北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-03二次函数的最值与对称

这是一份北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-03二次函数的最值与对称，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-03二次函数的最值与对称

一、单选题
1．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知函数的图象上有 ，， 三点，则 、 、的大小关系（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的部分图像如图所示，则 0（填“”或“”或“”）．

3．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．

4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为 ．
5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若二次函数的最小值是，则它的图象与轴的交点坐标是 ．

三、解答题
6．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点都在该二次函数图象上，
①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；
②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
7．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
(1)当抛物线过点时，求t的值；
(2)若点和在抛物线上，若，且，求t的取值范围．
8．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
(1)抛物线的对称轴是直线__________；
(2)若，为抛物线上两点，满足，，当时，判定与的大小关系，并说明理由；
(3)已知点D的横坐标为1，且点D在直线上，点C的坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．
9．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．

(1)若，则　　；
(2)若，
①写出的取值范围　 ；
②写出b的取值范围 　．
10．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知抛物线．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴；
(2)已知抛物线上有四个点，且．比较的大小，并说明理由．
11．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线过点．

(1)求（用含的式子表示）；
(2)抛物线过点，，．
①判断：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，
点到对称轴的距离为，
点B到对称轴的距离为，
点C到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
2．
【分析】由已知的图像可知二次函数图像的对称轴，然后根据抛物线的对称性，观察图像可知当时，，即可获解．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在之间，
∴另一个交点在0、1之间，
∴当时，，则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键．
3．
【分析】根据函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，根据对称性即可求得另一个交点，进而求得方程ax2+bx+c＝0的解．
【详解】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，
∴另一个交点为，
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为
故答案为：
【点睛】本题考查了图像法求一元二次方程的解，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
4．
【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．
【详解】解：将代入中得到：，
解得，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，
当时，对应的最大为：，
当时，对应的最小为：，
故n的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．
5．
【分析】根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图象与y轴的交点坐标．
【详解】∵二次函数y＝x2＋2x＋c的最小值是7，
∴＝＝7，
解得c＝8，
∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），
故答案为（0，8）．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
6．(1)抛物线与y轴交点的坐标为，对称轴
(2)①； ②

【分析】（1），可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；
（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴抛物线与y轴交点的坐标为 ．
对称轴．
（2）解：① ∵函数图象的对称轴为直线，
∴点关于直线对称，
∴，
故答案为：；
②∵函数图象的对称轴为直线，，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．
当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴，不合题意．
当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则，
，，，四个函数值可以满足，
∴，
即当时，，当时，．
解得 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
7．(1)
(2)当时，；当时，

【分析】（1）把点代入，得出a和b的数量关系，即可求解；
（2）根据题意进行分类讨论即可，当时，当时．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴，整理得：，
∴抛物线的对称轴为，
∴．
（2）当时，，
∴该函数经过，
设该函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴
①当时，
∵点和在抛物线上，，，
∴，
即点到对称轴距离大于点到对称轴距离，
∴，解得：，
∵该函数经过、，且
∴该函数与x轴的另一个交点横坐标，
∴，
∴，
∴当时，；
②当时，
∵点和在抛物线上，，，
∴，
即点到对称轴距离小于点到对称轴距离，
∴，解得：，
∵该函数经过、，且
∴该函数与x轴的另一个交点横坐标，
∴，
∴，
∴当时，；
综上：当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．
8．(1)；
(2)，理由见解析；
(3)．

【分析】（1）根据题意得到点A的横坐标为0，点B的横坐标为，即可求解；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，从而得到抛物线解析式为，再把，分别代入得到，即可求解；
（3）根据题意可得点，点，抛物线解析式为，抛物线与x轴交于点，点，分两种情况讨论：当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点A的横坐标为0，点B的横坐标为，
抛物线的对称轴是：直线，
故答案为∶；
（2）解∶ ，理由如下∶
由（1）得：抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线解析式为，
，为抛物线上两点，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
，
；
（3）解：由（2）可知，抛物线解析式为，
点，点，
当时，，
抛物线与x轴交于点，
点D的横坐标为1，且点D在直线上．
点，
①如图，当时，抛物线开口向上，
，，
，
点C在点B的上方，
，
点D在的上方，
观察图象可知，此时抛物线与线段没有公共点；

②如图，当时，抛物线开口向下，，
此时点C在点B的下方，
观察图象得：当点D在的上方或与点重合时，抛物线与线段恰有一个公共点，
且，
；
综上所述，若抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围为．

【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线对称轴、二次函数图象上点坐标特征、函数值大小比较、抛物线与线段的交点等知识，解题的关键是数形结合，列出关于a的不等式．
9．(1)0
(2)①；②

【分析】（1）将和分别代入函数解析式，根据，可解出b的值，再将代入函数解析式，可解出c的值；
（2）①若，确定出b的取值范围，把点带入中求出，进而可求出值的取值范围；②由①中过程即可得出结果．
【详解】（1）解：将和分别代入解析式，
得，
，
，
，
解得，
把点代入中，
得，
解得，
函数解析式为
当，
；
（2）解：①中，，
函数图象开口向上，
将代入解析式，
得，
又，
∴，，
解得，
把点带入中，
得，
，
将代入解析式，
得，
，
，
，
，
即；
由①得：；
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键．
10．(1)直线
(2)，理由见解析

【分析】（1）由抛物线经过点得到，即可求得抛物线的对称轴；
（2）根据抛物线过得，可得抛物线的对称轴为直线，再根据，，进而得出对称轴的范围是，可得离对称轴越远的点，函数值越大，再结合点的坐标即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
即，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，理由如下
∵抛物线过，
∴，
∵，
∴，即，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
即离对称轴越远的点，函数值越大，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数得图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和增减性是解题的关键．
11．(1)
(2)①＜
②的取值范围是或

【分析】（1）把代入，计算即可；
（2）①把代入，得，把代入，得，当时，，，得；当时，，，得；即可得出结论；
②把，，代入，得，，．当时，抛物线开口向上，对称轴为，则抛物线在时，取得最小值．所以，在轴上方，在轴上或轴下方，则，解得．当时，抛物线开口向下，对称轴为，所以抛物线在时，取得最大值，且．所以，在轴上方，在轴上或轴下方．则，解得．
【详解】（1）解：把代入，得
，
∴；
（2）解：①把代入，得
，
由（1）知：，
∴，
把代入，得
，
，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
绽上，；
②由（1）知，
∴
∴抛物线对称轴为．
∵抛物线过点，，，
∴，，．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最小值．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最大值，且．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．