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22.1.4 二次函数 y=ax2 +bx+c的图像和性质（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷）
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这是一份22.1.4 二次函数 y=ax2 +bx+c的图像和性质（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷），文件包含九年级数学上册2214二次函数yax2+bx+c的图像和性质原卷版-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx、九年级数学上册2214二次函数yax2+bx+c的图像和性质解析版-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
22.1.4 二次函数 y=ax2 +bx+c的图像和性质
题型导航
二
次
函
数
二次函数的图像和性质
题型1
二次函数的图像与各项系数符号问题
题型2
待定系数法求二次函数解析式
题型3
二次函数图像的平移
题型4
一次函数与二次函数综合问题
题型5
利用二次函数的对称性求最短路径
题型6
题型变式
【题型1】二次函数的图像和性质
1．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
【变式1-1】
2．（2022·浙江温州·模拟预测）若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．
【详解】
过点，
是抛物线的对称轴．
抛物线与x轴只有一个交点．
顶点坐标为：
设抛物线的解析式为：
把代入，得：
解得：．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶点坐标设解析式．
【题型2】二次函数的图像与各项系数符号问题
1．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有______．（填序号）
①；②；③；④若当时，，则有．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据开口方向确定的正负，根据对称轴的位置确定的正负，根据抛物线与轴的交点确定的正负，由此判断①；由抛物线的对称轴为可求得与的等量关系，由此判断②；根据与时函数值的正负判断③；由与时的函数值正负求出的取值范围，由此判断④．
【详解】
解：抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴，
，，，
，，，
，①错误；
抛物线的对称轴为直线，
，即，
，②正确；
由图可知，当时，，当时，，
，即，
，③错误；
若当时，，则，
又，
该抛物线的表达式为，
由图可知，当时，；当时，．
，解得，④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，．⑥；其中正确的结论有________．
【答案】②⑤⑥
【解析】
【分析】
根据对称轴在轴的右侧，与轴相交在正半轴，可判定①；
由顶点坐标即可判断②；
由即可判断③；
由抛物线与轴有两个交点即可判断④；
有抛物线与轴交点的横坐标即可判断⑤；
由对称轴方程得到，由时函数值为即可判断⑥．
【详解】
解：二次函数对称轴在轴的右侧，与轴相交在正半轴，，故①不正确；
二次函数的图象的对称轴为直线，
顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为，
故②正确；
抛物线过，
时，，即，
故③不正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
故④正确；
对称轴为直线，，
，
有图象可知，时，，
故⑤正确；
，即，
而时，，即，
，
，
故⑥正确，
故答案为：②⑤⑥．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型3】待定系数法求二次函数的解析式
1．（2022·山东德州·二模）已知，y与x的部分对此值如下表：
x
……
－2
－1
0
2
……
y
……
－3
－4
－3
5
……
则一元二次方程的解为__________．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据题意将，，代入，列出方程组，求出、、，再求解方程．
【详解】
解：依题意有：将，，代入，
得：，
解得：，
，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求解一元二次方程，解题的关键是利用待定系数法求解出解析式．
【变式3-1】
2．（2022·安徽·三模）已知抛物线，其中为实数．
（1）若抛物线经过点，则________；
（2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为________．
【答案】 4
【解析】
【分析】
（1）将点（1,4）代入解析式求解即可；
（2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可．
【详解】
解：（1）将点（1,4）代入解析式可得：
4=a+b-a，
解得b=4，
故答案是：4；
（2）将代入抛物线，
可得，则，
∵抛物线与线段BC有交点，
∴在对称轴上，在对称轴右侧．
当时，如图所示：
，无解；
当时，如图所示：
，
解得，
故答案为：①4；②．
【点睛】
题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【题型4】二次函数图像的平移
1．（2022·山西大同·二模）把函数的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图像平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】
解：∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
∴把函数y=x2−2x+3y的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为：y=[(x−1)+1]2+2=x2+2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练掌握图像平移时函数表达式的变化特点．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·东海县教育局教研室二模）把抛物线的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图像的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”进行分析即可．
【详解】
解：将抛物线的图象向右平移个单位，得到函数的图象，再向上平移个单位，得到函数的图象．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数图象的平移变换，熟练掌握函数图象的平移规则是解题的关键．
【题型5】一次函数与二次函数综合问题
1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，直线y＝kx＋h和抛物线交于、两点，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象直线在抛物线上方的部分即可得出答案．
【详解】
解：由知，
即图象上直线在抛物线上方的部分，
由图象可知x的取值范围，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数与不等式的关系，关键是要会把数和形有机结合．
【变式5-1】
2．（2021·河南许昌·九年级期中）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A、B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标为6则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＜0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax²（a≠0）的函数值都随着x的增大而减小；③AB的长度可以等于8；④△OAB不可能成为等边三角形；⑤当﹣6＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是 _____．（填序号）
