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2022-2023学年度吉林省长市东北师范大学附属实验学校新城校区九年级上学期期末数学试题
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东北师大附中（新城校区）九年级期末调研题（数学）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据求出的值，然后根据的值判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据二次函数的顶点式的顶点为进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数的顶点式的顶点为是解本题的关键．
4. 如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，则的长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键，注意在这个比例式中，必须是对应的线段的比．
5. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
6. 如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B、E在第一象限．若点A的坐标为，则点E的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，
∴，
∵点A的坐标为，
即，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
∴E点的坐标为：．
故选：B．
【点睛】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
7. 如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理可求得的度数，再由已知及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
8. 如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中所有正确的结论是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口判断a与0的关系，根据对称轴判断b与0、a的关系，根据与y轴的交点判断c与0的关系，即可判断①③，根据与x轴交点判断②，根据与x轴交点判断时y与0的关系．
【详解】解：由图像可得，
根据开口向下得到，
与y轴交于正半轴得到，
根据对称轴可得，，故①③正确；
由图像可知方程有两个不相等实数解，，故②正确；
根据对称性及图像可知另一个交点横坐标为：，
∴，故④错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图像的性质：解题的关键是掌握图像与a、b、c之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 使二次根式有意义,则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件为，由此计算即可.
【详解】解：二次根式有意义，则，即.
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式中被开方数大于等于0这一条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键，
10. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的概念，将代入原方程即可得解．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根为0，
代入方程得，
；
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解的概念，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解答此题的关键．
11. 在平行四边形中，点E是边上一点，且，交对角线于点F，则与的面积比值为_____________．
【答案】9
【解析】
【分析】先根据已知得出，然后根据三角形一边的平行线的性质得出，再根据相似三角形的面积之比等于它们的相似比的平方即可得解．
详解】解：，
，
平行四边形，
，
，
，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12. 在正方形网格中，小正方形的边长均为1，如图放置，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，在中，由勾股定理求出长，再根据正弦的三角函数定义即可求解．
【详解】解：如下图所示，在中，
可知：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理、三角函数的定义，熟练掌握勾股定理与三角函数的定义是解答此题的关键．
13. 点A是半径为3的上一动点，点O到直线的距离为4．点P是上一个动点．在运动过程中若，则线段的最小值是_____________．
【答案】５
【解析】
【分析】根据勾股定理得，求线段的最小值转化为求的最小值，再根据点到直线的距离的意义即可得解．
【详解】解：，，
，
要使线段最小，则要最小，
即当时，最小；
点O到直线的距离为4，
的最小值为4，
线段的最小值是；
故答案为：5．
【点睛】此题考查了圆的相关、概念勾股定理、点到直线的距离的意义，熟练掌握勾股定理与点到直线的距离的意义是解答此题的关键．
14. 已知二次函数，当时，函数值y的最大值为1，则a的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先把函数解析式化为顶点式，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，和时，函数值相等，
若，当时，y随x的增大而增大，
此时当时，函数值y最大，最大值为，不合题意，
若时，当时，函数值y最大，最大值为，不合题意，
当时，当时，当时，函数值y最大，最大值为
∴当时，函数值y最大，
∵函数值y的最大值为1，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
综上所述，a的值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）0．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除法运算法则、特殊角的三角函数值，进行计算化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答此题的关键．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选用因式分解法解此一元二次方程即可；
（2）选用配方法求解此一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：提取公因式，得：
或，
；
【小问2详解】
解：移项，得，
两边同时加上4，得，
