辽宁省锦州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省锦州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省锦州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、等差数列中，，，则数列的公差为( )
A.2 B.6 C.1 D.14
2、一箱产品中有6件正品和2件次品，每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回，已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为( )
A. B. C. D.
3、已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )

A. B.
C. D.
4、某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
月平均气温x
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为件．( )
A.40 B.42 C.46 D.48
5、康托是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，当记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为参考数据：，( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6、已知，，，设曲线在，处的切线斜率为，则( )
A. B.
C. D.
7、班级举行知识竞猜闯关活动，设置了A，B，C三个问题答题者可自行决定答三题顺序，甲有的可能答对问题A，的可能答对问题B，的可能答对问题C，记答题者连续答对两题的概率为p，要使得p最大，他应该先回答( )
A.问题A B.问题B
C.问题A，B和C都可以 D.问题C
8、若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9、已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是( )

A.变量x与变量y呈负相关
B.变量x与变量y的相关性变强
C.残差平方和变小
D.样本相关系数r变大
10、已知递减的等差数列的前n项和为，，则( )
A. B. C. D.最大
11、已知函数，，则( )
A.有一个零点
B.在上单调递减
C.有一个极值点
D.若，则
12、一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则( )
A.最多需要检测4次可确定患病者
B.第2次检测后就可确定患病者的概率为
C.第3次检测后就可确定患病者的概率为
D.检测次数的期望为
三、填空题
13、已知函数，则______．
14、某城市每年6月份的平均气温t近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于24摄氏度的天数为______．
15、设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为x个，且，则口袋中共有黑球______个
四、双空题
16、已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______．
五、解答题
17、已知数列满足，，.
（1）证明:是等比数列;
（2）证明:存在两个等比数列，，使得成立.
18、已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求a的值；
（2）讨论的单调性．
19、青少年时期是视觉发育的敏感期与关键期，这个阶段的视觉发育容易受环境因素影响，某校为研究学生每天使用手机时长与近视率的关系，从全校学生中随机抽取600名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：有的学生每天使用手机超过，这些人的近视率为；每天使用手机不超过的学生的近视率为．
（1）若从该校学生中随机抽取一人，请根据以上数据估计该同学近视的概率；
（2）请完成列联表并根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过的前提下可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关吗？
视力
每天使用手机时长
合计
超过
不超过
近视



不近视



合计


600
附：．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：












20、已知等比数列的公比，且满足，，数列的前n项和，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
21、2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心、为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：
方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为Y；
方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得分，三轮累计所得分数记为X，累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为P，每次投篮互不影响．
（1）若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；
（2）以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一、应选择那个方案？
22、已知函数．
（1）若，求方程的解；
（2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，，求a的取值范围并证明．
参考答案
1、答案：B
解析：根据题意，因为等差数列中，，，
所以公差．
故选：B．
2、答案：A
解析：已知前两次检测的产品均是正品的前提下，还剩4件正品和2件次品，
则第三次检测的产品是正品的概率．
故选：A
3、答案：D
解析：由图可知，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减．
结合各选项，只有D符合要求．
故选：D．
4、答案：B
解析：，，
则样本点中心为，则，解得，
回归直线方程，
当时，．
故选：B．
5、答案：B
解析：第一次操作去掉区间长度为；
第二次操作去掉两个区间长度为的区间，长度之和为；
第三次操作去掉四个区间长度为的区间，长度之和为；