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】
①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b当y的值随的x的增大而增大，抛物线当x大于0时y的值随的x的增大而增大，本选项错误；
③AB长不可能为8，由A、B的横坐标求出AB为8时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④△OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等，本选项正确；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-6与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
【详解】
解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：一次函数y=kx+b当y的值随的x的增大而增大；
抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项错误；
③由A、B横坐标分别为-2，6，若AB=8，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为8，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项正确；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-6，2，
由图象可得：当-6＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，本选项正确；
则正确的结论有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．
【题型6】利用二次函数的对称性求最短路径
1．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=，
∴四边形EDFG的周长的最小值为：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
【变式6-1】
2．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．
【答案】(2，)##
【解析】
【分析】
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【详解】
解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x=（1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线BC的表达式为y=-x+5，
当x=2时，y=-x+5=，
故点M的坐标为（2，）．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线图象性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
【详解】
∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.
2．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】
二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
3．（2020·浙江温州·九年级阶段练习）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①4a + 2b + c > 0 ；②y随x的增大而增大；③方程ax2 + bx + c = 0两根之和小于零；④一次函数y = ax + bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象可知x=2时，函数值的正负性；并且可知与x轴有两个交点，即对应方程有两个实数根；函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；由函数的图象还可知b、c的正负性，一次函数y=ax+bc所经过的象限进而可知正确选项．
【详解】
∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值为正，即4a+2b+c＞0，故①正确；
∵因为抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故②错误；
∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根，且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零，故③错误；
∵由图象开口向上，知a＞0，与y轴交于负半轴，知c＜0，由对称轴，知b＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y=ax+bc的图象一定经过第二象限，故④错误；
综上，正确的个数为1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的图象，利用了数形结合的思想，此类题涉及的知识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键．
4．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为，
故选B
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
6．（2021·江苏苏州·一模）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1，即可得到−≥−1，从而求解．
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点，
∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣≥﹣1，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·广东·九年级专题练习）二次函数的图象开口向下，则m__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象开口向下可得，求解即可．
【详解】
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟知一元二次方程，开口向上；，开口向下是解本题的关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为_____．
【答案】﹣1＜x＜3．
【解析】
【分析】
根据图象直接可以得出答案
【详解】
如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象中可以看出
函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜3
【点睛】
此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键
9．（2021·山东菏泽·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
10．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-4
-3
-4
-7
-12
…
则该图象的对称轴是___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
【详解】
解：由表格可得，当x取-3和-1时，y值相等，
该函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．
11．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
12．（2018·全国·九年级单元测试）小亮同学在探究一元二次方程的近似解时，填好了下面的表格：
根据以上信息请你确定方程的一个解的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．
【详解】
根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24
本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是根据表格求出一元二次方程的近似根.