配方，得，
开平方，得，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握运用因式分解法、配方法或公式法解一元二次方程是解答此题的关键．
17. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画出格点C，使，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．
（2）在图②中，在线段上画出点M，使．
（3）在图③中，在线段上画出点P，使．（保留作图痕迹）
要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画的垂直平分线即可；
（2）根据相似三角形的性质，取格点D，H，，，连接交于M即可；
（3）由相似三角形的性质，取格点F，E，，，连接，交于P即可．
【小问1详解】
解：如图①所示，点C即为所求；
【小问2详解】
如图②所示，点M即为所求；
【小问3详解】
如图②所示，点P即为所求；
【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是正确根据题目要求画出图形．
18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求解抛物线顶点的横坐标，再代入抛物线求解纵坐标即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
由（1）知：抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线与x轴的顶点坐标为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，顶点坐标，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式一般步骤，是解题的关键．
19. 平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．
（1）点的“可控变点”坐标为_____________．
（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求出“可控变点”Q的横坐标．
【答案】（1）
（2）“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【解析】
【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案；
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
【小问1详解】
解：∵点，，
∴，
即点的“可控变点”坐标为，
【小问2详解】
由题意得的图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标的是7，
当时，则时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
当时，时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
∴“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【点睛】本题是新定义题，根据可控变点的定义，可得解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案，理解题意是解本题的关键．
20. 如图，在中，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点D．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）当时，直接写出的半径．
【答案】（1）相切，理由见详解；
（2）4．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质：等边对等角，先证明，再根据圆的切线的定义即可判断并证明；
（2）根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：与的位置关系是：相切；理由如下：
，
，
连接，如图所示，则，
，
，
为的半径，
与相切；
即与的位置关系是：相切；
【小问2详解】
解：设的半径为，又，
，
在中，，
，
，
，
故的半径为4．
【点睛】此题考查了圆的切线的证明、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的定义、等边对等角、含角的直角三角形的性质是解答此题的关键．
21. 如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）点B的坐标为_____________．
（3）当时，x的取值的范围是_____________．
（4）当时，的取值的范围是_____________．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）由图可知抛物线的顶点坐标为，即，然后将抛物线上的点代入即可求出的值，从而得解；
（2）对于抛物线的解析式，令，求出的值，即可求出点的坐标；
（3）观察图形，由数形结合即可得出答案；
（4）根据，观察抛物线求出的最大值与当时的函数值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：观察抛物线图像可知：抛物线的顶点为即，
，
又抛物线与x轴交于点，
，
，
故抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：由 可知，抛物线的图像在直线的图像的上方，
；
故答案为：；
【小问4详解】
解：，，
当时，的最大值为4；
当时，，
的取值的范围为：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式、抛物线与直线的交点问题等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质与数形结合的思想方法是解答此题的关键．
22. 如图，学校要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形的面积为150平方米，求矩形的边的长．
（2）要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）10米 （2）边长应为16米时，花圃面积最大为平方米
【解析】
【分析】（1）设矩形的边米，则可表示矩形的边，由面积关系建立方程，解方程即可；
（2）设矩形的面积为平方米，矩形的边米，则可用含的代数式表示，且是一个二次函数关系，则可求得此二次函数的最大值，从而可得边的长．
【小问1详解】
解：设矩形的边米，则边米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由于可利用的墙长为16米，即，
不符合题意，应舍去，
，
即边的长为米；
【小问2详解】
解：设矩形的面积为平方米，矩形的边米，则边米，
由题意得：，
，
，且，
当时，函数值S随自变量的增大而增大，
时，S有最大值，且最大值为，
所以边的长为米时，花圃的面积最大，最大面积为平方米．
