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2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 2022年马鞍山市GDP位于全省第六，约为2520亿元，2520亿用科学记数法表示为( )
A. 252×109 B. 25.2×1010 C. 2.52×1011 D. 2.52×1012
3. 如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
4. a2⋅(−a3)的计算结果是( )
A. a6 B. −a6 C. a5 D. −a5
5. 如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2−∠1=( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
6. 某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的( )
A. 最高分 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
7. 关于x的方程x2−x−3=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2−x1⋅x2的值为( )
A. 4 B. −2 C. 2 D. −4
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与反比例函数y=4x(x>0)的图象交于点A，将直线y=x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图象于点B，若BC=2OA，则b的值为( )
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若AD=BC，2∠C=180°+∠A，则下列关于AB、BC的关系描述正确的是( )
A. AB>2BC
B. AB=2BC
C. AB<2BC
D. AB与2BC的关系无法判断
10. 如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD=CE=13BC，P是边AB上的动点，以P、D、E为顶点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB=10，则BQ的最小值为( )
A. 5 3
B. 20 33
C. 203
D. 10
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式3x−12>x+1的解集为______ ．
12. 因式分解：m2n−9n+3−m= ______ ．
13. 如图，AB为⊙O的直径，点E是AB上一点，点C是⊙O上的点，四边形ACDE为菱形，CD交⊙O于点F，连接EF，若EF⊥AB，AB=6，则OE= ______ ．
14. 已知二次函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数且m≥1)，该函数恒过定点A，且与直线y=x−m交于点B、C．
(1)定点A的坐标为______ ；
(2)△ABC面积的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：(π−3)0−(14)−1+| 3−2|+tan60°．
16. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
17. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：23−11×2×3=12；
第2个等式：38−12×3×4=13；
第3个等式：415−13×4×5=14；
第4个等式：524−14×5×6=15；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的等式表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
为弘扬助俭美德，落实节约政策，某旅游景点进行设施改造，将手动水龙头全部换成感应水龙头，已知改造完成后，平均每天的用水量减少15，64吨水可以比原来多用8天，该景点在实施改造后平均每天用水多少吨？
19. (本小题10.0分)
如图，校园内有块三角形土地ABC，其中AB=AC，∠C=53°，学校准备向边AB的外围拓展得到三角形地块ACD，要求点D、B、C在同一条直线.经测量BD=39m，∠D=30°，求扩充部分的地块ABD的面积.(结果精确到1m2，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， 3≈1.7)
20. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF=AE．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若AC=4，cosB=45，求cos∠BAD的值．
21. (本小题12.0分)
为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九(1)班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从A.“中国天眼”：B，“北斗卫星”；C.“高速铁路”；D.“神州火箭”四主题中任选一个自己喜欢的主题.现统计了同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)九(1)班共有______ 名学生；
(2)请以九(1)班的统计数据估计全校3000名学生中大约有多少人选择A主题？
(3)请求出C主题所对应扇形圆心角的大小；
(4)在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
22. (本小题12.0分)
已知二次函数y=ax2−2ax−1．
(1)二次函数的图象的对称轴是直线x= ______ ；
(2)当−1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；
(3)若a≤−2，直线y=kx−3经过抛物线y=ax2−2ax−1的顶点A，且与该抛物线的另一交点为B，求OB的最大值．
23. (本小题14.0分)
点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E，延长BD交AC于点F．
(1)如图1，若AB=AC，证明：DE=DF；
(2)如图2，若∠BDC+∠BAC=180°，证明：CDBD=CFBE；
(3)如图3，若∠BAC=60°，∠BDC=120°，DF=4，DECD=23，求BD的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的相反数是−2，
故选：C．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：2520亿=252000000000=2.52×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：
．
故选：C．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案．
本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
4.【答案】D
【解析】解：a2⋅(−a3)
=(−1×1)×(a2⋅a3)
=−a5．
故选：D．
先根据积的乘方的运算性质计算乘方，再根据单项式的乘法法则计算即可．
本题考查了积的乘方的运算性质及单项式的乘法法则，属于基础题型，比较简单．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠1=∠ACD，
∵∠2−∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠2−∠1=90°．
故选：C．
利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的中位数．
故选：B．
根据中位数的意义分析．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程x2−x−3=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−3，
∴x1+x2−x1⋅x2=1+3=4，
故选：A．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8.【答案】D
【解析】解：∵直线y=x与反比例函数y=4x(x>0)的图象交于点A，
∴解y=xy=4x得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴A(2,2)，
∵BC=2OA，
∴C的纵坐标为4，
把y=4代入y=4x得，x=1，
∴B(1,4)，
∵将直线y=x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y=x+b，
∴把C的坐标代入得4=1+b，求得b=3，
故选：D．
解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得B的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入y=x+b即可求得b的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，求得交点B的坐标是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在BA上截取BE=BC，连接ED，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
BE=BC∠EBD=∠CBDBD=BD，
∴△BED≌△BCD(SAS)，
∴∠BED=∠C，
∵2∠C=180°+∠A，
∴∠CDE=360°−∠ABC−2∠C=360°−∠ABC−(180°+∠A)=180°−∠ABC−∠A=∠C，
∴∠BED=∠CDE，
∴180°−∠BED=180°−∠CDE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∵AD=BC，
∴AE=BC=BE，
∴AB=2AE=2BC，
故选：B．
在BA上截取BE=BC，连接ED，可证明△BED≌△BCD，得∠BED=∠C，而∠CDE=360°−∠ABC−2∠C=360°−∠ABC−(180°+∠A)=∠C，所以∠BED=∠CDE，则∠AED=∠ADE，所以AD=AE=BC=BE，则AB=2AE=2BC，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，设平行四边形对角线交于点M．
由题意，∵BD=CE=13BC=13AB=103，
∴D(103,0)，E(253,5 33).
