人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角同步训练题

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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
24.1.4 圆周角

题型导航




圆
周
角

圆周角的概念
题型1
圆周角定理
题型2
同弧或等弧所对的圆周角相等
题型3
直径所对的圆周角是直角
题型4
90度的圆周角所对的弦是直径
题型5



题型变式

【题型1】圆周角的概念
1．（2022·广西柳州·九年级期末）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（       ）


A．25° B．30° C．40° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．
【详解】
∵OB=OC，∠B=55°，
∴∠B=∠OCB，
∴∠BOC=180°-2∠B=70°，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA==30°，
故选：B．
【点睛】
考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大．

【变式1-1】
2．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（       ）

A．38° B．52° C．76° D．104°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆的基本性质，可得 ，从而得到 ，再由三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵MN为⊙O的弦，
∴ ，
∴ ，
∵∠MON＝76°，
∴ ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键．

【题型2】圆周角定理
1．（2021·辽宁沈阳·一模）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠OBC＝40°，则∠A的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可得出∠A的度数．
【详解】
解：∵OB＝OC，∠OBC＝40°，
∴∠BCO＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠OBC＝100°，
∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠A∠BOC100°＝50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

【变式2-1】
2．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，点、、在上，，则的大小为______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，设，则，构建方程求解即可．
【详解】
∵点、、在上，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，学会利用参数构建方程解决问题是解本题的关键．


【题型3】同弧或等弧所对的圆周角相等
1．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）如图，AB为直径，，则的度数为（       ）

A．56° B．52° C．60° D．62°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，直角三角形中两个锐角互余求得，进而根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形中两个锐角互余，同弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键．

【变式3-1】
2．（重庆市潼南区六校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（          ）

A．85° B．60° C．65° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=30°可知∠CAB=60°，再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠BDC=∠CAB=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°，由AB是直径求出∠ACB=90°是解题的关键．

【题型4】直径所对的圆周角是直角
1．（2022·重庆市开州区德阳初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC与△BCD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（       ）

A．40° B．50° C．20° D．25°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】
解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．

【变式4-1】
2．（2022·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．

【答案】40°##40度
【解析】
【分析】
首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．

【题型5】90度的圆周角所对的弦是直径
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（       ）

A．8 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得．
【详解】
解：
点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E
如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD

当点E、P、D在一条直线上时，PD最小
理由如下：
，EP=EF
(当且仅当点F与点P重合时取等号)
此时PD最小
，点E是AB的中点，EP是圆的半径

在中，

故PD的最小值为8
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键．

【变式5-1】
2．（2022·四川泸州·九年级期末）如图，在直角△ABC中，，，，点D是AC边上一动点，连接BD，作于点E，则线段CE长度的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据于点，可知，，在以为直径的圆周上，取的中点连接交于点，此时的值最小
【详解】
解：于点
，，在以为直径的圆周上
如图：取的中点，连接，，

在中
当三点共线时取等号，此时最小
，


在中
在中

故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形，圆的性质：直径所对的圆周角是及其逆定理；解题的关键是要知道点的运动轨迹，再转化为圆外一定点到圆上距离的最小值．


专项训练

一．选择题
1．（2018·内蒙古通辽·中考真题）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】
解：由图可知，OA=10，OD=5，

在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，
∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键．
2．（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】
解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
3．（2020·山东青岛·九年级单元测试）如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图作PH⊥BC于H．首先证明AP=PH，设PA=PH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】
如图作PH⊥BC于H．

∵弧AD=弧BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA=PH，设PA=PH=x，
∵PC=PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH，
∴AC=CH=3，
∵BC==5，
∴BH=2，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴（4-x）2=x2+22，
解得x=，
∴PC= ，
故选：D．
【点睛】
此题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（2021·福建省福州第一中学九年级期中）如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（     ）


A．64° B．48° C．32° D．76°
【答案】A
【解析】
【分析】
由AB//CD，∠BAC＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD的度数．
【详解】
解：∵弦AB//CD，∠BAC=32°，
∴∠ACD＝∠BAD＝32°，
∴ ∠AOD=2∠ACD＝2×32°＝64°.
故选：A
【点睛】
此题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（2020·山东·夏津县双语中学九年级期中）以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD＝（     ）．

A．50° B．40° C．70° D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理求出∠DOB，根据等腰三角形性质求出∠OCD=∠ODC，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：连接OD，
∵∠DAB=25°，
∴∠BOD=2∠DAB=50°，
∴∠COD=90°-50°=40°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=（180°-∠COD）=70°，
故选：C．

【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．
二、填空题
6．（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为，D为第一象限内上的一点，若，则____.

