2022-2023学年度吉林省长市吉林大学附属中学九年级上学期期末数学试题

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吉林大学附属中学2022-2023学年度第一学期期末考试九年数学试题
一、单选题
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. 2021 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用绝对值的性质计算后判断即可．
【详解】解：，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
2. 预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】460 000 000=4.6×108．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在视图中．
【详解】此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；
故选D．
【点睛】此题主要考查简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．
4. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移项解出不等式的解集，再结合选项答案进行对比选择．
【详解】解不等式得：

在数轴上表示为：

故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】对于，当 方程有两个不相等的实根，当 方程有两个相等的实根， 方程没有实根，根据原理作答即可.
【详解】解：

所以原方程有两个不相等的实数根，
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键.
6. 下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：
题目
测量树顶端到底面的高度

测量目标示意图


相关数据



设树顶端到地面的高度是，根据以上条件，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】∵∠DAC=45°，∠ACD=90°，
∴
∵AB=10，
∴，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
7. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要确定，即判断点在线段的垂直平分线上．
【详解】解：A、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意；
B、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意；
C、由图可知点在线段上靠近点处，不能确定，不符合题意；
D、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
8. 如图，和均为等腰直角三角形，且顶点A、C均在函数的图象上，连结交于点E，连结．若，则k的值为（ ）

A. B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明可得如图，过作轴于 利用等腰直角三角形性质证明再利用反比例函数值的几何意义可得答案.
【详解】解： 和均为等腰直角三角形，



如图，过作轴于

为等腰直角三角形，




反比例函数的图象在第一象限，则

故选C
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，反比例函数值的几何意义，掌握“反比例函数k值的几何意义”是解本题的关键.
二、填空题
9. 计算：m•（m2）3＝_____．
【答案】m7
【解析】
【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则．
10. 若a﹣b＝，ab＝1，则a2b﹣ab2＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先提公因式法分解因式，再代入求值即可．
【详解】解：∵a﹣b＝，ab＝1，
∴原式＝ab•a﹣ab•b
＝ab（a﹣b）
＝1×
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，把原式因式分解后再把每一部分的值整体代入是解题关键．
11. 原价为x元的衬衫，若打8折销售，则现在的售价为______元（用含x的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】原价打八折，即把原价乘以即可.
【详解】解：原价为x元的衬衫，打8折销售，则现在的售价为元，
故答案为：
【点睛】本题考查的是列代数式，掌握“打八折的含义”是解本题的关键.
12. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____度．

【答案】34
【解析】
【分析】先根据同圆的半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：由同圆的半径相等得：，
，
，
，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．
13. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.

【答案】45
【解析】
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，

则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为_____．

【答案】5
【解析】
【分析】先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．
【详解】解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数），
∴对称轴为直线x=1，
∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)，
∴点B(3，0)，
∴OB=3，
∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)，
∴点D(2，a+k)，
∴CD=2，
∴线段OB与线段CD的长度和为5，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大．
三、解答题
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】先按照完全平方公式与平方差公式计算整式的乘法运算，再合并同类项，把代入化简后的代数式即可得到答案.
【详解】解：


当时，
原式
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，掌握“利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算”是解题的关键.
16. 小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用、、表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用、表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中、两个项目的概率．
【答案】．
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】画树状图如下

由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中、两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中、两个项目的概率为．
【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17. 在创建文明城市的进程中．某市为美化城市环境，计划种植树木6000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树的棵数．
【答案】200
【解析】
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，列分式方程求解．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，
依题意得，，
解得x=200，
经检验，x=20是原方程的解，
答：原计划每天植200棵．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，B=D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，A=D，画出边BC的垂直平分线n．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
【详解】解：（1）如图①，直线即为所求
（2）如图②，直线即为所求

【点睛】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线.
19. 已知：如图，在中，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
20. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：）：
30
60
81
50
44
110
130
146
80
100
60
80
120
140
75
81
10
30
81
92
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间




等级




人数
3

8

三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80

81
四、得出结论：
①表格中的数据：　 ，　 ，　 ；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为　 ；
③如果该校现有学生400人，估计等级为“”的学生有　 人；
④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）
平均阅读　 本课外书．
【答案】①5、4、805；②；③160；④13．
【解析】
【分析】①根据已知数据和中位数的概念可得；
②由样本中位数和众数、平均数都是 B等级可得答案；
③利用样本估计总体思想求解可得；
④用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得．
【详解】解：①由已知数据知，，
第10、11个数据分别为80、81，
中位数，
故答案为5、4、80.5；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为，
故答案为；
③估计等级为“”的学生有（人），
故答案为160；
④估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书（本），
故答案为13．
【点睛】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．
21. 甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．