∵M是DE的中点，
∴M(356,5 36).
由题意，设直线AB为y=kx，A为(5,5 3)，
∴5 3=5k．
∴k= 3．
∴直线AB为y= 3x.
∵P在直线AB上，
∴可设P(m, 3m)．
再设Q(x,y)，
∴x+m2=356，y+ 3m2=5 36．
∴上面两式消去m得， 3x−y=10 3．
∴Q在直线y= 3x−10 3上(如上图)．
∴当BQ垂直于直线y= 3x−10 3时，BQ最小．
对于直线y= 3x−10 3，
令x=0，∴y=−10 3；
令y=0，∴x=10．
∴利用面积法可得BQ的最小值为10×10 3 102+(10 3)2=5 3．
故选：A．
依据题意，建立平面直角坐标系，由直线AB的解析式可设P(m, 3m)，Q(x,y)，再根据平行四边形的对角线互相平分进而求出x，y的关系，最后根据垂线段最短可以得解．
本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
11.【答案】x>3
【解析】解：去分母得：3x−1>2(x+1)，
去括号得：3x−1>2x+2，
移项得：3x−2x>2+1，
合并同类项得：x>3．
故答案为：x>3．
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
12.【答案】(m−3)(mn+3n−1)
【解析】解：原式=n(m2−9)−(m−3)
=n(m+3)(m−3)−(m−3)
=(m−3)(mn+3n−1)．
故答案为：(m−3)(mn+3n−1)．
依据题意，根据因式分解的一般方法，先分组再运用公式法及提公因式可以得解．
本题主要考查了分组分解法进行因式分解，解题时要熟练掌握并理解．
13.【答案】3 5−6
【解析】解：过点C作CH⊥AB于H，连接AF，BF，如图：
∵AB为⊙O的直径，且AB=6，
∴OA=OB=3，
设OE=x，则BE=OB−OE=3−x，AE=OA+OE=3+x，
∵四边形ACDE为菱形，
∴CD//AB，AC=CD=DE=AE=3+x，
∴AC=BF，CH=FE，
∴AC=BF，
在Rt△ACH和Rt△BFE中，
AC=BF，CH=FE，
∴Rt△ACH≌Rt△BFE(HL)，
∴AH=BE，
∵OA=OB=3，
∴OA−AH=OB−BE，
即：OH=OE=x，
∴HE=2x，
∵CH⊥AB，EF⊥AB，
∴CH//EF，
又CD//AB，
∴四边形CHEF为矩形，
∴CF=HE=2x，
∴DF=CD−CF=3+x−2x=3−x，
在Rt△EFD中，DF=3−x，DE=3+x，
由勾股定理得：EF2=DE2−DF2=(3+x)2−(3−x)2=12x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB+∠BFE=90°，
又EF⊥AB，则∠AEF=∠FEB=90°，
∴∠BFE+∠B=90°
∴∠AFB=∠B，
∴△AEF∽△FEB，
∴AE：EF=EF：BE，
∴EF2=AE⋅BE=(3+x)(3−x)=9−x2，
∴9−x2=12x，
即：x2+12x−9=0，
解得：x=3 5−6(舍去负值)，
∴OE=x=3 5−6．
故答案为：3 5−6．
过点C作CH⊥AB于H，连接AF，BF，设OE=x，则BE=3−x，AE=3+x，由四边形ACDE为菱形得CD//AB，AC=CD=DE=AE=3+x，先证OH=OE=x，则HE=2x，证四边形CHEF为矩形得CF=HE=2x，则DF=3−x，然后在Rt△EFD中由勾股定理得EF2=12x，再证△AEF和△FEB相似得EF2=AE⋅BE=9−x2，据此得9−x2=12x，由此解出x即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，相似形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的作出辅助线构造矩形和相似三角形，难点是利用相似形的性质及勾股定理构造方程求解．
14.【答案】(−1,0) 3
【解析】解：(1)∵y=−x2+(m−1)x+m=−(x+1)(x−m)，
∴定点A的坐标为：(−1,0)；
(2)联立y=−x2+(m−1)x+my=x−m，
解得：x=−2y=−2−m或x=my=0，
∴B(−2,−2−m)，C(m,0)，
过点A作AD//y轴交直线BC于点D，则D(m−1,−1)，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC=12(m+1)(m−1+2)+12(m+1)(m−m+1)，
=12(m2+3m+2)
=12(m+32)2−18
∵a=12>0且m≥1，
∴当m>−32时，S随m的增大而减小，
∴当m=1时，S有最小值，最小值为：12×(1+32)2−18=3，
∴△ABC面积的最小值为3．
故答案为：3．
(1)利用y=−x2+(m−1)x+m=−(x+1)(x−m)，即可求得A的坐标；
(2)将二次函数与一次函数联立方程组求得B、C的坐标，过点A作AD//y轴交直线BC于点D，则D(m−1,−1)，利用S△ABC=S△ABD+S△ACD即可求得结果．
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的特征以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
15.【答案】解：(π−3)0−(14)−1+| 3−2|+tan60°
=1−4+2− 3+ 3
=−1．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质．
17.【答案】(1)635−15×6×7=16
(2) n+1(n+1)2−1−1n(n+1)(n+2)=1n+1
证明：n+1(n+1)2−1−1n(n+1)(n+2)
=n+1(n+1−1)(n+1+1)−1n(n+1)(n+2)
=n+1n(n+2)−1n(n+1)(n+2)
=(n+1)2−1n(n+1)(n+2)
=n2+2n+1−1n(n+1)(n+2)
=n(n+2)n(n+1)(n+2)
=1n+1，
故n+1(n+1)2−1−1n(n+1)(n+2)=1n+1成立．
【解析】解：(1)由题意可得，
第5个等式是635−15×6×7=16，
故答案为：635−15×6×7=16；
(2)见答案
(1)根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
(2)根据题目中的式子，可以猜想出第n个等式，并加以证明．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明．
18.【答案】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，