【点睛】本题是函数与方程的综合应用，考查一元二次方程的实际应用及二次函数的实际应用，读懂题意，根据面积关系列出方程或函数关系式是解题的关键．求面积最大值时，要注意最大可利用的墙长为16米这个条件，即注意函数自变量的取值范围．
23. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
证明：在中，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，请根据教材提示，结合图1，写出完整证明过程．
【结论应用】
如图2，在中垂直于的平分线于点E，且交边于点D，点F为的中点．若，求的长．
【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，将绕点A逆时针旋转一定的角度，得到线段，连接，取的中点E，连接．则面积的最大值为_____________．
【答案】【教材呈现】证明见详解；
【结论应用】2；
【拓展延伸】．
【解析】
【分析】（1）根据两边对应成比例以及夹角相等，判定两个三角形相似，然后得出，即可推出结论即三角形的中位线定理；
（2）先证明，得出，从而得的长，再根据（1）中结论即可求解；
（3）先根据（1）中结论得出点的轨迹，然后通过求点到的距离的最大值，求出面积的最大值即可．
【详解】[教材呈现]
证明：如图1，在中，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，
，
，
，
，且；
[结论应用]
解：如图2所示，
平分，
，
，
，
在与中
，
，
，
，
，
又点是的中点，
根据（1）中的结论可知：；
[拓展延伸]
解：，
，
D为中点，
，
绕点A逆时针旋转一定的角度，得到线段，
，
分别为的中点，连接，如图3所示，
，
又点是定点，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
过点作于，如图3，
，
，
是的中点，
，
点到的距离的最大值为：，
，
面积的最大值为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理的证明及应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的意义、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握中位线定理的应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质是解答此题的关键．
24. 如图，在中，，动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点Q，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段的长为_____________（用含t的代数式表示）；
（2）当点P与点C重合时，求t的值；
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值；
（4）当为钝角三角形时，直接写出t取值的范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，用含的代数式表示线段的长即可；
（2）当点P与点C重合时，得，即可求解；
（3）先证得，再证，得，从而得出，进而求得得解；
（4）根据题意可知：当为钝角三角形时，为钝角；先求为直角时的的值，从而得出为钝角三角形时，的取值的范围．
【小问1详解】
解：根据题意可知：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当点P与点C重合时，，
，
；
【小问3详解】
解：当C、R、Q三点共线时，连接，则经过点，如图1所示，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
即；
【小问4详解】
解：，
为锐角，
又，
故当为钝角三角形时，为钝角，
当为直角时，如图2所示，
易知：，
，
，
，
，
当为钝角时，；
故t的取值的范围为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、图形旋转的性质、列代数式、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
东北师大附中（新城校区）九年级期末调研题（数学）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据求出的值，然后根据的值判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据二次函数的顶点式的顶点为进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数的顶点式的顶点为是解本题的关键．
4. 如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，则的长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键，注意在这个比例式中，必须是对应的线段的比．
5. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
6. 如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B、E在第一象限．若点A的坐标为，则点E的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，
∴，
∵点A的坐标为，
即，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
∴E点的坐标为：．
故选：B．
【点睛】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
7. 如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理可求得的度数，再由已知及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
8. 如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中所有正确的结论是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口判断a与0的关系，根据对称轴判断b与0、a的关系，根据与y轴的交点判断c与0的关系，即可判断①③，根据与x轴交点判断②，根据与x轴交点判断时y与0的关系．
【详解】解：由图像可得，
根据开口向下得到，
与y轴交于正半轴得到，
根据对称轴可得，，故①③正确；
由图像可知方程有两个不相等实数解，，故②正确；
根据对称性及图像可知另一个交点横坐标为：，
∴，故④错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图像的性质：解题的关键是掌握图像与a、b、c之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 使二次根式有意义,则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件为，由此计算即可.
【详解】解：二次根式有意义，则，即.