三、解答题
13．（2021·广东·华南师大附中九年级阶段练习）已知抛物线．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，），N（2，）在该抛物线上，若＞，求m的取值范围．
【答案】（1）直线x=-1；（2）或；（3）当a＞0时，m＜－4或m＞2；当a＜0时，－4＜m＜2．
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．
（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（3）分类讨论当a＞0时和a＜0时二次函数的性质，即可求出m的取值范围．
【详解】
（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴．
故答案为：．
（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为，
∴顶点坐标为(-1，0)．
将顶点坐标代入二次函数解析式得：，
整理得：，
解得：．
∴抛物线解析式为或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝-1，
∴N(2，y2)关于直线x＝-1的对称点为(-4，y2)．
根据二次函数的性质分类讨论．
（ⅰ）当a＞0时，抛物线开口向上，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，则m＜-4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，抛物线开口向下，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，则－4＜m＜2．
【点睛】
本题为二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
14．（2019·全国·九年级单元测试）已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐标.
【答案】(1)-1;(2) (0，－3)与(2，－3).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点的纵坐标是−2，可以求得m的值；
（2）根据当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，可以求得这两个定点的坐标．
【详解】
解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，
∴－m－3＝－2，
解得m＝－1，
即m的值是－1；
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
15．（2021·河南新乡·一模）二次函数与轴分别交于点和点，与轴交于点，直线的解析式为，轴交直线于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与抛物线及直线分别交于点、．直线与直线交于点，当时，求值．
【答案】（1）；（2）的值为，，．
【解析】
【分析】
（1）由直线BC求出B、C的坐标，再代入二次函数的解析式，求出b、c的值，得出二次函数的解析式；
（2）用含有m的代数式表示点E和点F的坐标，用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出m的值.
【详解】
（1）直线的解析式
点，点
和在抛物线上
，解得：
二次函数的解析式为：
（2）二次函数与轴交于点、
点
轴交直线于点
点
轴，轴
,
轴交直线于点，点
点的坐标为，点的坐标为
①若点在原点右侧，如图1，则,
即，解得：，；
②若点在原点左侧，如图2，则
即，解得：，（舍去）；
综上所述，的值为，，．
【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是本题的解题关键，解题时结合一次函数的性质，利用相似三角形的性质列方程，灵活应用函数图像上点的坐标特征.
16．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线上一点．
①在抛物线的对称轴上，求作一点，使得的周长最小，并写出点的坐标；
②连接并延长，过抛物线上一点（点不与点重合）作轴，垂足为，与射线交于点，是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，点的坐标为；②存在；点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）由，得到A（-2,0），C（3,0），即可写出抛物线的交点式.
（2）①因为关于对称轴对称，所以，由两点之间线段最短，知连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，先用待定系数法求出解析式，将对称轴代入得到点坐标.
②设点，根据抛物线的解析式、直线的解析式，写出Q、M的坐标，分当在上方、下方两种情况，列关于m的方程，解出并取大于-2的解，即可写出的坐标.
【详解】
（1）∵，，
结合图象，得A（-2,0），C（3,0），
∴抛物线可表示为：，
∴抛物线的表达式为；
（2）①∵关于对称轴对称，
∴,
∴连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求.
将点，的坐标代入一次函数表达式，
得直线的函数表达式为.
抛物线的对称轴为直线，
当时，,
故点的坐标为；
②存在；设点，则，.
当在上方时，
，，，解得（舍）或；
当在下方时，
，，，解得（舍）或，
综上所述，的值为或5，
点的坐标为或.
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握待定系数法求解析式、最短路径问题是解题的基础，动点问题中分类讨论与数形结合转化为方程问题是解题的关键.