则在改造前平均每天用水54x吨，
根据题意，得64x−6454x=8．
解得x=1.6．
经检验：x=1.6是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水1.6吨．
【解析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水54x吨，根据“64吨水可以比原来多用8天”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19.【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∴∠AED=90°，
∵AB=AC，∠C=53°，
∴∠ABC=∠C=53°，
∴∠BAE=90°−∠ABC=37°，
设AE=x m，
在Rt△ABE中，BE=AE⋅tan37°≈0.75x(m)，
在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴DE=AEtan30∘=x 33= 3x(m)，
∵DE−BE=BD，
∴ 3x−0.75x=39，
解得：x≈41.1，
∴AE=41.1m，
∴△ABD的面积=12BD⋅AE=12×39×41.1≈801(m2)，
∴扩充部分的地块ABD的面积约为801m2．
【解析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AED=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=53°，从而可得∠BAE=37°，然后设AE=x m，分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AC=CD，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵AE=AF，∠ACB=90°，
∴∠FAC=∠CAD，CE=FC，
∴∠FAC=∠CAD=∠ABC，
∴∠FAC+∠CAB=90°，
∴AF⊥AB，
又∵AB是直径，
∴AF是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接BD，
∵cos∠ABC=cos∠CAD=ACAE=45，AC=4，
∴AE=5，
∴AF=AE=5，CE= AE2−AC2= 25−16=3，
∴CE=CF=3，
∵tanF=ACCF=ABAF，
∴43=AB5，
∴AB=203，
∵cos∠ABC=45=ABBF，
∴BF=253，
∴BE=BF−EF=253−(3+3)=73，
∵∠CAD=∠CBD，∠AEC=∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴AEBE=ECDE，
∴573=3DE，
∴DE=75，
∴AD=75+5=325，
∴cos∠BAD=ADAB=325203=2425．
【解析】(1)由圆周角定理可得∠CAD=∠ABC，由等腰直角三角形的性质可得∠FAC=∠CAD，由余角的性质可证AF⊥AB，可得结论；
(2)利用锐角三角函数和勾股定理可求AE，CE，AB，BE的长，通过证明△ACE∽△BDE，可得AEBE=ECDE，可求DE的长，即可求解．
本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
21.【答案】50
【解析】解：(1)根据题意得：15÷30%=50(名)，
则九(1)班共有50名学生；
故答案为：50；
(2)根据题意得：3000×550=300(名)，
则估计全校3000名学生中大约有300人选择A主题；
(3)根据题意得：360°×1050=72°，
则C主题所对应扇形圆心角的大小72°；
(4)根据题意列表如下：
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)
所有等可能的情况有16种，其中手抄报主题不相同的情况有12种，
则P(手抄报主题不相同)=1216=34．
(1)根据D主题的人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；
(2)根据样本中A主题的百分比，估计出全校学生选择A主题的学生数即可；
(3)由C主题的百分比，乘以360°，确定出所求即可；
(4)列表确定出所有等可能的情况数，找出手抄报主题不相同的情况数，求出所求概率即可．
此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
22.【答案】1
【解析】解：(1)∵x=−−2a2a=1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x=1．
故答案为：1；
(2)y=ax2−2ax−1=a(x−1)2−a−1，
a>0时，
∴当x=1时，二次函数有最小值为−a−1，
当−1≤x≤4时，x=4时函数有最大值8a−1，
∵当−1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，
∴8a−1−(−a−1)=9，
∴a=1．
∴该二次函数的表达式为y=x2−2x−1；
a<0时，
∴当x=1时，二次函数有最大值为−a−1，
当−1≤x≤4时，x=4时函数有最小值8a−1，
∵当−1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，
∴−a−1−(8a−1)=9，
∴a=−1．
∴该二次函数的表达式为y=−x2+2x−1；
故该二次函数的表达式为y=x2−2x−1或y=−x2+2x−1；
(3)∵y=ax2−2ax−1=a(x−1)2−a−1，
∴A(1,−a−1)，
∵直线y=kx−3经过抛物线y=ax2−2ax−1的顶点A，
∴−a−1=k−3，
∴k=2−a，
∴直线为y=(2−a)x−3，
由y=(2−a)x−3y=ax2−2ax−1，解得x=1y=−a−1或x=2ay=4a−5，
∴B(2a,4a−5)，
设2a=m，则B(m,2m−5)，
∴OB2=m2+(2m−5)2=5m2−20m+25=5(m−2)2+5，
∵a≤−2，
∴−1≤2a<0，即−1≤m<0，
∴当m=−1时，OB2有最大值为50，
∴OB的最大值为5 2．
(1)利用二次函数的性质解答即可；
(2)利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
(3)把A点的坐标代入y=kx−3求得k=2−a，然后两解析式联立，解方程组求得B点的坐标为B(2a,4a−5)，设2a=m，则B(m,2m−5)，利用勾股定理求得OB2=5(m−2)2+5，由a≤−2，求得−1≤m<0，即可利用二次函数的性质求得OB2的最大值，进一步求得OB的最大值．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠ABF=∠ACE，BD=CD，
又∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，
∴△ABF≌△ACE(ASA)，
∴BF=CE，
∴DE=DF；
(2)证明：如图2，作∠HBD=∠ACD，交CE的延长线于点H，
∵∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠AFD+∠AED=180°，
∵∠AFD+∠DFC=180°，
∴∠AED=∠CFD=∠BEH，
∵∠HBD=∠ACD，∠CDF=∠BDH，
∴△CDF∽△BDH，
∴CDBD=CFBE，∠CFD=∠H，
∴∠H=∠BEH，
∴BE=BH，
∴CDBD=CFBE；
(3)解：如图3，连接EF，过点E作EN⊥BF于N，过点F作FH⊥EC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴点A，点E，点D，点F四点共圆，
∴∠DFE=∠DAE=30°，∠DEF=∠DAF=30°，
∴∠DEF=∠DFE=30°，
∴DE=DF=4，
∵EDCD=23，
∴DF=6，
∵∠EDB=∠FDC=180°−120°=60°，
∴∠DEN=∠DFH=30°，
∴DN=DH=2，FH=EN=2 3，
∴CH=4，
∴CF= CH2+FH2= 16+12=2 7，
∵CDBD=CFBE，
∴6BD=2 7BE，
设BD=6x，则BE=2 7x，
∵BE2=EN2+BN2，
∴28x2=12+(6x−2)2，
解得：x=1或x=2，
∴BD=6或12．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACD，可得∠ABF=∠ACE，BD=CD，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，可得BF=CE，可得结论；
(2)通过证明△CDF∽△BDH，可得CDBD=CFBE，即可求解；
(3)通过证明点A，点E，点D，点F四点共圆，可得∠DEF=∠DFE=30°，可求DE=DF=4，DC=6，由勾股定理可求CF=2 7，由勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 2022年马鞍山市GDP位于全省第六，约为2520亿元，2520亿用科学记数法表示为( )
A. 252×109 B. 25.2×1010 C. 2.52×1011 D. 2.52×1012
3. 如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
4. a2⋅(−a3)的计算结果是( )
A. a6 B. −a6 C. a5 D. −a5
5. 如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2−∠1=( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
6. 某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的( )
A. 最高分 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
7. 关于x的方程x2−x−3=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2−x1⋅x2的值为( )
A. 4 B. −2 C. 2 D. −4
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与反比例函数y=4x(x>0)的图象交于点A，将直线y=x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图象于点B，若BC=2OA，则b的值为( )
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若AD=BC，2∠C=180°+∠A，则下列关于AB、BC的关系描述正确的是( )
A. AB>2BC
B. AB=2BC
C. AB<2BC
D. AB与2BC的关系无法判断
10. 如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD=CE=13BC，P是边AB上的动点，以P、D、E为顶点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB=10，则BQ的最小值为( )
A. 5 3
B. 20 33
C. 203
D. 10
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式3x−12>x+1的解集为______ ．
12. 因式分解：m2n−9n+3−m= ______ ．
13. 如图，AB为⊙O的直径，点E是AB上一点，点C是⊙O上的点，四边形ACDE为菱形，CD交⊙O于点F，连接EF，若EF⊥AB，AB=6，则OE= ______ ．
14. 已知二次函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数且m≥1)，该函数恒过定点A，且与直线y=x−m交于点B、C．
(1)定点A的坐标为______ ；
(2)△ABC面积的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：(π−3)0−(14)−1+| 3−2|+tan60°．
16. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
17. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：23−11×2×3=12；
第2个等式：38−12×3×4=13；
第3个等式：415−13×4×5=14；
第4个等式：524−14×5×6=15；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的等式表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
为弘扬助俭美德，落实节约政策，某旅游景点进行设施改造，将手动水龙头全部换成感应水龙头，已知改造完成后，平均每天的用水量减少15，64吨水可以比原来多用8天，该景点在实施改造后平均每天用水多少吨？
19. (本小题10.0分)