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式中被开方数大于等于0这一条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键，
10. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的概念，将代入原方程即可得解．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根为0，
代入方程得，
；
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解的概念，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解答此题的关键．
11. 在平行四边形中，点E是边上一点，且，交对角线于点F，则与的面积比值为_____________．
【答案】9
【解析】
【分析】先根据已知得出，然后根据三角形一边的平行线的性质得出，再根据相似三角形的面积之比等于它们的相似比的平方即可得解．
详解】解：，
，
平行四边形，
，
，
，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12. 在正方形网格中，小正方形的边长均为1，如图放置，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，在中，由勾股定理求出长，再根据正弦的三角函数定义即可求解．
【详解】解：如下图所示，在中，
可知：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理、三角函数的定义，熟练掌握勾股定理与三角函数的定义是解答此题的关键．
13. 点A是半径为3的上一动点，点O到直线的距离为4．点P是上一个动点．在运动过程中若，则线段的最小值是_____________．
【答案】５
【解析】
【分析】根据勾股定理得，求线段的最小值转化为求的最小值，再根据点到直线的距离的意义即可得解．
【详解】解：，，
，
要使线段最小，则要最小，
即当时，最小；
点O到直线的距离为4，
的最小值为4，
线段的最小值是；
故答案为：5．
【点睛】此题考查了圆的相关、概念勾股定理、点到直线的距离的意义，熟练掌握勾股定理与点到直线的距离的意义是解答此题的关键．
14. 已知二次函数，当时，函数值y的最大值为1，则a的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先把函数解析式化为顶点式，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，和时，函数值相等，
若，当时，y随x的增大而增大，
此时当时，函数值y最大，最大值为，不合题意，
若时，当时，函数值y最大，最大值为，不合题意，
当时，当时，当时，函数值y最大，最大值为
∴当时，函数值y最大，
∵函数值y的最大值为1，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
综上所述，a的值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）0．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除法运算法则、特殊角的三角函数值，进行计算化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答此题的关键．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选用因式分解法解此一元二次方程即可；
（2）选用配方法求解此一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：提取公因式，得：
或，
；
【小问2详解】
解：移项，得，
两边同时加上4，得，
配方，得，
开平方，得，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握运用因式分解法、配方法或公式法解一元二次方程是解答此题的关键．
17. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画出格点C，使，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．
（2）在图②中，在线段上画出点M，使．
（3）在图③中，在线段上画出点P，使．（保留作图痕迹）
要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画的垂直平分线即可；
（2）根据相似三角形的性质，取格点D，H，，，连接交于M即可；
（3）由相似三角形的性质，取格点F，E，，，连接，交于P即可．
【小问1详解】
解：如图①所示，点C即为所求；
【小问2详解】
如图②所示，点M即为所求；
【小问3详解】
如图②所示，点P即为所求；
【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是正确根据题目要求画出图形．
18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求解抛物线顶点的横坐标，再代入抛物线求解纵坐标即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
由（1）知：抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线与x轴的顶点坐标为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，顶点坐标，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式一般步骤，是解题的关键．
19. 平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．
（1）点的“可控变点”坐标为_____________．
（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求出“可控变点”Q的横坐标．
【答案】（1）
（2）“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【解析】
【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案；
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
【小问1详解】
解：∵点，，
∴，
即点的“可控变点”坐标为，
【小问2详解】
由题意得的图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标的是7，
当时，则时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
当时，时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
∴“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【点睛】本题是新定义题，根据可控变点的定义，可得解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案，理解题意是解本题的关键．
20. 如图，在中，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点D．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）当时，直接写出的半径．
【答案】（1）相切，理由见详解；