17．（2021·河南驻马店·二模）如图所示，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；（2）存在，当时，面积最大为16，此时点点坐标为．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法解答便可；
（2）设点的坐标为，连结、、．根据对称性求出点B的坐标，根据得到二次函数关系式，最后配方求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过点，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴可设抛物线为．
∵抛物线过点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为，即．
（2）存在，设点的坐标为，连结、、．
∵点A、关于直线对称，且
∴．
∴
．
∵
∴当时，面积最大为16，此时点点坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形面积公式以及二次函数的最值求法，根据图形得出由此得出二次函数关系式是解答此题的关键．
18．（2021·全国·九年级专题练习）如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
【详解】
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点睛】
本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．
2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
22.1.4 二次函数 y=ax2 +bx+c的图像和性质
题型导航
二
次
函
数
二次函数的图像和性质
题型1
二次函数的图像与各项系数符号问题
题型2
待定系数法求二次函数解析式
题型3
二次函数图像的平移
题型4
一次函数与二次函数综合问题
题型5
利用二次函数的对称性求最短路径
题型6
题型变式
【题型1】二次函数的图像和性质
1．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
【变式1-1】
2．（2022·浙江温州·模拟预测）若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．
【详解】
过点，
是抛物线的对称轴．
抛物线与x轴只有一个交点．
顶点坐标为：
设抛物线的解析式为：
把代入，得：
解得：．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶点坐标设解析式．
【题型2】二次函数的图像与各项系数符号问题
1．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有______．（填序号）
①；②；③；④若当时，，则有．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据开口方向确定的正负，根据对称轴的位置确定的正负，根据抛物线与轴的交点确定的正负，由此判断①；由抛物线的对称轴为可求得与的等量关系，由此判断②；根据与时函数值的正负判断③；由与时的函数值正负求出的取值范围，由此判断④．
【详解】
解：抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴，
，，，
，，，
，①错误；
抛物线的对称轴为直线，
，即，
，②正确；
由图可知，当时，，当时，，
，即，
，③错误；
若当时，，则，
又，
该抛物线的表达式为，
由图可知，当时，；当时，．
，解得，④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，．⑥；其中正确的结论有________．
【答案】②⑤⑥
【解析】
【分析】
根据对称轴在轴的右侧，与轴相交在正半轴，可判定①；
由顶点坐标即可判断②；
由即可判断③；
由抛物线与轴有两个交点即可判断④；
有抛物线与轴交点的横坐标即可判断⑤；
由对称轴方程得到，由时函数值为即可判断⑥．
【详解】
解：二次函数对称轴在轴的右侧，与轴相交在正半轴，，故①不正确；
二次函数的图象的对称轴为直线，
顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为，
故②正确；
抛物线过，
时，，即，
故③不正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
故④正确；
对称轴为直线，，
，
有图象可知，时，，
故⑤正确；
，即，
而时，，即，
，
，
故⑥正确，
故答案为：②⑤⑥．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型3】待定系数法求二次函数的解析式
1．（2022·山东德州·二模）已知，y与x的部分对此值如下表：
x
……
－2
－1
0
2
……
y
……
－3
－4
－3
5
……
则一元二次方程的解为__________．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据题意将，，代入，列出方程组，求出、、，再求解方程．
【详解】
解：依题意有：将，，代入，
得：，
解得：，
，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求解一元二次方程，解题的关键是利用待定系数法求解出解析式．
【变式3-1】
2．（2022·安徽·三模）已知抛物线，其中为实数．
（1）若抛物线经过点，则________；
（2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为________．
【答案】 4
【解析】
【分析】
（1）将点（1,4）代入解析式求解即可；
（2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可．
【详解】
解：（1）将点（1,4）代入解析式可得：
4=a+b-a，
解得b=4，
故答案是：4；
（2）将代入抛物线，
可得，则，
∵抛物线与线段BC有交点，
∴在对称轴上，在对称轴右侧．
当时，如图所示：
，无解；
当时，如图所示：
，
解得，
故答案为：①4；②．
【点睛】
题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【题型4】二次函数图像的平移
1．（2022·山西大同·二模）把函数的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图像平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】
解：∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
∴把函数y=x2−2x+3y的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为：y=[(x−1)+1]2+2=x2+2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练掌握图像平移时函数表达式的变化特点．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·东海县教育局教研室二模）把抛物线的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图像的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”进行分析即可．
【详解】
解：将抛物线的图象向右平移个单位，得到函数的图象，再向上平移个单位，得到函数的图象．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数图象的平移变换，熟练掌握函数图象的平移规则是解题的关键．
【题型5】一次函数与二次函数综合问题
1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，直线y＝kx＋h和抛物线交于、两点，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象直线在抛物线上方的部分即可得出答案．
【详解】
解：由知，
即图象上直线在抛物线上方的部分，
由图象可知x的取值范围，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数与不等式的关系，关键是要会把数和形有机结合．
【变式5-1】
2．（2021·河南许昌·九年级期中）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A、B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标为6则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＜0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax²（a≠0）的函数值都随着x的增大而减小；③AB的长度可以等于8；④△OAB不可能成为等边三角形；⑤当﹣6＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是 _____．（填序号）