如图，校园内有块三角形土地ABC，其中AB=AC，∠C=53°，学校准备向边AB的外围拓展得到三角形地块ACD，要求点D、B、C在同一条直线.经测量BD=39m，∠D=30°，求扩充部分的地块ABD的面积.(结果精确到1m2，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， 3≈1.7)
20. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF=AE．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若AC=4，cosB=45，求cos∠BAD的值．
21. (本小题12.0分)
为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九(1)班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从A.“中国天眼”：B，“北斗卫星”；C.“高速铁路”；D.“神州火箭”四主题中任选一个自己喜欢的主题.现统计了同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)九(1)班共有______ 名学生；
(2)请以九(1)班的统计数据估计全校3000名学生中大约有多少人选择A主题？
(3)请求出C主题所对应扇形圆心角的大小；
(4)在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
22. (本小题12.0分)
已知二次函数y=ax2−2ax−1．
(1)二次函数的图象的对称轴是直线x= ______ ；
(2)当−1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；
(3)若a≤−2，直线y=kx−3经过抛物线y=ax2−2ax−1的顶点A，且与该抛物线的另一交点为B，求OB的最大值．
23. (本小题14.0分)
点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E，延长BD交AC于点F．
(1)如图1，若AB=AC，证明：DE=DF；
(2)如图2，若∠BDC+∠BAC=180°，证明：CDBD=CFBE；
(3)如图3，若∠BAC=60°，∠BDC=120°，DF=4，DECD=23，求BD的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的相反数是−2，
故选：C．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：2520亿=252000000000=2.52×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：
．
故选：C．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案．
本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
4.【答案】D
【解析】解：a2⋅(−a3)
=(−1×1)×(a2⋅a3)
=−a5．
故选：D．
先根据积的乘方的运算性质计算乘方，再根据单项式的乘法法则计算即可．
本题考查了积的乘方的运算性质及单项式的乘法法则，属于基础题型，比较简单．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠1=∠ACD，
∵∠2−∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠2−∠1=90°．
故选：C．
利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的中位数．
故选：B．
根据中位数的意义分析．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程x2−x−3=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−3，
∴x1+x2−x1⋅x2=1+3=4，
故选：A．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8.【答案】D
【解析】解：∵直线y=x与反比例函数y=4x(x>0)的图象交于点A，
∴解y=xy=4x得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴A(2,2)，
∵BC=2OA，
∴C的纵坐标为4，
把y=4代入y=4x得，x=1，
∴B(1,4)，
∵将直线y=x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y=x+b，
∴把C的坐标代入得4=1+b，求得b=3，
故选：D．
解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得B的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入y=x+b即可求得b的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，求得交点B的坐标是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在BA上截取BE=BC，连接ED，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
BE=BC∠EBD=∠CBDBD=BD，
∴△BED≌△BCD(SAS)，
∴∠BED=∠C，
∵2∠C=180°+∠A，
∴∠CDE=360°−∠ABC−2∠C=360°−∠ABC−(180°+∠A)=180°−∠ABC−∠A=∠C，
∴∠BED=∠CDE，
∴180°−∠BED=180°−∠CDE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∵AD=BC，
∴AE=BC=BE，
∴AB=2AE=2BC，
故选：B．
在BA上截取BE=BC，连接ED，可证明△BED≌△BCD，得∠BED=∠C，而∠CDE=360°−∠ABC−2∠C=360°−∠ABC−(180°+∠A)=∠C，所以∠BED=∠CDE，则∠AED=∠ADE，所以AD=AE=BC=BE，则AB=2AE=2BC，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，设平行四边形对角线交于点M．
由题意，∵BD=CE=13BC=13AB=103，
∴D(103,0)，E(253,5 33).
