线解析式为y=2x2−x−3，
∵y=2x2−x−3=2(x−14)2−258，
∴顶点D的坐标为(14，−258)
（2）解：∵抛物线y=2x2−x−3的对称轴为直线x=−−12×2=14，
∴N(1，y2)关于直线x=14的对称点为(−12，−2)，
∵M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，且y1≤y2，
∴−12≤x1≤1．
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入可得a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式，将抛物线解析式化为顶点式可得顶点D的坐标；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=14，求出点N关于对称轴的对称点，结合抛物线的增减性可得x1的范围.
【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
【答案】（1）解：（2，﹣2）
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2，即抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+2．
【解析】【解答】（1）把x=2代入y=﹣2x+2得：y=﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
【分析】（1）先求出y=﹣2，再求点的坐标即可；
（2）根据顶点坐标先求出 抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2， 再求函数解析式即可。
【变式5-2】已知抛物线的顶点坐标为（－1，2），与y轴交于点（0， 32 ）
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点P（2，－ 52 ）是否落在抛物线上，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（－1，2），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+2，
将（0， 32 ）代入得，a=- 12 ，
∴抛物线的解析式为y=- 12 （x+1）2+2；
（2）解：将P的横坐标x=2代入抛物线，则y=- 52 ，
所以P点落在抛物线上.
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+2，将点（0，32）代入可得a，据此可得抛物线的解析式；
（2）将x=2代入抛物线中求出y，据此判断.
题型6：综合-待定系数法求最短距离
6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【答案】（1）解：将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：1a(−2−2)(−2+a)=−2，
解得：a=4．
（2）解：①由（1）抛物线解析式y=14(x−2)(x+4)，
当y=0时，得：14(x−2)(x+4)=0，解得：x1=2，x2=−4．
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0）．
当x=0时，得：y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
∴S△BCE=12×6×2=6．
②∵y=14(x−2)(x+4)=14x2+12x−2=14(x+1)2−94，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．
连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：
−4k+b=0b=−2，解得：k=−12b=−2．
∴直线BE解析式为y=−12x−2．
将x=﹣1代入得：y=12−2=−32，
∴H（﹣1，−32）．
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入函数解析式求出a的值即可；
（2）①先求出 B（﹣4，0），C（2，0），再利用三角形的面积公式求解即可；
②先求出抛物线对称轴为直线x=﹣1，再求出直线BE解析式为y=−12x−2，最后求出H点的坐标即可。
【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得， 1−b+c=0b2=2 ，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3
（2）解：∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
3k+b=0b=3 ，
解得，k=﹣1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【解析】【分析】（1）由图像过点A（1，0）、对称轴是x=2，列出b、c的方程组即可求解；
（2）先根据抛物线的对称性可知点A关于对称轴的对称点C（3，0），连接BC与对称轴的交点即为P点，再运用待定系数法求出直线BC的解析式，即可求出P点坐标。
题型7：综合-三角形面积
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积。
【答案】（1）解：把B（-2，6），C（2，2）两点坐标代入得 4a−2b+2＝64a+2b+2＝2 ，
解这个方程组，得 a＝12b＝−1 ，
∴抛物线的解析式为y= 12 x2-x+2
（2）解：令x=0，则y=2
∴D(0，2)
∴△BCD的面积= 12 ×4×2=4
【解析】【分析】（1）将B点和C点两点的坐标代入到函数的解析式中即可求得二次函数的解析式；
（2）由已知可知点B与点C在同一条直线上，且与x轴平行，过点B做出CD的垂线，求出垂线段的长度即为三角形BCD的高，就可以求出三角形BCD的面积。
【变式7-1】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)根据题意，得a−b+3=09a+3b+3=0，解得a=−1b=2∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积＝S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=12AO·BO+12(BO+DF)·OF+12EF·DF=12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4=9；
【解析】【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．
【变式7-2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： a+k=04a+k=6 ，
解得： a=2k=−2 ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝ 12×2×2+12×2×6 ＝8.