（1）甲车行驶的速度是 千米/小时．
（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出两车相距5千米时x的值．
【答案】（1）60；（2）AB的解析式为y=20x-40（2≤x≤6.5）；BC的解析式为y=-60x+480（6.5≤x≤8）；（3）甲车出发小时或小时或小时或小时两车相距5千米．
【解析】
【分析】（1）利用先出发半小时行驶的路程为千米，可得答案；
（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再运用待定系数法解答即可；
（3）结合运动状态，分四种情况讨论，当甲车出发而乙车还没有出发时，即 当乙车追上甲车时，时间为2小时，当时，当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为小时，当时，当乙车到达后，甲车继续行驶，当时，再列方程解方程可得答案．
【详解】解：（1）甲行驶的速度为：30÷0.5=60（千米/小时），
故答案为：60．
（2）如图所示：

设甲出发x小时后被乙追上，
根据题意得： 60x=80（x-0.5），
解得x=2， 即甲出发2小时后被乙追上，
∴点A的坐标为（2，0），
而480÷80+0.5=6.5（时）， 即点B的坐标为（6.5，90），
设AB的解析式为y=kx+b，由点A，B的坐标可得：
，解得，
所以AB的解析式为y=20x-40（2≤x≤6.5）；
乙车的速度每小时为千米
而乙车的行驶时间为：

设BC解析式为y=-60x+c， 则-60×8+c=0，解得c=480，
故BC的解析式为y=-60x+480（6.5≤x≤8）；
（3）根据题意得：
当甲车出发而乙车还没有出发时，即

当乙车追上甲车时，时间为2小时，当时，

解得：
当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为小时，当时，

解得：
当乙车到达后，甲车继续行驶，当时，

解得：
答：甲车出发小时或小时或小时或小时两车相距5千米．
【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，并与行程问题的路程、时间、速度相结合.读出图形中的已知信息，运用了数形结合的思想解决函数问题是解本题的关键．
22. 教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半．

联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？
探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类．
（1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，．
（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ．
（3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程．

【答案】（2）；（3）证明见解析
【解析】
【分析】（2）当圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论，，，再利用角的和差关系可得答案；
（3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点由（1）的结论，再利用角的和差关系可得答案.
【详解】解：（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．
由（1）的结论，，．
．
（3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点

由（1）的结论，

【点睛】本题考查的是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，理解题意，形成迁移能力并解决问题是解本题的关键.
23. 如图，在中，，，．点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、．在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为．

（1）求边的长．
（2）当时， ，当时， ．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在上时，求的值．
（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）先求解再用含的代数式表示 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的即可；
（3）分两种情况讨论：如图，当在上，落在上，如图，当在上，落在上，则重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；
（4）如图，当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形， 当时，重叠部分为四边形，如图， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.
【详解】解：（1） ，，，

（2）当时，在上，

而四边形为矩形，



当时，在上，如图，

此时，
，

，

故答案为：
（3）如图，当在上，落在上，

此时


解得：
如图，当在上，落在上，则重合，



同理可得：


解得：
（4）当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，

此时

当落在上时，如图，

同理可得：

解得：
当时，重叠部分为四边形，如图，

同理可得：

如图，当落在上时，

同理可得： 而
解得：
当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，

此时

当第2次落在上时，
当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，
同理可得：


综上：
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.
24. 已知抛物线有最高点．

（1）m 0（填“>、=、；（2）m-3；（3）y=x-4（x＞1）；（4）-3＜yP＜-2.
【解析】
【分析】（1）抛物线有最高点即开口向下，-m；
(2)∵y=-mx2+2mx-3=-m（x-1）2+m-3，抛物线有最大值，
∴二次函数y=−mx2+2mx−3的最大值m-3；
（3）∵抛物线G：y=-m（x-1）2+m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=-m（x-1-m）2+m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1， m-3）,
∴x=m+1，y=m-3,
∴x-y=m+1-m+3=4.
即x-y=4，变形得y=x-4.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=x-4（x＞1）.
（4）如图，

函数H：y=x-4（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=1-4=-3；x=2时，y=2-4=-2,
∴函数H的图象恒过点B（2，-2）,
∵抛物线G：y=-m（x-1）2+m-3,
x=1时，y=m-3；x=2时，y=-m+m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yA＜yP＜yB
∴点P纵坐标的取值范围为-3＜yP＜-2.
【点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．运用二次函数性质是解题的关键．