∵M是DE的中点，
∴M(356,5 36).
由题意，设直线AB为y=kx，A为(5,5 3)，
∴5 3=5k．
∴k= 3．
∴直线AB为y= 3x.
∵P在直线AB上，
∴可设P(m, 3m)．
再设Q(x,y)，
∴x+m2=356，y+ 3m2=5 36．
∴上面两式消去m得， 3x−y=10 3．
∴Q在直线y= 3x−10 3上(如上图)．
∴当BQ垂直于直线y= 3x−10 3时，BQ最小．
对于直线y= 3x−10 3，
令x=0，∴y=−10 3；
令y=0，∴x=10．
∴利用面积法可得BQ的最小值为10×10 3 102+(10 3)2=5 3．
故选：A．
依据题意，建立平面直角坐标系，由直线AB的解析式可设P(m, 3m)，Q(x,y)，再根据平行四边形的对角线互相平分进而求出x，y的关系，最后根据垂线段最短可以得解．
本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
11.【答案】x>3
【解析】解：去分母得：3x−1>2(x+1)，
去括号得：3x−1>2x+2，
移项得：3x−2x>2+1，
合并同类项得：x>3．
故答案为：x>3．
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
12.【答案】(m−3)(mn+3n−1)
【解析】解：原式=n(m2−9)−(m−3)
=n(m+3)(m−3)−(m−3)
=(m−3)(mn+3n−1)．
故答案为：(m−3)(mn+3n−1)．
依据题意，根据因式分解的一般方法，先分组再运用公式法及提公因式可以得解．
本题主要考查了分组分解法进行因式分解，解题时要熟练掌握并理解．
13.【答案】3 5−6
【解析】解：过点C作CH⊥AB于H，连接AF，BF，如图：
∵AB为⊙O的直径，且AB=6，
∴OA=OB=3，
设OE=x，则BE=OB−OE=3−x，AE=OA+OE=3+x，
∵四边形ACDE为菱形，
∴CD//AB，AC=CD=DE=AE=3+x，
∴AC=BF，CH=FE，
∴AC=BF，
在Rt△ACH和Rt△BFE中，
AC=BF，CH=FE，
∴Rt△ACH≌Rt△BFE(HL)，
∴AH=BE，
∵OA=OB=3，
∴OA−AH=OB−BE，
即：OH=OE=x，
∴HE=2x，
∵CH⊥AB，EF⊥AB，
∴CH//EF，
又CD//AB，
∴四边形CHEF为矩形，
∴CF=HE=2x，
∴DF=CD−CF=3+x−2x=3−x，
在Rt△EFD中，DF=3−x，DE=3+x，
由勾股定理得：EF2=DE2−DF2=(3+x)2−(3−x)2=12x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB+∠BFE=90°，
又EF⊥AB，则∠AEF=∠FEB=90°，
∴∠BFE+∠B=90°
∴∠AFB=∠B，
∴△AEF∽△FEB，
∴AE：EF=EF：BE，
∴EF2=AE⋅BE=(3+x)(3−x)=9−x2，
∴9−x2=12x，
即：x2+12x−9=0，
解得：x=3 5−6(舍去负值)，
∴OE=x=3 5−6．
故答案为：3 5−6．
过点C作CH⊥AB于H，连接AF，BF，设OE=x，则BE=3−x，AE=3+x，由四边形ACDE为菱形得CD//AB，AC=CD=DE=AE=3+x，先证OH=OE=x，则HE=2x，证四边形CHEF为矩形得CF=HE=2x，则DF=3−x，然后在Rt△EFD中由勾股定理得EF2=12x，再证△AEF和△FEB相似得EF2=AE⋅BE=9−x2，据此得9−x2=12x，由此解出x即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，相似形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的作出辅助线构造矩形和相似三角形，难点是利用相似形的性质及勾股定理构造方程求解．
14.【答案】(−1,0) 3
【解析】解：(1)∵y=−x2+(m−1)x+m=−(x+1)(x−m)，
∴定点A的坐标为：(−1,0)；
(2)联立y=−x2+(m−1)x+my=x−m，
解得：x=−2y=−2−m或x=my=0，
∴B(−2,−2−m)，C(m,0)，
过点A作AD//y轴交直线BC于点D，则D(m−1,−1)，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC=12(m+1)(m−1+2)+12(m+1)(m−m+1)，
=12(m2+3m+2)
=12(m+32)2−18
∵a=12>0且m≥1，
∴当m>−32时，S随m的增大而减小，
∴当m=1时，S有最小值，最小值为：12×(1+32)2−18=3，
∴△ABC面积的最小值为3．
故答案为：3．
(1)利用y=−x2+(m−1)x+m=−(x+1)(x−m)，即可求得A的坐标；
(2)将二次函数与一次函数联立方程组求得B、C的坐标，过点A作AD//y轴交直线BC于点D，则D(m−1,−1)，利用S△ABC=S△ABD+S△ACD即可求得结果．
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的特征以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