（2）4．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质：等边对等角，先证明，再根据圆的切线的定义即可判断并证明；
（2）根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：与的位置关系是：相切；理由如下：
，
，
连接，如图所示，则，
，
，
为的半径，
与相切；
即与的位置关系是：相切；
【小问2详解】
解：设的半径为，又，
，
在中，，
，
，
，
故的半径为4．
【点睛】此题考查了圆的切线的证明、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的定义、等边对等角、含角的直角三角形的性质是解答此题的关键．
21. 如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）点B的坐标为_____________．
（3）当时，x的取值的范围是_____________．
（4）当时，的取值的范围是_____________．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）由图可知抛物线的顶点坐标为，即，然后将抛物线上的点代入即可求出的值，从而得解；
（2）对于抛物线的解析式，令，求出的值，即可求出点的坐标；
（3）观察图形，由数形结合即可得出答案；
（4）根据，观察抛物线求出的最大值与当时的函数值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：观察抛物线图像可知：抛物线的顶点为即，
，
又抛物线与x轴交于点，
，
，
故抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：由 可知，抛物线的图像在直线的图像的上方，
；
故答案为：；
【小问4详解】
解：，，
当时，的最大值为4；
当时，，
的取值的范围为：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式、抛物线与直线的交点问题等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质与数形结合的思想方法是解答此题的关键．
22. 如图，学校要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形的面积为150平方米，求矩形的边的长．
（2）要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）10米 （2）边长应为16米时，花圃面积最大为平方米
【解析】
【分析】（1）设矩形的边米，则可表示矩形的边，由面积关系建立方程，解方程即可；
（2）设矩形的面积为平方米，矩形的边米，则可用含的代数式表示，且是一个二次函数关系，则可求得此二次函数的最大值，从而可得边的长．
【小问1详解】
解：设矩形的边米，则边米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由于可利用的墙长为16米，即，
不符合题意，应舍去，
，
即边的长为米；
【小问2详解】
解：设矩形的面积为平方米，矩形的边米，则边米，
由题意得：，
，
，且，
当时，函数值S随自变量的增大而增大，
时，S有最大值，且最大值为，
所以边的长为米时，花圃的面积最大，最大面积为平方米．
【点睛】本题是函数与方程的综合应用，考查一元二次方程的实际应用及二次函数的实际应用，读懂题意，根据面积关系列出方程或函数关系式是解题的关键．求面积最大值时，要注意最大可利用的墙长为16米这个条件，即注意函数自变量的取值范围．
23. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
证明：在中，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，请根据教材提示，结合图1，写出完整证明过程．
【结论应用】
如图2，在中垂直于的平分线于点E，且交边于点D，点F为的中点．若，求的长．
【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，将绕点A逆时针旋转一定的角度，得到线段，连接，取的中点E，连接．则面积的最大值为_____________．
【答案】【教材呈现】证明见详解；
【结论应用】2；
【拓展延伸】．
【解析】
【分析】（1）根据两边对应成比例以及夹角相等，判定两个三角形相似，然后得出，即可推出结论即三角形的中位线定理；
（2）先证明，得出，从而得的长，再根据（1）中结论即可求解；
（3）先根据（1）中结论得出点的轨迹，然后通过求点到的距离的最大值，求出面积的最大值即可．
【详解】[教材呈现]
证明：如图1，在中，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，
，
，
，
，且；
[结论应用]
解：如图2所示，
平分，
，
，
，
在与中
，
，
，
，
，
又点是的中点，
根据（1）中的结论可知：；
[拓展延伸]
解：，
，
D为中点，
，
绕点A逆时针旋转一定的角度，得到线段，
，
分别为的中点，连接，如图3所示，
，
又点是定点，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
过点作于，如图3，
，
，
是的中点，
，
点到的距离的最大值为：，
，
面积的最大值为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理的证明及应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的意义、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握中位线定理的应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质是解答此题的关键．
24. 如图，在中，，动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点Q，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段的长为_____________（用含t的代数式表示）；
（2）当点P与点C重合时，求t的值；
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值；
（4）当为钝角三角形时，直接写出t取值的范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，用含的代数式表示线段的长即可；
（2）当点P与点C重合时，得，即可求解；
（3）先证得，再证，得，从而得出，进而求得得解；
（4）根据题意可知：当为钝角三角形时，为钝角；先求为直角时的的值，从而得出为钝角三角形时，的取值的范围．
【小问1详解】
解：根据题意可知：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当点P与点C重合时，，
，
；
【小问3详解】
解：当C、R、Q三点共线时，连接，则经过点，如图1所示，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
即；
【小问4详解】
解：，
为锐角，
又，
故当为钝角三角形时，为钝角，
当为直角时，如图2所示，
易知：，
，
，
，
，
当为钝角时，；
故t的取值的范围为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、图形旋转的性质、列代数式、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
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