【答案】
【解析】
【分析】
连接OD，BD，由，得到∠EOD的度数，求出，推出，根据AB为圆的直径，得到，求出BD，利用勾股定理求出AD．
【详解】
解：连接OD，BD，
∵，
∴∠EOD=2，
∵，
∴，
∴，
∵AB为圆的直径，
∴,
∴BD=，
∴，
故答案为：．


【点睛】
此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，以及直角三角形30度角的性质及勾股定理．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．

【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为______．

【答案】24
【解析】
【分析】
连接OC，由题意得OE=5，BE=8，再由垂径定理得CE=DE，∠OEC=90°，然后由勾股定理求出CE=12，即可求解．
【详解】
解：连接OC，如图所示：

∵直径AB=26，
∴OC=OB=13，
∵OE：BE=5：8，
∴OE=5，BE=8，
∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠OEC=90°，
∴CE==12，
∴CD=2CE=24，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CE的长是解题的关键．
9．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．

【答案】50
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】
∵是的外接圆的直径，
∴点，，，在上，
∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，点A，B，C在上，，则________度．

【答案】31
【解析】
【分析】
根据圆周角定理进行求解即可；
【详解】
解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．（2022·广东·西南中学三模）如图，为的直径，点，，在上，且，，则的度数为______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接、，由圆周角定理得出，进而结合题意得出，由圆心角、弧、弦的关系定理，即可求出的度数．
【详解】
解：如图，连接、，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．
三、解答题
12．（2022·青海海东·九年级期末）如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．
13．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

(1)求证：CD＝CE；
(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
(1)
证明：连接OC，

∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
(2)
解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，
同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，
∴四边形DOEC的面积＝．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．

（1）求⊙O半径的长；
（2）求EC的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理可得，再由勾股定理可求得半径的长；
（2）连接构造出，利用勾股定理可求得，再利用勾股定理解即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∴设的半径
∴
∵在中，
∴
∴
∴半径的长为．
（2）连接，如图：

∵是的直径
∴，
∵
∴在中，
∵
∴在中，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等，做出合适的辅助线是解题的关键．
15．（2022·江苏·九年级）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．

(1)求∠BAC的度数．
(2)求∠BAD的度数．
【答案】(1)70°
(2)103°
【解析】
【分析】
（1）由同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，可得∠CBD=∠ABD=33°，从而求得∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，最后在中，运用内角和定理，可求得∠BAC的度数．
（2）由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC＝∠DBC＝33°，结合（1）的结论，可求得∠BAD的度数．
(1)
解：∵，
∴∠CBD=∠ABD=33°，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-44°=70°；
(2)
解：∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【点睛】
本题考查了同圆中，同弧所对的圆周角的关系，熟练掌握相关几何性质是解题的关键．
16．（2022·四川·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．

(1)求证：；
(2)若AD=BE=2，求BF的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）利用AAS证明△BFG≌△CDG；
（2）连接OF，设圆O的半径为r，根据CF=BD列出关于r的方程求解
(1)
证明：∵C是的中点，
∴ ，
∵AB是圆O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD=BF，
∵∠F与∠CDG所对的弧都是，
∴∠F=∠CDG，
在△BFG和△CDG中，

∴△BFG≌△CDG；
(2)
连接OF，设圆O的半径为r，
在直角△ADB中,
同理：，
∵ ,
∴ ，
∴BD=CF，
∴，
即 ，
解得r=1（舍去）或r=3，
∴，
∴BF=．

【点睛】
本题考查圆的相关知识、垂径定理以及全等三角形的判定和勾股定理，解一元二次方程等知识,解决问题的关键在在圆内通过等弧进行角或边的转换．
17．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，、为的弦，与相交于点，．


(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，的面积为6，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)10
【解析】
【分析】
(1)连接BD，由得到∠B=∠D即可证明BE=DE；
(2)连接AF，由AB⊥CD得到∠BED=90°，由(1)中结论得到∠EBD=∠EDB=45°，由同弧所对的圆周角相等得到∠EBD=∠AFD=45°，最后根据DF是直径得到∠DAF=90°即可证明；
(3)连接EF，过F点作FH⊥AB于H点，证明CF∥BE，设CF=a，CE=b，得到，进而得到；再证明四边形CEHF为矩形得到a+b=8，进而求出a、b的值，最后在在Rt△CDF中由勾股定理求出，在等腰Rt△ADF中，．
(1)
证明：连接DB，如下图所示：


∵，
∴∠B=∠D，
∴△EDB为等腰三角形，
∴ED=EB．
(2)
证明：连接AF，如下图所示：


∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
由(1)中结论得到∠EBD=∠EDB=45°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠EBD=∠AFD=45°，
∵DF是直径，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠AFD=90°-45°=45°．
(3)
解：连接EF，过F点作FH⊥AB于H点，如下图所示：


∵DF为直径，
∴∠DCF=90°=∠DEB，
∴CF∥BE，
设CF=a，CE=b，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠CEH=∠EHF=90°，
∴四边形CEHF为矩形，
∴EH=CF=a，HF=CE=b，
由(2)知，∠ABF=∠ADF=45°，
∴△BFH为等腰直角三角形，
∴HB=HF=b，
又ED=EB=8，
∴EB=EH+HB=a+b=8，
联立：，
解得：或，
又已知，即，
∴舍去，
∴CF=2，CE=6，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理可知：,
在等腰Rt△ADF中，．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理运用、等腰三角形的性质等，综合性强，难度较大．