第n次操作去掉个区间长度为的区间，长度之和为；
于是进行n次操作后去掉的区间总长度为，
所以，即，
所以，
所以需要操作的次数n的最小值为8，
故选：B．
6、答案：C
解析：函数的定义域为，则，则，
，则，
在上单调递减；
又，即，
则．
故选：C．
7、答案：D
解析：若先回答问题A，则答题顺序可能为A，B，C和A，C，B，
当答题顺序为A，B，C且连对两题时，；
当答题顺序为A，C，B且连对两题时，；
所以先回答问题A，连对两题的概率为；
若先回答问题B，则答题顺序可能为B，A，C和B，C，A，
当答题顺序为B，A，C且连对两题时，；
当答题顺序为B，C，A且连对两题时，；
所以先回答问题B，连对两题的概率为；
若先回答问题C，则答题顺序可能为C，A，B和C，B，A，
当答题顺序为C，A，B且连对两题时，；
当答题顺序为C，B，A且连对两题时，；
所以先回答问题C，连对两题的概率为；
因为，所以要使p最大，应先回答问题C．
故选：D．
8、答案：D
解析：设切点，，，
过，，
，，有两个不相等实根，，
其中，，，或，
，
令，或，，
时，，，，
时，，，，
综上：，选D.
9、答案：ABC
解析：由散点图可知，去掉D点后，y与x的线性相关加强，且为负相关，故AB正确，
由于y与x的线性相关加强，则残差平方和变小，故C正确，
y与x的线性相关加强，且为负相关，
相关系数的绝对值变大，而相关系数为负，
故样本相关系数r变小，故D错误．
故选：ABC．
10、答案：ACD
解析：，
，
，
为递减的等差数列，
，
，故A正确；
，故B错误；
，
，故C正确；
，，且为递减的等差数列
最大，故D正确．
故答案选：ACD．
11、答案：BCD
解析：对于A，B，C，由题意得，，
令，，则，
，，
在上单调递减，
，即，，
当时，，且为唯一解，
，，，单调递减；，，，单调递增，
，即在上无零点，
同时表明在上有唯一极值点，故A错误，B、C正确；
对于D：若，设，则，
要证，即证，
，在上单调递增，即证，
，即证，
令，，
，其中在上单调递增，
，
，在上单调递减，
，即，
成立，即成立，故D正确．
故选：BCD．
12、答案：AB
解析：对于A，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都没有检测出患病者，
则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，
若第4次还是阴性，则剩下没有检测者为患者，
最多要检测4次可确定患者，
若患教师不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，故A正确；
对于B，第2次检测后就可确定患者有两种情况：
①患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，
②患者不在混检中，并在逐个检测时第1次抽到他，
其概率为，故B正确；
对于C，第次检测后可确定患者有两种情况：
①患者在混检中并在逐个检测时第次抽到他；
②患者不在混检中并在逐个混检时第1次没有抽到他，
其概率为，故C错误；
对于D，设检测次数为随机变量X，则其分布列为：
X



P



，故D错误．
故选：AB．
13、答案：6
解析：因为，所以，则，
所以．
故答案为：6．
14、答案：9
解析：根据题意，因为每年6月份的平均气温t近似服从，
所以，
因为，所以，
所以，
所以该城市6月份平均气温低于的天数为．
故答案为：9．
15、答案：4
解析：设黑球有n个，
当时，x可取1，2，
则，，
则，
故与题意矛盾，所以，
当时，x可取0，1，2，
则，
，
，
则，
解得，
即口袋中共有黑球4个．
故答案为：4．
16、答案：；
解析：已知，则，，所以，
则；
已知数列，
，，
数列的前2023项的和，
且，
两式相加，得，
故答案为：；．
17、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：
，
而，成首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知，①
且，，
成首项为2，公比为2的等比数列，
，②
①-②，存在，满足条件.
18、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1），
令，得：，，
由于是函数的极小值点，所以，即，
此时因为时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，故满足题意．
（2）时或，
时，的解为或，此时在和上单调递增；
的解为，此时在上单调递减；
时，的解为或，此时在和上单调递增；
的解为，此时在上单调递减；
时，恒成立，此时在R上单调递增．
19、答案：（1）0.4
（2）可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关联
解析：（1）设事件A为“任选1名学生每天使用手机超过”，事件B为“任选1名学生近视”，
则，，，，
由全概率公式得，
所以从该校学生中随机抽取一名学生其近视的概率为；
（2）列联表为：
视力
每天使用手机时长
合计
超过
不超过
近视



不近视



合计



根据列联表中的数据，经计算得到，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关联．
20、答案：（1），；，
（2）
解析：（1）依题意，由，，可得，
因为，所以解得，，，，
对于数列：当时，，
当时，，当时，也满足上式，，．
（2）由题意及（1），可知：
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
令，，
则，
，
，
两式相减，可得，，，

．
21、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1），甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，
所以，
所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为．
（2）选方案一，则Y服从二项分布，选方案一得分的数学期望为，
选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为，
进行三轮投篮，得3分的次数为随机变量，则，，
进行三轮总得分，则选择方案二得分的期望为，
显然，
当，，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；
当，，方案二期望大，所以甲应该选方案二；
当，，方案一期望大，所以甲应该选方案一．
22、答案：（1）
（2）；证明见解析
解析：（1）若，则，定义域为，
方程，可得，设，则，
由，可得，由，可得，
故在上单调递减，在上单调递增，所以，
故方程的解为．
（2）证明：令，得，设，，
由，可得，由，可得，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，，当时，，若有两个零点，则，故，
，令，得，
设，则，由，可得，
故H在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当时，，
若有两个极值点，则，
综上，，
不妨令，因为且，由与图象得，

由，为的两根得，，
两式分别乘，并整理得号，，
所以，
要证，，
即证，
由于，所以，
只需证，即证，
令，
，所以在上单调递减，
所以，故，得证．