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】
①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b当y的值随的x的增大而增大，抛物线当x大于0时y的值随的x的增大而增大，本选项错误；
③AB长不可能为8，由A、B的横坐标求出AB为8时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④△OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等，本选项正确；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-6与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
【详解】
解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：一次函数y=kx+b当y的值随的x的增大而增大；
抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项错误；
③由A、B横坐标分别为-2，6，若AB=8，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为8，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项正确；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-6，2，
由图象可得：当-6＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，本选项正确；
则正确的结论有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．
【题型6】利用二次函数的对称性求最短路径
1．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=，
∴四边形EDFG的周长的最小值为：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
【变式6-1】
2．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．
【答案】(2，)##
【解析】
【分析】
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【详解】
解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x=（1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线BC的表达式为y=-x+5，
当x=2时，y=-x+5=，
故点M的坐标为（2，）．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线图象性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
【详解】
∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.
2．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】
二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
3．（2020·浙江温州·九年级阶段练习）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①4a + 2b + c > 0 ；②y随x的增大而增大；③方程ax2 + bx + c = 0两根之和小于零；④一次函数y = ax + bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象可知x=2时，函数值的正负性；并且可知与x轴有两个交点，即对应方程有两个实数根；函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；由函数的图象还可知b、c的正负性，一次函数y=ax+bc所经过的象限进而可知正确选项．
【详解】
∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值为正，即4a+2b+c＞0，故①正确；
∵因为抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故②错误；
∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根，且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零，故③错误；
∵由图象开口向上，知a＞0，与y轴交于负半轴，知c＜0，由对称轴，知b＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y=ax+bc的图象一定经过第二象限，故④错误；
综上，正确的个数为1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的图象，利用了数形结合的思想，此类题涉及的知识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键．
4．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为，
故选B
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
6．（2021·江苏苏州·一模）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1，即可得到−≥−1，从而求解．
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点，
∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣≥﹣1，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·广东·九年级专题练习）二次函数的图象开口向下，则m__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象开口向下可得，求解即可．
【详解】
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟知一元二次方程，开口向上；，开口向下是解本题的关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为_____．
【答案】﹣1＜x＜3．
【解析】
【分析】
根据图象直接可以得出答案
【详解】
如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象中可以看出
函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜3
【点睛】
此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键
9．（2021·山东菏泽·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
10．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-4
-3
-4
-7
-12
…
则该图象的对称轴是___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
【详解】
解：由表格可得，当x取-3和-1时，y值相等，
该函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．
11．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
12．（2018·全国·九年级单元测试）小亮同学在探究一元二次方程的近似解时，填好了下面的表格：
根据以上信息请你确定方程的一个解的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．
【详解】
根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24
本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是根据表格求出一元二次方程的近似根.