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
【分析】根据二次函数的性质，把x＝﹣3，y＝﹣3分别代入x＝﹣与y＝中，计算a，b的值即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解二次函数解析式的方法进行计算是解决本题的关键．
2．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
【分析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解；
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k
3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2 D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y＝ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到：，
解得：，
则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：C．
【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．
4．已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【分析】】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
5．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣x2﹣x+2
C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2
【分析】设其解析式为交点式得到y＝a（x2﹣x﹣2），对比各个选项即可判断．
【解答】解：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到y＝a（x2﹣x﹣2）的形式，而D选项中a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是开放性题目．交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
二．填空题（共3小题）
6．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣5，0） ．
【分析】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
7．小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式： y＝﹣x2+4x+3 ．
【分析】从表格中找三组x，y的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可．
【解答】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x2+4x+3，
故答案为：y＝﹣x2+4x+3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．已知二次函数的图象如图所示．
（1）这个二次函数的解析式是 y＝x2﹣2x ；
（2）根据图象回答：当 x＜0或x＞2 时，y＞0．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合法结合二次函数的图象解答即可．
【解答】解：（1）由图象可知：抛物线的顶点为（1，﹣1），经过点（0，0），（2，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∴（2﹣1）2a﹣1＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
故答案为：y＝x2﹣2x；
（2）由图象可知：抛物线位于x轴上方的有两部分，对应的y＞0，此时x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时，y＞0．
故答案为：x＜0或x＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
9．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．已知一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝x2相同，它的顶点坐标是P（2，﹣2）．
（1）求出此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边），求△PAB的面积．
【分析】（1）由题意，一条抛物线的形状与抛物线y＝x2相同，它的顶点坐标是P（2﹣2），用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）先求得A、B的坐标，再得出AB的长，进而根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝x2相同，它的顶点坐标是P（2，﹣2），
∴这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2．
（2）令y＝0则（x﹣2）2﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
∴AB＝4．
∴△PAB的面积＝×4×2＝4．
【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了交点坐标和三角形的面积．
11．如图，已知抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当﹣1≤x≤t时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．
【分析】（1）将点（3，0），（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中得出b，c的值即可求出解析式，再用配方法将解析式配成顶点式即可求出顶点坐标，
（2）由函数的顶点坐标可求出当x＝1时有最小值，再根据函数的最大值与最小值的差为9，即可求出符合条件的t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
将（3，0）和（0，﹣3）代入得，
解得，
则抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
配成顶点式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＝1时，y最小值＝﹣4，
∴当﹣1＜t≤3时，
当x＝﹣1或3时，y最大值＝0，
∴此时最大值与最小值的差为：0﹣（﹣4）＝4＜9，
∴要满足条件必有t＞3，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，
当x＝t时，，
则有t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝9
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4，
∴t的值为4．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点及其性质，二次函数的最值问题．
12．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
【分析】（1）把（3，0）代入y＝x2﹣4x+c，利用待定系数法即可求得；
（2）平移后P'（4，n+2），代入二次函数解析式得到关于n的方程，解方程即可求得n．
【解答】解：（1）把点（3，0）代入y＝x2﹣4x+c得：9﹣12+c＝0，
解得c＝3，
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'（4，n+2），
把点P′代入y＝x2﹣4x+3中可得n+2＝16﹣16+3，
解得n＝1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求二次函数的解析式；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能用含n的代数式表示P′的坐标是解题的关键．
13．如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0），请回答下列问题．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标；
（3）求△ABD的面积？
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，然后把点A的坐标代入求a的值；
（2）根据点C的横坐标为零解答；
（3）由抛物线的轴对称性质得到点B的坐标，然后由三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2+4．
解得a＝﹣1．
故该抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是y＝﹣x2+2x+3．
令x＝0，则y＝3．
故C（0，3）；
（3）由抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）知，点A、B关于直线x＝1对称，故B（3，0）．
所以AB＝4．
所以S△ABD＝•AB•yD＝＝8．
即△ABD的面积是8．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法确定函数关系式等知识点，难度不大，解题的技巧性在于巧妙的设出抛物线的顶点式解析式．
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象过A（2，0），和C（4，5）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ACD的面积；如图，
【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣1，把A（2，0），和C（4，5）两点坐标代入解析式，解方程组即可．
（2）首先求出点D坐标，求出直线CD与二次函数的解析式的交点C（4，5），利用面积计算即可．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣1，
把A（2，0），和C（4，5）两点坐标代入解析式得到：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1．
（2）对于抛物线y＝x2﹣x﹣1，
令y＝0，得x2﹣x﹣1＝0，
解得x＝2或﹣1，
∴另一个交点为D坐标为（﹣1，0），AD＝3．
∵直线CD的解析式为y＝x+1，
联立方程组得，
解得：或（舍）．
则C（ 4，5）．
S△ACD＝×3×5＝．
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用好图象，解决实际问题，属于中考常考题型
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