15.【答案】解：(π−3)0−(14)−1+| 3−2|+tan60°
=1−4+2− 3+ 3
=−1．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质．
17.【答案】(1)635−15×6×7=16
(2) n+1(n+1)2−1−1n(n+1)(n+2)=1n+1
证明：n+1(n+1)2−1−1n(n+1)(n+2)
=n+1(n+1−1)(n+1+1)−1n(n+1)(n+2)
=n+1n(n+2)−1n(n+1)(n+2)
=(n+1)2−1n(n+1)(n+2)
=n2+2n+1−1n(n+1)(n+2)
=n(n+2)n(n+1)(n+2)
=1n+1，
故n+1(n+1)2−1−1n(n+1)(n+2)=1n+1成立．
【解析】解：(1)由题意可得，
第5个等式是635−15×6×7=16，
故答案为：635−15×6×7=16；
(2)见答案
(1)根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
(2)根据题目中的式子，可以猜想出第n个等式，并加以证明．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明．
18.【答案】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，
则在改造前平均每天用水54x吨，
根据题意，得64x−6454x=8．
解得x=1.6．
经检验：x=1.6是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水1.6吨．
【解析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水54x吨，根据“64吨水可以比原来多用8天”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19.【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∴∠AED=90°，
∵AB=AC，∠C=53°，
∴∠ABC=∠C=53°，
∴∠BAE=90°−∠ABC=37°，
设AE=x m，
在Rt△ABE中，BE=AE⋅tan37°≈0.75x(m)，
在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴DE=AEtan30∘=x 33= 3x(m)，
∵DE−BE=BD，
∴ 3x−0.75x=39，
解得：x≈41.1，
∴AE=41.1m，
∴△ABD的面积=12BD⋅AE=12×39×41.1≈801(m2)，
∴扩充部分的地块ABD的面积约为801m2．
【解析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AED=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=53°，从而可得∠BAE=37°，然后设AE=x m，分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AC=CD，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵AE=AF，∠ACB=90°，
∴∠FAC=∠CAD，CE=FC，
∴∠FAC=∠CAD=∠ABC，
∴∠FAC+∠CAB=90°，
∴AF⊥AB，
又∵AB是直径，
∴AF是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接BD，
∵cos∠ABC=cos∠CAD=ACAE=45，AC=4，
∴AE=5，
∴AF=AE=5，CE= AE2−AC2= 25−16=3，
∴CE=CF=3，
∵tanF=ACCF=ABAF，
∴43=AB5，
∴AB=203，
∵cos∠ABC=45=ABBF，
∴BF=253，
∴BE=BF−EF=253−(3+3)=73，
∵∠CAD=∠CBD，∠AEC=∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴AEBE=ECDE，
∴573=3DE，
∴DE=75，
∴AD=75+5=325，
∴cos∠BAD=ADAB=325203=2425．
【解析】(1)由圆周角定理可得∠CAD=∠ABC，由等腰直角三角形的性质可得∠FAC=∠CAD，由余角的性质可证AF⊥AB，可得结论；
(2)利用锐角三角函数和勾股定理可求AE，CE，AB，BE的长，通过证明△ACE∽△BDE，可得AEBE=ECDE，可求DE的长，即可求解．
本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
21.【答案】50
【解析】解：(1)根据题意得：15÷30%=50(名)，
则九(1)班共有50名学生；
故答案为：50；
(2)根据题意得：3000×550=300(名)，
则估计全校3000名学生中大约有300人选择A主题；
(3)根据题意得：360°×1050=72°，
则C主题所对应扇形圆心角的大小72°；
(4)根据题意列表如下：
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)