三、解答题
13．（2021·广东·华南师大附中九年级阶段练习）已知抛物线．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，），N（2，）在该抛物线上，若＞，求m的取值范围．
【答案】（1）直线x=-1；（2）或；（3）当a＞0时，m＜－4或m＞2；当a＜0时，－4＜m＜2．
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．
（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（3）分类讨论当a＞0时和a＜0时二次函数的性质，即可求出m的取值范围．
【详解】
（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴．
故答案为：．
（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为，
∴顶点坐标为(-1，0)．
将顶点坐标代入二次函数解析式得：，
整理得：，
解得：．
∴抛物线解析式为或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝-1，
∴N(2，y2)关于直线x＝-1的对称点为(-4，y2)．
根据二次函数的性质分类讨论．
（ⅰ）当a＞0时，抛物线开口向上，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，则m＜-4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，抛物线开口向下，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，则－4＜m＜2．
【点睛】
本题为二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
14．（2019·全国·九年级单元测试）已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐标.
【答案】(1)-1;(2) (0，－3)与(2，－3).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点的纵坐标是−2，可以求得m的值；
（2）根据当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，可以求得这两个定点的坐标．
【详解】
解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，
∴－m－3＝－2，
解得m＝－1，
即m的值是－1；
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
15．（2021·河南新乡·一模）二次函数与轴分别交于点和点，与轴交于点，直线的解析式为，轴交直线于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与抛物线及直线分别交于点、．直线与直线交于点，当时，求值．
【答案】（1）；（2）的值为，，．
【解析】
【分析】
（1）由直线BC求出B、C的坐标，再代入二次函数的解析式，求出b、c的值，得出二次函数的解析式；
（2）用含有m的代数式表示点E和点F的坐标，用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出m的值.
【详解】
（1）直线的解析式
点，点
和在抛物线上
，解得：
二次函数的解析式为：
（2）二次函数与轴交于点、
点
轴交直线于点
点
轴，轴
,
轴交直线于点，点
点的坐标为，点的坐标为
①若点在原点右侧，如图1，则,
即，解得：，；
②若点在原点左侧，如图2，则
即，解得：，（舍去）；
综上所述，的值为，，．
【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是本题的解题关键，解题时结合一次函数的性质，利用相似三角形的性质列方程，灵活应用函数图像上点的坐标特征.
16．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线上一点．
①在抛物线的对称轴上，求作一点，使得的周长最小，并写出点的坐标；
②连接并延长，过抛物线上一点（点不与点重合）作轴，垂足为，与射线交于点，是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，点的坐标为；②存在；点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）由，得到A（-2,0），C（3,0），即可写出抛物线的交点式.
（2）①因为关于对称轴对称，所以，由两点之间线段最短，知连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，先用待定系数法求出解析式，将对称轴代入得到点坐标.
②设点，根据抛物线的解析式、直线的解析式，写出Q、M的坐标，分当在上方、下方两种情况，列关于m的方程，解出并取大于-2的解，即可写出的坐标.
【详解】
（1）∵，，
结合图象，得A（-2,0），C（3,0），
∴抛物线可表示为：，
∴抛物线的表达式为；
（2）①∵关于对称轴对称，
∴,
∴连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求.
将点，的坐标代入一次函数表达式，
得直线的函数表达式为.
抛物线的对称轴为直线，
当时，,
故点的坐标为；
②存在；设点，则，.
当在上方时，
，，，解得（舍）或；
当在下方时，
，，，解得（舍）或，
综上所述，的值为或5，
点的坐标为或.
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握待定系数法求解析式、最短路径问题是解题的基础，动点问题中分类讨论与数形结合转化为方程问题是解题的关键.
17．（2021·河南驻马店·二模）如图所示，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；（2）存在，当时，面积最大为16，此时点点坐标为．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法解答便可；
（2）设点的坐标为，连结、、．根据对称性求出点B的坐标，根据得到二次函数关系式，最后配方求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过点，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴可设抛物线为．
∵抛物线过点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为，即．
（2）存在，设点的坐标为，连结、、．
∵点A、关于直线对称，且
∴．
∴
．
∵
∴当时，面积最大为16，此时点点坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形面积公式以及二次函数的最值求法，根据图形得出由此得出二次函数关系式是解答此题的关键．
18．（2021·全国·九年级专题练习）如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
【详解】
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点睛】
本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．
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