所有等可能的情况有16种，其中手抄报主题不相同的情况有12种，
则P(手抄报主题不相同)=1216=34．
(1)根据D主题的人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；
(2)根据样本中A主题的百分比，估计出全校学生选择A主题的学生数即可；
(3)由C主题的百分比，乘以360°，确定出所求即可；
(4)列表确定出所有等可能的情况数，找出手抄报主题不相同的情况数，求出所求概率即可．
此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
22.【答案】1
【解析】解：(1)∵x=−−2a2a=1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x=1．
故答案为：1；
(2)y=ax2−2ax−1=a(x−1)2−a−1，
a>0时，
∴当x=1时，二次函数有最小值为−a−1，
当−1≤x≤4时，x=4时函数有最大值8a−1，
∵当−1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，
∴8a−1−(−a−1)=9，
∴a=1．
∴该二次函数的表达式为y=x2−2x−1；
a<0时，
∴当x=1时，二次函数有最大值为−a−1，
当−1≤x≤4时，x=4时函数有最小值8a−1，
∵当−1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，
∴−a−1−(8a−1)=9，
∴a=−1．
∴该二次函数的表达式为y=−x2+2x−1；
故该二次函数的表达式为y=x2−2x−1或y=−x2+2x−1；
(3)∵y=ax2−2ax−1=a(x−1)2−a−1，
∴A(1,−a−1)，
∵直线y=kx−3经过抛物线y=ax2−2ax−1的顶点A，
∴−a−1=k−3，
∴k=2−a，
∴直线为y=(2−a)x−3，
由y=(2−a)x−3y=ax2−2ax−1，解得x=1y=−a−1或x=2ay=4a−5，
∴B(2a,4a−5)，
设2a=m，则B(m,2m−5)，
∴OB2=m2+(2m−5)2=5m2−20m+25=5(m−2)2+5，
∵a≤−2，
∴−1≤2a<0，即−1≤m<0，
∴当m=−1时，OB2有最大值为50，
∴OB的最大值为5 2．
(1)利用二次函数的性质解答即可；
(2)利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
(3)把A点的坐标代入y=kx−3求得k=2−a，然后两解析式联立，解方程组求得B点的坐标为B(2a,4a−5)，设2a=m，则B(m,2m−5)，利用勾股定理求得OB2=5(m−2)2+5，由a≤−2，求得−1≤m<0，即可利用二次函数的性质求得OB2的最大值，进一步求得OB的最大值．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠ABF=∠ACE，BD=CD，
又∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，
∴△ABF≌△ACE(ASA)，
∴BF=CE，
∴DE=DF；
(2)证明：如图2，作∠HBD=∠ACD，交CE的延长线于点H，
∵∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠AFD+∠AED=180°，
∵∠AFD+∠DFC=180°，
∴∠AED=∠CFD=∠BEH，
∵∠HBD=∠ACD，∠CDF=∠BDH，
∴△CDF∽△BDH，
∴CDBD=CFBE，∠CFD=∠H，
∴∠H=∠BEH，
∴BE=BH，
∴CDBD=CFBE；
(3)解：如图3，连接EF，过点E作EN⊥BF于N，过点F作FH⊥EC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴点A，点E，点D，点F四点共圆，
∴∠DFE=∠DAE=30°，∠DEF=∠DAF=30°，
∴∠DEF=∠DFE=30°，
∴DE=DF=4，
∵EDCD=23，
∴DF=6，
∵∠EDB=∠FDC=180°−120°=60°，
∴∠DEN=∠DFH=30°，
∴DN=DH=2，FH=EN=2 3，
∴CH=4，
∴CF= CH2+FH2= 16+12=2 7，
∵CDBD=CFBE，
∴6BD=2 7BE，
设BD=6x，则BE=2 7x，
∵BE2=EN2+BN2，
∴28x2=12+(6x−2)2，
解得：x=1或x=2，
∴BD=6或12．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACD，可得∠ABF=∠ACE，BD=CD，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，可得BF=CE，可得结论；
(2)通过证明△CDF∽△BDH，可得CDBD=CFBE，即可求解；
(3)通过证明点A，点E，点D，点F四点共圆，可得∠DEF=∠DFE=30°，可求DE=DF=4，DC=6，由勾股定理可求CF=2 7，由勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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